Testo soluzioni Fisica 2 di febbraio 2024

U N IV ER SITA ' D EG LI STU D I di R OM A "LA SA P IEN ZA "

Ingegneria A erospaziale - P rova scritta di Fisica II del 30 gennaio 2024

1. Delle cariche distribuite su due quarti di circonferenza di raggio sono

poste nel vuoto in modo simmetrico rispetto al centro come mostrato

,

in figura. Siano gli archi di circonferenza uniformemente carichi con

densità lineare e Ricavare nel centro

+ −. :

a. l’espressione del campo elettrico;

b. l’espressione del potenziale elettrostatico.

c. Il lavoro necessario per portare una carica puntiforme dall’infinito nel centro

.

2. Un conduttore cilindrico infinito di raggio è percorso da una corrente

con densità uniforme. Il conduttore è avvolto in un mantello cilindrico

coassiale di materiale magnetico lineare e omogeneo con permeabilità

magnetica relativa di raggio esterno (vedi figura). Calcolare:

a. i campi e in tutto lo spazio;

b. l’energia immagazzinata in un tratto del conduttore;

ℎ

⃗⃗

c. il vettore di magnetizzazione e le correnti di magnetizzazione

superficiali nel materiale magnetico.

3. Sia dato il circuito rappresentato in figura, assumiamo noti i

valori di , , e All’istante viene chiuso

. = 0 ,

1 2

l’interruttore e il sistema giunge a regime con una costante di

tempo .

a. Applicare il teorema di Thèvenin ai morsetti e e ricavare

e .

b. Ricavare l’espressione della corrente nell’induttore ().

c. L’energia immagazzinata nell’induttore e la potenza erogata dai generatori a regime.

4. Una superficie cilindrica, di raggio e lunghezza è

≫ ,

uniformemente carica con densità e ruota, nel vuoto, intorno al

proprio asse con velocità angolare variabile nel tempo secondo

la legge Coassiale al guscio cilindrico è posto

() = cos( ).

0

un solenoide di raggio con numero di spire per unità di

< ,

lunghezza e altezza Ricavare:

ℎ ≪ .

a. l’espressione del campo elettrico lungo una linea di raggio

()

coassiale col cilindro;

b. l’espressione della forza elettromotrice indotta nel solenoide.

5. Nel vuoto, due sorgenti puntiformi emettono onde elettromagnetiche con la

stessa lunghezza d’onda, coerenti e con la stessa polarizzazione. Le sorgenti

sono poste a distanza l’una dall’altra lungo una retta parallela ad uno

schermo di osservazione posto a distanza Sapendo che il primo minimo

≫ .

di interferenza si forma ad una distanza dall’asse di simettria del sistema, si

determini la lunghezza d’onda delle onde elettromagnetiche.

(*) Per tutti gli esercizi si richiede l’analisi dimensionale del risultato.

Esercizio 1

a) Il campo nel punto è dato dalla somma dei campi generati da ciascuno dei due tratti di

circonferenza. Consideriamo il tratto con densità di carica il contributo di ciascun elemento

+,

infinitesimo di lunghezza è dato dalla seguente:

l

1 (1)

⃗ + =

3

4

0

Per la simmetria del sistema, il campo totale sarà diretto nella direzione inclinata di 45° rispetto

all’orizzontale e le componenti del campo orizzontale e verticale saranno uguali. Pertanto, basterà

trovare una delle due componenti per poi ricavare il campo totale. Ovvero: (2)

+ 2 2

= + = =

√ √2 √2

La componente lungo del campo sarà data dalla seguente:

1 (3)

=

2

4

0

Dove è l’angolo mostrato in figura.

La componente totale lungo l’asse si ottiene integrando l’Eq. (3). Quindi:

1

2 2 (4)

= ∫ = ∫ = ∫ = =

2 2

4 4 4 4

0 0 0 0

0 0

Quindi, il modulo del campo totale sarà dato dalla seguente:

√2 (5)

+

= =

√2

4

0

Direzione e verso sono mostrate in figura.

In modo analogo si procede per il tratto di circonferenza con densità di carica per il calcolo del

−

−

modulo del campo .

E

Il campo totale in avrà modulo pari alla somma dei due contributi avendo stessa direzione e stesso

verso. Quindi: √2 (6)

+ − +

= + = 2 = 2

0

b) Il contributo al potenziale elettrico totale in del singolo elemento infinitesimo di filo è dato dalla

seguente espressione:

1 (7)

() = 4

0

Integrando:

2 (8)

() = ∫ =

4 8

0 0

0

I contributi dei due fili sono uguali, ma con segno opposto. Pertanto, è () = 0 .

c) Il lavoro compiuto per portare una carica dall’infinito fino al punto è dato dalla seguente:

(9)

() = () = 0

Esercizio 2 ⃗

a) La simmetria cilindrica della configurazione implica che abbia modulo costante su circonferenze di

raggio centrate con l’asse del cilindro. Essendo la corrente uniforme, sia la densità di

= 2

⃗

corrente. Applicando il teorema della circuitazione di Ampere al campo , si ha:

(10)

⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

⃗

∮ ∙ = ∫ ∙

Con una superficie con bordo

.

Per si ha:

≤ , (11)

⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

⃗ ⃗

2 2 2 ̂

∮ ∙ = 2 = ∫ ∙ = = = ⇔ =

2 2 2

2

Con versore tangente alle circonferenze coassiali col conduttore. Quindi, si può ricavare il modulo

̂

del campo (parallelo al campo

):

(12)

0

= =

0 2

2

Per si ha:

> , (13)

⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

⃗ 2

∮ ∙ = 2 = ∫ ∙ = = ⇔ = 2

Quindi il modulo del campo nel materiale magnetico ( è dato dalla seguente:

< ≤ )

(14)

0

= =

0 2

Mentre nel vuoto sarà ( > ):

(15)

0

= =

0 2 2

b) L’energia totale immagazzinata in un tratto di conduttore lungo (volume cilindrico è

ℎ = ℎ)

dato dalla seguente: 2

2 2 2 2 2

ℎ ℎ ℎ (16)

0 0 0 0

3 4

= ∫ = ∫ ( ) 2ℎ = ∫ = =

2 4 4

2 2 2 4 4 4

0 0

0 0

⃗⃗

c) Il vettore di magnetizzazione sarà non nullo solo all’interno del materiale magnetico. Per il calcolo

del vettore di magnetizzazione usiamo la seguente:

⃗ ⃗

− (17)

0 0

⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗

(

= − ⟺ = − = = − 1)

0 0 0

Quindi: (18)

⃗⃗ ⃗ ̂

( (

= − 1) = − 1)

2

Mentre la corrente di magnetizzazione superficiale sarà data dalla seguente: (19)

⃗⃗

= × ̂

Ovvero, sulla superficie interna è:

(20)

̂

(

= − 1)

2

Sulla superficie esterna, invece, si ha:

(21)

̂

(1 )

= −

2

̂

Con versore parallelo alla densità di corrente .

Esercizio 3

a) Nel momento in cui l’interruttore viene chiuso ( inizia a circolare una corrente Per

= 0 ), ().

studiare l’andamento della corrente nel tempo che circola nell’induttore prima applichiamo il

,

teorema di Thevenin e ricaviamo il circuito equivalente. La forza elettromotrice equivalente da

applicare ai morsetti e , è proprio la caduta di potenziale che avviene sul ramo Quindi,

, .

applico la legge di Ohm generalizzata al ramo passando per il generatore :

2 (22)

− − = ⟺ = = − = +

2 2

Trovo : − (23)

1 2

− 2 − − = 0 ⇔ =

1 2 3

Quindi: − + 2 (24)

1 2 1 2

= = + = + =

2 2

3 3

Mentre la resistenza equivalente, , è data dalla resistenza vista ai morsetti e ovvero la serie

,

tra le resistenze in parallelo (due resistenze in serie e la resistenza e la resistenza quindi:

) ,

−1 −1

1 1 3 2 5 (25)

= + = + ( + ) =+( ) =+ =

∥ 2 2 3 3

b) La costante di tempo del circuito è dato dalla seguente:

3 (26)

= =

5

Per trovare l’espressione di considero il circuito equivalente. Perciò:

(),

(27)

− − =0⟺( − = ⟺ =

)

( )

−

Integro (( e ottengo:

= 0) = 0)

()

() ()

− −

(28)

−

−∫ =∫ ⟺ )=− ⟺ =

(

( )

− − −

0 0

Quindi: (29)

−

()

= (1 − )

<