Tesina Ponte Caballeros - Teoria delle strutture

GDL di ogni nodo sono 3 mentre i GDL di ogni elemento sono 6. Gli stralli sono stati modellati come elementi

di trave a cui è stata applicata la procedura dello svincolo dei nodi. La struttura è caratterizzata da 11

elementi, 3 di questi a sezione variabile, e da 9 nodi. In primo luogo è stata definita la tabella delle incidenze

cercando di ottenere la matrice di rigidezza globale quanto più bandata possibile per avere un grado di

accoppiamento delle equazioni basso e rendere il calcolo di conseguenza più veloce. Nella sezione INPUT

DATI oltre alla seguente matrice sono state definite:

la matrice delle coordinate avente in ogni colonna le coordinate x e y di ogni nodo

• la matrice delle sezioni variabili utile nel calcolo dei pesi propri degli elementi a sezione variabile

• la matrice dei materiali contenente in ogni colonna l’area trasversale, il modulo di Young, l’inerzia e

• il modulo di taglio di ogni elemento

la matrice che esprime in ogni colonna le condizioni di vincolo dei GDL di ogni nodo

• la matrice degli svincoli in cui si evidenzia con 1 il GDL svincolato di ogni elemento

• la matrice dei bracci rigidi costituita dalle lunghezze dei bracci rigidi del nodo i e j di ogni elemento

• la matrice delle distorsioni di elemento dove ogni colonna si riferisce ad un elemento della struttura e

• contiene il valore della deformazione anelastica

il vettore dei pesi propri di ogni elemento G1

• la matrice dei carichi portati G2

•

I pesi propri degli elementi a sezione variabile sono stati definiti in funzione di x e della variabile Le

(lunghezza di elemento) prestando attenzione che il nodo i fosse per ogni elemento il nodo con la sezione

trasversale maggiore. La variabile Le è stata calcolata successivamente attraverso il ciclo for.

Nella parte 2 relativa all’assemblaggio della matrice di rigidezza sono state per prima cosa inizializzate la

matrice di rigidezza globale K , il vettore dei carichi nodali equivalenti globale P , il vettore delle deformazioni

0

equivalenti ai nodi ε e il vettore delle sollecitazioni lungo la linea d’asse dovuto ai carichi σ .

0 sq

Successivamente è stato definito un ciclo for contenente in primo luogo la function “C_alfa” per determinare

la variabile Le, la matrice del cambiamento di riferimento Ce e i coseni direttori di ogni elemento. Poi la

function “Estrattrici” per le matrici di identificazione. La lunghezza di elemento è stata subito sottratta

dell’eventuale lunghezza dei bracci rigidi. A questo punto sono state definite le seguenti matrici nell’ordine

riportato:

le matrici operatori di trasformazione L sia per il nodo i che per il nodo j

• br

la matrice di trasformazione T

• ue

la matrice di compatibilità cinematica di elemento D relativa alla scelta di vincolo di trave appoggiata

• e

la matrice di flessibilità di sezione f

• s

la matrice di equilibrio b relativa alla scelta di vincolo di trave appoggiata

• s

la matrice di flessibilità di elemento F la matrice di elasticità di elemento

• e

E

• e

la matrice di rigidezza di elemento K

• e

In questa fase di programmazione è stata effettuata la procedura di svincolo sulla matrice K mediante

e

l’utilizzo di un ciclo if e successivamente è stata collocata la matrice di rigidezza di elemento all’interno

della matrice K.

Nella parte finale del ciclo for sono stati definiti:

le reazioni vincolari dei pesi portati

• il vettore delle deformazioni equivalenti dovuto ai carichi

• il vettore dei carichi nodali equivalenti di elemento sottratto delle reazioni vincolari e

• opportunamente svincolato

il vettore delle sollecitazioni lungo la linea d’asse

• il vettore dei carichi nodali equivalenti globale

•

Nella parte 3 relativa alla cinematica sono state definite le componenti relative ai GDL vincolati e

liberi introducendo così gli operatori R e R .

0 q

La parte 4 invece tiene conto dei vincoli nelle equazioni di equilibrio e in essa si determina il vettore dei

termini noti fondamentale per il calcolo dei parametri liberi di spostamento.

L’ultima parte è la 5 in cui sono stati calcolati come prima cosa gli spostamenti globali, le reazioni vincolari dei

vincoli esterni e il vettore totale delle forze esterne. A questo punto avendo gli spostamenti globali è stato

possibile ricavare le tensioni di elemento e le tensioni di sezione mediante l’utilizzo di un ciclo for.

Quest’ultimo ciclo contiene molti passaggi svolti precedentemente ritenuti indispensabili per la determinazione

delle grandezze finali.

La numerazione finale ha prodotto una la seguente bandatura:

3. Metodologia utilizzata

3.1 Metodo degli spostamenti

L’Analisi strutturale è stata risolta nello spirito del metodo degli spostamenti, attraverso il quale è possibile

ricavare come incognita primaria del problema gli spostamenti nodali. Tale metodo pone le basi

nell’equazione di equilibrio globale ( p + p = 0 ) e scrivendo il vettore delle forze interne in funzione degli

int est

spostamenti nodali si può giungere all’espressione:

K u = p + P

est 0

Tale equazione non è però risolvibile, in quanto la matrice di rigidezza globale K non è invertibile, e all’interno

del vettore p sono contenute ulteriori incognite: le reazioni vincoli. Attraverso l’introduzione dei vincoli, a cui

est

è soggetta la struttura si riesce a scrivere un’equazione del tipo:

ove è la matrice di rigidezza del sistema vincolato, q è il vettore degli spostamenti nodali liberi e P è il

K

vettore dei carichi nodali ridotto. Tale espressione risulta essere risolvibile, poiché è depurato delle reazioni

q

vincolari, e è non singolare. Una volta valutato il vettore q , è possibile calcolare il vettore degli

K

spostamenti globali, le reazioni vincolari e le tensioni e deformazioni di ogni elemento. Il metodo degli

spostamenti è però basato su equazioni che fanno riferimento a forze nodali, pertanto tale metodo non

permette di contemplare qualsiasi forma di carico o distorsione iniziale ripartite lungo la linea d’asse. Per

applicare il metodo degli spostamenti per l’analisi strutturale in esame, occorre far riferimento all’approccio

in flessibilità che ci permette preventivamente di trasformare le azioni ripartite lungo la linea d’asse a carichi

nodali, nonché di tener conto di qualsiasi forma di variazione geometrica della sezione.

3.2 Modello di trave Timoshenko

L’approccio in flessibilità è una metodologia che ci permette di risolvere problemi relativi a sistemi di travi,

con la possibilità di contemplare lungo la linea d’asse variazioni geometriche o qualsiasi forma di carico o

variazione termica.

In questa trattazione, la trave è vista come un continuo monodimensionale: analizziamo la trave attraverso la

sua linea d’asse (luogo dei punti dei baricentri) e in ciascun punto osserviamo il processo de formativo.

Le deformazioni di sezione sono descritte dal vettore ε s.

3.3 Approccio in flessibilità

L’obiettivo che ci proponiamo è quello di ricavare una strada generale per costruire la matrice di flessibilità per

gli elementi di travi. L’approccio in flessibilità ha come punto di partenza una relazione di equilibrio che lega le

tensioni di sezione a quelle di elemento, tramite un operatore di equilibrio: σ (x) = b (x) σ . Risolvere un

s s e

problema di questo tipo equivale a vincolare isostaticamente l’elemento di trave, applicare le tensioni di

elemento come fossero azioni esterne e calcolare le caratteristiche delle sollecitazioni, al fine di definire la

matrice b (x). Nel caso in esame, tutte le travi sono state vincolate a trave appoggiata (con cerniera nel nodo i

s

e carrello nel nodo j). Attraverso questo primo problema stiamo descrivendo l’interazione tra l’elemento e la

restante struttura. Inoltre su un generico elemento di trave agiranno forze esterne di vario tipo, pertanto

l’equazione di partenza dell’approccio in flessibilità dovrà tener conto di una porzione di tensione in equilibrio

con i carichi ripartiti sull’elemento stesso: σ (x) = b (x) σ + σ (x).

s s e sq

Inoltre (x) = f (x) σ (x) + (x) (legame elastico lineare), con (x) un vettore che contempla tutte le

ε ε ε

s s s s0 s0

distorsioni iniziali. Si definisce una statica virtuale, tale per cui risulta essere valida la relazione σ (x)* = b (x)

s s

σ *, che compie lavoro nella cinematica reale, definita da deformazioni di sezione e di elemento. Applicando

e

il principio dei lavori virtuali (II corollario), possiamo giungere alla relazione di congruenza:

da cui possiamo ricavare il legame costitutivo di elemento:

con: T -1

Una volta valutata la F , possiamo determinare la K = D F D e dopo aver definito la e come somma

ε

e e e e e 0

delle deformazioni dovute ai carichi ripartiti e alle distorsioni iniziali, possiamo definire il vettore il P0e (vettore

dei carichi nodali equivalente, di elemento) come P0e = D F . Entrambi sono necessari per la

ε

eT e-1 0

risoluzione del problema mediante il metodo degli spostamenti. In fine si ricava:

Con , vettore dei carichi nodali equivalente a distorsioni distribuite, carichi ripartiti, reazioni vincolari. La

soluzione ottenuta da un’analisi condotta con l’approccio in flessibilità è esatta.

4. Risultati ottenuti e commento

I risultati ottenuti dall’analisi effettuata hanno evidenziato spostamenti congruenti con i vincoli esterni e i carichi

applicati sulla struttura. A livello globale l’intera struttura subisce un abbassamento verso il basso e una rotazione

oraria. In conseguenza di questo la sommità del pilone (nodo 4), ha un abbassamento verso il basso

e uno spostamento verso destra di circa 30 cm mentre i nodi 3-5-6-7-9 hanno uno spostamento orizzontale

verso sinistra. Il nodo 3 ha uno spostamento molto inferiore agli altri nodi in quanto si trova in una zona rigida.

L’abbassamento dell’impalcato risulta essere piuttosto evidente, in particolare il nodo 6 ha uno spostamento

massimo verso il basso di 32,8 cm. Questo risultato è dovuto alla semplificazione del modello con solo 4

stralli invece di 9.

Gli elementi a sezione variabile che costituiscono la struttura portante del ponte (elementi 5-6-7),

risultano avere le massime sollecitazioni.

Gli stralli coerentemente alle aspettative sono soggetti ad un elevato sforzo di trazione (elementi 8-9-10-11).

Come è possibile notare nei grafici le sollecitazioni di taglio e momento flettente degli stralli hanno degli ordini

di grandezza inferi