Tesina Telaio Piano - Teoria delle strutture

NTRODUZIONE DEI VINCOLI

3.1.4. E 6

QUAZIONI DI EQUILIBRIO DEL SISTEMA VINCOLATO

3.2. T E – B 7

RAVE DI ULERO ERNOULLI

3.3. A 8

PPROCCIO IN FLESSIBILITÀ

3.4. M N – R 9

ETODO DI EWTON APHSON

3.5. E P – Δ 10

FFETTO

4. M M – P-Δ 12

ODELLAZIONE IN ATLAB TELAIO SENZA EFFETTI

4.1. I 12

NSERIMENTO DATI DI INPUT

4.2. I 13

NIZIALIZZAZIONE DELLO STATO DELLA STRUTTURA

4.3. A 14

NALISI AL PASSO

4.4. R ’ 17

ISULTATI DELL ANALISI

5. M P – Δ 19

ODELLAZIONE TELAIO CON EFFETTI

5.1. R ’ 20

ISULTATI DELL ANALISI

6. M ’ 22

ODELLAZIONE TELAIO CON L APPROCCIO COROTAZIONALE

6.1. R 22

ICHIAMI TEORICI

6.2. A M – A C 23

NALISI IN ATLAB PPROCCIO OROTAZIONALE

6.3. R ’ 24

ISULTATI DELL ANALISI E CONFRONTO TRA I MODELLI 1

1. Introduzione

La seguente relazione è finalizzata alla descrizione dell’analisi strutturale non lineare di un telaio piano

tramite l’implementazione di un programma utilizzando il programma Matlab.

2. Descrizione del problema

L’oggetto dell’elaborato è un telaio in acciaio di 8 piani; il piano del telaio è il piano di inflessione forte sia per

le travi che per le colonne. Le travi sono realizzate con profili IPE 400, mentre le colonne utilizzate ai primi

quattro piani sono HEB 800 e quelle ai piani superiori HEB 600. Entrambi gli elementi hanno una lunghezza

pari a 4 m. Il modulo di Young dell’acciaio è pari a E = 210000 MPa, il coefficiente di Poisson vale ν = 0.3 e la

tensione di snervamento è f = 235 MPa.

y

Inoltre la struttura è soggetta a seguenti carichi:

• Forza F di riferimento pari a 1 kN;

• Carico uniformemente distribuito q agente sulle travi pari a 50 kN/m;

• 3

Peso proprio degli elementi strutturali; la densità dell’acciaio è pari a 7850 kg/m .

In Figura 1 viene riportato lo schema del telaio:

Figura 1 – Telaio in acciaio

2

Per la valutazione della risposta strutturale sono state considerate le seguenti assunzioni:

• La formulazione di ciascun elemento di trave è basata sulla teoria della trave di Eulero-Bernoulli e

l’approccio in flessibilità;

• Il comportamento non lineare del materiale è tenuto in conto introducendo cerniere plastiche alle

estremità di ciascun elemento di trave;

• φ

le cerniere di estremità sono caratterizzate da un legame momento-rotazione M – rigido –

c c

plastico, mentre non si attivano per la parte assiale.

L’implementazione del programma in Matlab per l’analisi strutturale non lineare del telaio è stata svolta

prendendo in considerazione il Metodo degli Spostamenti. Per ottenere la risposta strutturale è stata

effettuata un’analisi al passo al fine di determinare il valore massimo del moltiplicatore λ che comporta il

collasso della struttura. L’analisi è stata ripetuta due volte considerando diverse condizioni:

• Analisi al passo in cui si ottiene l’ordine con cui si formano le cerniere plastiche all’interno del telaio;

• Analisi al passo in cui vengono inclusi gli effetti delle non linearità geometriche in modo semplificato

(effetto P – Δ), assumendo differenti valori del carico distribuito, q = 0, 25, 50 e 75 kN/m;

• Analisi al passo in cui vengono inclusi gli effetti delle non linearità geometriche con l’Approccio

Corotazionale

3. Richiami teorici

Le strutture vengono trattate come “Sistemi naturalmente discreti”, ovvero sistemi che sono descrivibili

tramite una serie di parametri al fine di ottenere sistemi risolutivi algebrici lineari. L’analisi strutturale si

svolge considerando i tre aspetti governanti il problema elastico: la cinematica, la statica e il legame

costitutivo. Le ipotesi alla base dell’analisi strutturale nel caso in esame sono:

• Geometria linearizzata del problema (piccoli spostamenti e piccole deformazioni);

• Equilibrio calcolato nella configurazione indeformata, assunta coincidente con quella iniziale;

• Legame costitutivo elastico lineare del materiale;

• Materiale omogeneo e isotropo

• Vincoli bilateri, lisci e indipendenti dal tempo

Nei seguenti paragrafi verranno trattati dei brevi richiami teorici dei metodi e modelli utilizzati.

3.1. Metodo degli Spostamenti

Il Metodo degli Spostamenti ha come obiettivo la risoluzione della struttura attraverso un sistema di

equazioni di equilibrio in termini di spostamento, il quale costituisce l’incognita primaria del problema. Il

metodo si basa sull’analisi statica, cinematica e costitutiva di materiale, prima a livello di elemento e dopo a

livello globale della struttura. Si cerca quindi l’unica soluzione congruente tra infiniti stati equilibrati.

L’equazione governante che si ottiene è la seguente:

+ = 0

Nello spirito del Metodo degli Spostamenti si vuole esprimere il vettore globale delle forze interne come

( = ()).

funzione del vettore globale degli spostamenti

3.1.1. Analisi locale di elemento

Considerando il generico elemento della struttura si definisce un sistema di riferimento locale: l’asse x è

e

diretto lungo la congiungente tra i nodi dell’elemento i e j, ha il verso da i a j; l’asse y è ortogonale a x ed è

e e

definito in modo tale da ottenere una terna (x , y , z ) destrorsa (dove z è parallelo a z globale).

e e e e

3

Cinematica

{

= =

} { }

Si definisce il vettore di spostamento di elemento dal

quale si possono ottenere le deformazioni, scegliendo tre parametri indipendenti di spostamento per

eliminare i moti rigidi. Si deve quindi vincolare l’elemento, considerando un sistema di vincoli isocinematico,

come per esempio una trave appoggiata. Chiaramente la scelta di uno schema statico rispetto ad un altro

comporta una condizione di vincolo differente e quindi una risposta diversa a livello deformativo e tensionale.

Quando si passerà a livello globale tali vincoli verranno rimossi e la scelta dello schema statico a livello locale

non influenzerà la risposta a livello globale.

{ }

=

Le deformazioni dell’elemento sono le seguenti: ; il legame tra le deformazioni e gli

spostamenti è governato dalle equazioni di congruenza:

=

è la matrice cinematica di elemento ed è definita come:

−1 0 0 1 0 0

⁄ ⁄

0 1 1 0 − 1 0

=[ ]

0 0

⁄ ⁄

0 1 0 0 − 1 1

0 0

Statica

{

,

{

Si definisce il vettore delle forze interne di elemento: }

= } = .

Le tensioni di elemento vengono determinate in maniera duale alle deformazioni di elemento; la trave deve

essere vincolata in modo isostatico. Nel vettore delle tensioni di elemento sono raccolte le componenti

{ }

=

indipendenti del vettore delle forze di elemento . Il legame tra le tensioni di elemento

e le forze interne di elemento è governato dalle equazioni di equilibrio:

,

− =

Legame Costitutivo

Il legame costitutivo locale può essere espresso nella forma diretta o inversa:

0

= −

( )

0

= + 0

−1

=

è la matrice di elasticità di elemento, mentre è la matrice di flessibilità di elemento. sono

le deformazioni di elemento associate ai carichi distribuiti lungo la linea d’asse e alle distorsioni di elemento.

Per determinare le due matrici viene sfruttato il teorema dei Lavori Virtuali. Si riportano di seguito le matrici:

0 0 0 0 0 0

⁄ ⁄ ⁄ ⁄

0 4 2 0 3 − 6

= =

[ ] [ ]

0 0 0 0

⁄ ⁄ ⁄ ⁄

0 2 4 0 − 6 3

0 0 0 0

Matrice di rigidezza

Nello spirito del Metodo degli Spostamenti si parte dall’equazione di equilibrio dell’elemento:

,

− =

Si sostituisce all’interno dell’equazione il legame costitutivo in forma diretta:

0

,

− = −

( )

4

Infine, si aggiunge la congruenza: 0

,

− = −

( ) 0

,

− = −

( ) 0

È possibile individuare la matrice di rigidezza e il vettore dei carichi nodali equivalenti dell’elemento :

0 0

= =

0

,

− = −

Si ottiene l’equazione di equilibrio diventa quindi:

= 0).

(

è una matrice quadrata di dimensioni 6 x 6, simmetrica e singolare Inoltre le colonne

rappresentano le forze interne (la forza che l’asta applica ai nodi) scambiate quando si impone spostamento

0

unitario per un grado di libertà e tutti gli altri spostamenti nulli. è il vettore dei carichi nodali equivalenti

0

alle deformazioni iniziali e rappresenta quindi le forze che derivano da stati di coazione interna.

3.1.2. Analisi globale

Una volta ottenute le matrici di rigidezza e il vettore delle deformazioni iniziali per ogni elemento, si vuole

passare dal sistema locale al globale. Per farlo si sfruttano le seguenti relazioni (regola di assemblaggio):

=

,

= ∑

è la matrice di trasformazione di elemento, ha lo scopo di estrarre i gradi di libertà di interesse dal vettore

locale riferiti al vettore locale di elemento. È definita come il prodotto tra l