Testo esame Fisica 2, soluzioni appello marzo 2024

U N IV ER SITA ' D EG LI STU D I di R OM A "LA SA P IEN ZA "

Ingegneria A erospaziale - P rova scritta di Fisica II del 14 m arzo 2024

1. Delle cariche sono distribuite uniformemente lungo tre elementi lineari di

lunghezza e sono posti nel vuoto. Due tratti, con densità di carica e

ℎ + −,

sono posti in orizzontale lungo la stessa retta e distanti dal centro Il

.

terzo elemento, con densità di carica lineare è posto, invece, lungo

+,

l’asse verticale passante per e distante da stesso, come

mostrato in figura. Sull’asse verticale sia aggiunta una carica

puntiforme anch’essa a distanza da Ricavare nel centro

> 0 . :

a. modulo, direzione e verso del campo elettrico;

b. l’espressione del potenziale elettrostatico.

c. Il lavoro necessario per portare una carica puntiforme dall’infinito nel centro

.

2. Tre fili conduttori di raggio sono posti nel vuoto in modo da formare un triangolo

equilatero di lato come mostrato in figura. I fili sono attraversati da una densità

, ⃗ −⃗

di corrente uniforme , nei vertici e e , nel vertice Calcolare:

, .

⃗⃗

a. il campo nel punto equidistante, dai tre vertici;

,

b. la forza totale che agisce su un tratto di lunghezza del filo posto in (sia

ℎ

≪ ).

3. Sia dato il circuito rappresentato in figura, assumiamo noti i valori di

, , e All’istante viene chiuso l’interruttore e il

, . = 0 ,

1 2

sistema giunge a regime con una costante di tempo .

a. Applicare il teorema di Thèvenin ai morsetti e e ricavare e .

b. Ricavare la carica sul condensatore e la corrente nell’induttore a

∞

regime.

c. A regime, calcolare l’energia immagazzinata nell’induttore, nel

condensatore e la potenza erogata dai generatori.

4. Un solenoide posto in aria, di raggio molto lungo e con densità lineare di spire pari a

,

è attraversato, a partire dal tempo da una corrente che decade con l’andamento

, = 0,

−

descritto dall’espressione . All'esterno del solenoide è situato un anello

() =

metallico di resistenza coassiale con il solenoide e di raggio Si calcoli:

.

a. l'espressione della forza elettromotrice indotta e l’espressione della corrente ()

nell’anello (trascurare l’autoinduzione dell’anello);

b. l’energia dissipata dalla resistenza sull’anello nell’arco temporale compreso e

5;

c. il coefficiente di mutua induzione tra solenoide e anello.

5. Un satellite che si trova alla quota sul livello del mare, emette onde

, ℎ

elettromagnetiche in un cono che alla quota interessa un’area . Il valore del

ℎ

1 1

campo elettrico efficace è . Calcolare (a) l’ampiezza efficace del campo

1,

magnetico , (b) la potenza media del trasmettitore e (c) i valori e

1, 2,

che un ricevitore posto al livello del mare misurerebbe.

2,

(*) Per tutti gli esercizi si richiede l’analisi dimensionale del risultato.

Esercizio 1

a) Il campo nel punto è dato dalla somma dei campi generati da ciascuno dei singoli elementi. Per la

simmetria del sistema, la componente orizzontale sarà data dai contributi forniti dai due elementi

orizzontali, mentre la componente verticale, dall’elemento verticale e dalla carica Pertanto, per

.

ricavare il modulo del campo totale sarà dato dalla seguente: (1)

2 2

= +

√

Mentre, l’angolo che il vettore campo elettrico forma con l’orizzontale sarà dato dalla seguente:

(2)

=

Consideriamo uno dei tratti con densità di carica generica il contributo di ciascun elemento

,

infinitesimo di lunghezza in un punto sulla retta su cui giace l’elemento stesso è dato dalla seguente:

l

1 (3)

= 2

4

0

Quindi, il campo totale è: +ℎ

+ℎ

1 1 1 ℎ (4)

= ∫ = − ( ) =− ( − )= ( )

0 2

4 4 4 + ℎ 4 ( + ℎ)

0 0 0 0

Il contributo al campo della carica puntiforme è dato dalla seguente:

(5)

=

2

4

0

Quindi, la componente orizzontale del campo sarà (i segni in accordo con il sistema di riferimento in

figura): ℎ (6)

= + = ( )

,1 ,2 2 ( + ℎ)

0

La componente verticale, invece:

ℎ 1 ℎ (7)

= + = − ( )+ = ( − )

,1 2 2

4 ( + ℎ) 4 4 ( + ℎ)

0 0 0

ℎ

(Si noti che se , allora la componente lungo , sarà diretta verso l’alto, altrimenti sarà

> ,

2

(+ℎ)

ℎ

rivolta verso il basso. Se , allora sarà nulla).

=

2

(+ℎ)

b) Dalla simmetria del problema, si può facilmente dedurre che la somma dei contributi dei tratti

orizzontali al potenziale in è nullo. Pertanto, il potenziale totale sarà dato dal contributo del filo

verticale e dalla carica Il contributo al potenziale elettrico totale in del singolo elemento

.

infinitesimo di filo è dato dalla seguente espressione:

1 (8)

= 4

0

Integrando: +ℎ

+ℎ (9)

()

= ∫ = ( )

4 4

0 0

2

Il potenziale totale sarà il seguente:

+ℎ +ℎ 1 +ℎ (10)

() = ( ) + = ( )+ = ( )+

[ ]

4 4 4 4

0 0 0 0

c) Il lavoro compiuto per portare una carica dall’infinito fino al punto è dato dalla seguente:

+ℎ (11)

() = () = ( )+

[ ]

4

0

Esercizio 2

a) La simmetria cilindrica del filo ci permette di sfruttare il teorema di Ampere per ricavare il campo

⃗⃗

di induzione magnetica nello spazio che lo circonda. Quindi, il campo di un filo lungo una linea

chiusa di forma circolare concentrica col filo stesso è dato dalla seguente:

(12)

⃗

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗

∮ ∙ = ∫ ∙

0

Con una superficie con bordo Per si ha:

. > , 2

(13)

⃗

⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗⃗

2 ̂

∮ ∙ = 2 = ∫ ∙ = ⇔ =

0 2

Applicando la formula al nostro caso, si ha la situazione mostrata qui in figura:

Il campo in sarà dato dalla somma vettoriale dei contributi dei tre fili:

(14)

⃗⃗() ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗

= + +

, , −,

Quindi, la componente lungo l’asse coincide con il campo generato dal filo in

:

2

(15)

()

()

= =

0

, 2

La componente lungo l’asse invece, sarà dato dalla somma delle componenti dei contributi dei fili

,

in e Ovvero:

. 2 2

√3 (16)

0

() ()

()

= + = 30° =

0

, −, 2

Il modulo del campo totale è: 2

2 4 2 4

3 (17)

√

02 2

2 2

() = + = + =

√ 0

0

2 2

4 4

b) La forza che agisce su un tratto del conduttore lungo posto in è dato dalla forza di Lorentz:

ℎ (18)

⃗⃗

⃗ ⃗⃗

= ℎ ×

3

Il campo totale in è dato dalla seguente:

(19)

⃗⃗() ⃗⃗ ⃗⃗

() ()

= +

, −,

Per simmetria, le componenti orizzontali sono uguali tra loro, ma con verso opposto (vedi figura).

Quindi: (20)

()

= 0

Mentre, la componente verticale pari a:

2 2

(21)

() ()

() () ()

= + = 60° =

0 0

, −, 2

Quindi, la forza che agisce sul filo in pari a:

2 4

ℎ (22)

() ⃗⃗

⃗ ⃗⃗() 2

= ℎ × = − ℎ ̂ = − ̂

0

2

Ovvero sarà diretta lungo l’asse nel verso negativo (il filo in sarà spinto verso il filo in

).

Esercizio 3

a) Nel momento in cui l’interruttore viene chiuso ( inizia a circolare una corrente Per

= 0 ), ().

studiare l’andamento della corrente nel tempo che circola nell’induttore e nel condensatore prima

,

applichiamo il teorema di Thevenin e ricaviamo il circuito equivalente. La forza elettromotrice

equivalente da applicare ai morsetti e , è data dalla seguente:

,

(23)

− − = ⟺ = = +

2 2

Trovo : − (24)

1 2

− − − = 0 ⇔ =

1 2 2

Quindi: − + (25)

1 2 1 2

= = + = + =

2 2

2 2

Mentre la resistenza equivalente, , è data dalla resistenza vista ai morsetti e ovvero il parallelo

,

tra le resistenze quindi:

, −1 −1

1 1 2 (26)

= = ( + ) = ( ) =

∥ 2

b) Per ricavare la carica sul condensatore e la corrente che scorre nell’induttanza, disegniamo il circuito

a regime: 4

A regime, l’induttanza può essere sostituita con un corto circuito, pertanto la carica sul condensatore

sarà nulla, ovvero: (27)<