Crisi delle certezze - Tesina

Paradossi nella teoria degli insiemi

R;є2) Se R R, poiché R non contiene se stesso come elemento, dalla definizione data si dovrebbe dedurre cheєR R.єSi giunge quindi a una contraddizione sia nel caso che si ammetta che R R sia nel caso che si ammetta cheєR R.є 4La causa di tutti questi paradossi, come rilevano Russell e Whitehead, è che un oggetto vienedefinito in termini di una classe di oggetti che contiene l'oggetto stesso. Sarebbe come dire che 3 èla classe di tutti gli insiemi che contengono 3 elementi. Simili definizioni sono dette ancheimpredicative, e si trovano soprattutto nella teoria degli insiemi.Questi paradossi turbarono profondamente i matematici, perché compromettevano non solo la teoriadegli insiemi, ma una larga fetta dell'analisi classica. L 'assiomatizzazione della teoria degli insiemiL' assiomatizzazione della geometria e dei sistemi numerici aveva risolto problemi logici in quellearee, e sembrava probabile che con l'assiomatizzazione si

sarebbero chiarite le difficoltà della teoria degli insiemi. Il primo ad affrontare il compito fu il matematico tedesco Zermelo (1871-1953), il quale era convinto che i paradossi nascessero dal fatto che Cantor non aveva ristretto il concetto di insieme. Nel 1895 Cantor aveva definito un insieme come una collezione di oggetti distinti dellaLa cosa era piuttosto vaga, e perciò Zermelo sperava chenostra intuizione o del nostro pensiero.assiomi chiari ed espliciti avrebbero chiarito ciò che si deve intendere con insieme e quali proprietà esso debba avere. Cantor stesso non era inconsapevole del fatto che il suo concetto di insieme creava dei problemi. In una lettera a Dedekind del 1899 distingueva fra insiemi coerenti e insiemi incoerenti. Zermelo pensava di poter restringere la definizione di insieme agli insiemi coerenti di Cantor, e che questo sarebbe stato sufficiente per la matematica. Il suo sistema assiomatico conteneva concetti fondamentali e relazioni.

definiti solo dagli enunciati degli assiomi stessi. Fra questi c'era il concetto stesso di insieme e la relazione di appartenenza a un insieme. Non veniva usata alcuna proprietà degli insiemi che non fosse garantita dagli assiomi. Anche l'esistenza di un insieme infinito e operazioni quali l'unione di insiemi e la formazione di sottoinsiemi venivano fornite dagli assiomi.

Il programma di Zermelo prevedeva di ammettere nella teoria degli insiemi solo quelle classi che con meno probabilità avrebbero generato contraddizioni. Perciò la classe nulla, ogni classe finita e la classe dei numeri interi sembravano sicure. Data una classe sicura, le classi formate da essa, ogni sottoclasse, l'unione delle classi sicure e la classe di tutti i sottoinsiemi di una classe sicura, dovrebbero essere classi sicure. Tuttavia egli evitava la complementazione perché, mentre può essere una classe sicura, il suo complemento, cioè tutti i non-x, potrebbe

essere sufficiente per risolvere completamente i problemi dei fondamenti della matematica. Essi sostenevano che la teoria degli insiemi non fosse abbastanza rigorosa e che fosse necessario introdurre ulteriori assiomi e regole per evitare eventuali contraddizioni. Nonostante le critiche, la teoria degli insiemi di Zermelo ha avuto un enorme impatto sulla matematica e sulla filosofia della matematica. Ha fornito una base solida per lo sviluppo di molte altre teorie matematiche e ha influenzato profondamente il modo in cui i matematici concepiscono e ragionano sugli oggetti matematici. In conclusione, la teoria degli insiemi di Zermelo ha rappresentato un importante passo avanti nella fondazione della matematica, ma ha anche sollevato nuove domande e problemi che ancora oggi sono oggetto di studio e dibattito.

soddisfacente. Secondo alcuni esso era discutibile perché presupponeva l'uso della logica, proprio quando la logica e le sue relazioni con la matematica erano sotto indagine. Altri, più radicali, discutevano dell'opportunità di fare affidamento su qualsiasi tipo di logica, soprattutto se applicata agli insiemi infiniti.

Le tre scuole La scuola logista, i cui fondatori furono Bertrand Russell (1872-1970) e Alfred North Whitehead (1861-1947), si ripropone di fondare tutta la matematica sulla logica: al lavoro di tale scuola si deve, tra l'altro, gran parte del formalismo logico oggi comunemente adottato. Come abbiamo già visto, l'analisi infinitesimale viene fondata sull'aritmetica e questa, a sua volta, sulla teoria degli insiemi: la teoria degli insiemi viene ridotta quindi alla logica: non è necessario alcuno degli assiomi propri di ciascuna delle teorie matematiche, che divengono così semplici estensioni della logica e dei suoi assiomi.

Tuttavia, per rendere possibile tale costruzione, i logicisti dovettero introdurre degli assiomi, quali l'assioma della scelta e l'assioma della riducibilità, che furono fortemente criticati, essendo molto lontani dall'evidenza intuitiva che solitamente si richiede a un assioma. Oggetto di forti critiche fu anche la complessiva artificiosità della costruzione logicista. La scuola intuizionista, i cui rappresentanti più importanti sono senza dubbio il francese Poincaré (1854-1912) e il olandese Brouwer (1881-1966), si propone invece di rifondere la matematica su basi costruttive e finitiste: il concetto di infinito in atto è, secondo l'intuizionismo, il peccato originale della matematica e la causa di tutti i paradossi. Si osservi che non viene respinto in blocco il concetto di infinito: ad esempio, il concetto di numero naturale è considerato legittimo, in quanto ogni numero naturale può essere.

costruito applicando la funzione successivo un numero finito di volte a partire dallo zero; l'insieme dei numeri naturali può essere quindi considerato legittimamente, a condizione che lo si consideri come dato in potenza, in quanto ogni suo elemento è costruibile, ma non può essere considerato come dato nella sua totalità. Questo approccio porta a rifiutare l'applicazione della legge del terzo escluso agli insiemi infiniti: dalla dimostrazione che non tutti gli elementi di un insieme infinito godono di una certa proprietà, non è lecito dedurre l'esistenza di qualche elemento che non gode di tale proprietà, a meno che un tale elemento non possa essere individuato con un procedimento costruttivo. Analogamente è respinta ogni definizione che non indichi esplicitamente il metodo necessario a costruire l'oggetto definito. Il concetto di numero reale, così come è a noi noto, non è legittimo: gli

intuizionisti accettano solo i numeri reali ricorsivi, ossia quei numeri reali che possono essere effettivamente approssimati con una qualunque precisione prefissata in un numero finito di passi. L'approccio intuizionista è apparentemente molto limitativo, in quanto nega validità alle dimostrazioni per assurdo così comuni nella matematica e, per questo, incontrò forti resistenze. Ciò nonostante gli intuizionisti riescono a ricostruire, sulle basi da essi proposte, buona parte della matematica classica e dell'analisi infinitesimale. La scuola formalista, rappresentata soprattutto dal tedesco David Hilbert (1862-1943), fu forse quella il cui programma ebbe, paradossalmente, più successo anche negli insuccessi. Il formalismo si propone di chiarire alcuni fondamentali concetti matematici e metamatematici, quali i concetti di coerenza, dimostrazione e lo stesso concetto di verità, applicando a essi gli stessi metodi della matematica. Nel far

ciò assume e rielabora la logica formale proposta dai logicisti e pone così le basi di molte fruttuose teorie, quali la logica matematica nella sua forma attuale, la teoria della ricorsivi, la teoria della dimostrazione, la teoria dei modelli. Pur accettando nella matematica il concetto di infinito e le dimostrazioni per assurdo, il formalismo, per mettersi al riparo dalle critiche intuizioniste e da eventuali paradossi, a livello metamatematico cerca di limitarsi all'applicazione di metodi finitisti e costruttivi. Non ci dilungheremo oltre nell'esposizione dell'approccio formalista, perché esso è, sostanzialmente, quello seguito nella parte teorica di questo capitolo. Ci limitiamo a osservare che il programma di Hilbert, che era quello di dimostrare la coerenza dell'aritmetica, fallì definitivamente nel 1931, quando l'austriaco (1906-1978) dimostrò l'indimostrabilità della coerenza dell'aritmetica Kurt.

Gödel con metodi finitisti: si tratta di un corollario del famoso teorema d'incompletezza.

41° teorema di Gödel: Se il sistema formale P è non contraddittorio, allora è sintatticamente incompleto, nel senso che esiste una proposizione G di P tale che tanto G quanto ~G sono indimostrabili in P.

2° teorema di Gödel: se P è non contraddittorio, la sua non contraddittorietà non può essere dimostrata in P; più precisamente scelta opportunamente una formula, diciamo N(P), che esprime la non contraddittorietà di P, si ha che N(P) è indimostrabile in P.

Concludendo, si può dire che nessuna delle tre scuole riuscì a raggiungere gli obiettivi che si era prefissata: il logicismo e l'intuizionismo, per motivi diversi, non riuscirono a fornire un approccio alla matematica universalmente accettabile, mentre il formalismo, che ebbe indubbiamente più successo, si scontrò con i risultati di Gödel.

Tuttavia, molte delle proposte di questi movimenti ebbero una notevole influenza e aprirono le porte a nuovi fruttuosi sviluppi che ancora oggi sono al centro della ricerca. Nonostante l'impasse a cui è giunta la ricerca sui fondamenti, la matematica resta viva e vitale.

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Pirandello tra vita e forma: Il fu Mattia Pascal

Un personaggio, signore, può sempre chiedere ad un uomo chi è. Perché un personaggio ha veramente una vita sua, segnata di caratteri suoi, per cui è sempre "qualcuno". Mentre un uomo - non dico lei, adesso - un uomo così in genere, può non essere "nessuno".

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Introduzione

Vissuto nel periodo a cavallo tra '800 e '900, fra il naturalismo e l'inizio del decadentismo Pirandello, come Svevo, è definito uno scrittore isolato, difficile da inquadrare in un movimento letterario ben definito. Proprio

a cavallo tra i due secoli si determina la crisi dei valori o

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