Teoria delle Strutture - Esercitazione 2

ODELLO DI RAVE DI ULERO – ERNOULLI

Il metodo degli spostamenti (o metodo delle rigidezze) è un

ulteriore metodologia di risoluzione di strutture isostatiche e

iperstatiche. Il metodo dei vincoli ausiliari non è altro che

l’applicazione del PLV nella forma degli spostamenti virtuali:

infatti, a differenza del PLV descritto al paragrafo

precedente, adesso le incognite non sono più le forze

(virtuali) ma gli spostamenti.

Questo metodo si basa sulle rigidezze delle aste componenti

la struttura che vengono coinvolte quando viene attivato un

prestabilito grado di libertà degli di cui è dotata la

struttura.

Il procedimento è il seguente: dapprima è necessario

individuare i possibili gradi di libertà della struttura e

assegnare il verso di positività di ciascuno; successivamente

si applicano alla struttura dei vincoli ausiliari (appoggi

verticali e/o orizzontali per bloccare le traslazioni e morsetti

per le rotazioni) individuando il vettore delle forze nodali ,

̅̅̅

0

cioè un vettore di dimensione i cui termini

× 1

corrispondenti ai gradi di libertà scelti garantiscano

l’equilibrio alle sollecitazioni esterne sui vari tratti della

struttura.

Si procede poi alla costruzione della matrice delle rigidezze

. Per ciascun grado di libertà, si considera la struttura

̿

esente dai carichi esterni e si pone unitario positivo un

grado di libertà bloccando gli altri: il grado di libertà attivato

comporta una deformazione di alcune o tutte le aste della

struttura e, di conseguenza, l’insorgere di reazioni che sono

le rigidezze (con segno) offerte in corrispondenza dei gradi

di libertà scelti. In questo modo si scrivono i termini della

matrice di rigidezza (di dimensione ), ciascuno inteso

×

come quale rigidezza nasce in corrispondenza del grado di

libertà quando il grado di libertà è unitario. Si noti che

, quindi la matrice è simmetrica; inoltre è definita

̿

=

positiva in ambito di analisi elastica e a valori reali: ciò

comporta che esista sempre la matrice inversa di e quindi

̿

che esista unica la soluzione equilibrata. La matrice delle

̿̿̿̿̿

rigidezze si può esprimere anche come , dove è

̿ ̿

−1

=

la matrice delle deformabilità.

Dopo aver valutato le reazioni che nascono imponendo di

volta in volta gli gradi di libertà della struttura, si hanno

∞

soluzioni congruente ma non equilibrate. Per determinare

l’unica soluzione congruente ed equilibrata, si impone la

seguente equazione in forma matriciale:

̅̅̅ ̿

̅

+ = ̅

0

dove è il vettore degli spostamenti (i gradi di libertà)

̅

incognito, mentre è il vettore delle reazioni iperstatiche e

̅

coincide col vettore nullo in caso di vincoli lisci e perfetti e in

assenza di spostamenti generalizzati impressi. Sia che

̅

̅

sono vettori colonna di dimensione × 1.

Da questa equazione matriciale si ottiene un sistema di

equazioni nelle componenti del vettore degli spostamenti

incogniti.

Risolto il sistema, la deformata della struttura è nota ed è

possibile valutare lo stato di sollecitazione in corrispondenza

di un punto della struttura moltiplicando la rigidezza offerta

dell’asta a quella sollecitazione per lo spostamento associato

al grado di libertà che attiva la reazione.

Si riporta ora l’applicazione del metodo delle rigidezze per la

risoluzione della struttura in esame. Si assume il modello di

trave di Eulero-Bernoulli, l’ipotesi di inestensibilità assiale

delle aste e le seguenti condizioni di positività:

- spostamenti orizzontali positivi verso destra;

- spostamenti verticali positivi verso l’alto;

- rotazioni positive orarie.

Si scelgono i seguenti gradi di libertà per la struttura:

rotazione del nodo B ;

1 rotazione del nodo C ;

2 traslazione orizzontale del nodo B (o C) ;

3 traslazione verticale del nodo B ;

4 rotazione del nodo D .

5

Di seguito ne rappresentiamo lo schema di applicazione dei

vincoli ausiliari, nonché i relativi sistemi e le rigidezze

adottate per ciascuno di essi.

Figura 2.4.1: Applicazione dei vincoli ausiliari.

Sistema 0

Figura 2.4.2: Sistema 0 degradato con andamento del grafico del momento flettente in

evidenza.

2

= − = −

10 10

2

= =

20 15

=0

30 7

= =

40 10

= 0

50

Sistema 1 Figura 2.4.3: Sistema 1: rotazione del nodo B.

4

=

11

2

=

21

=0

31 6

=−

41 2

=0

51

Sistema 2 Figura 2.4.4: Sistema 2: rotazione del nodo C.

2

=

12

8

=

22

6

=−

32 2

6

=−

42 2

2

=

52

Sistema 3

Figura 2.4.5: Sistema 3: traslazione orizzontale del nodo B (o C).

= 0

13 6

= −

23 2

12

=

33 3

=0

43 6

= −

53 2

Sistema 4 Figura 2.4.6: Sistema 4: traslazione verticale del nodo B.

6

=−

14 2

6

=−

24 2

=0

34 12

= +

43 1

3

=0

53

Sistema 5 Figura 2.4.7: Sistema 5: rotazione del nodo D.

= 0

15 2

=

25

6

=−

35 2

=0

45 4

= +

55 2

Si riporta il confronto tra i risultati ottenuti tramite il

manipolatore simbolico Mathematica ed il codice agli

elementi finiti Sap2000.

U U Sap2000 [cm]-[rad] U Mathematica [cm]-[rad] Errore

-0,002876 -0,002876 0,00%

-0,002731 -0,002731 0,00%

uC -0,819355 -0,819355 0,00%

vB -1,17419 -1,17419 0,00%

-0,001366 -0,001366 0,00%

Tabella 2.7: Confronto fra spostamenti e rotazioni con il metodo delle forze per il modello

di trave di Eulero-Bernoulli.

Si riportano, inoltre, i valori delle reazioni vincolari , e

:

= 9100,00

= 10900,00

6

= 1,69333 × 10

2.5 C L E (M

ALCOLO DELLA INEA LASTICA ODELLO DI

T T )

RAVE DI IMOSHENKO

In questo paragrafo si mostra la risoluzione della struttura

mediante il calcolo della linea elastica sui vari tratti che

compongono la stessa adottando il modello di trave di

Timoshenko. Il metodo della linea elastica per la risoluzione

di strutture isostatiche ed iperstatiche è lo stesso introdotto

precedentemente, con la differenza che nel modello di

Timoshenko non è più possibile considerare le aste

infinitamente rigide a taglio: oltre alla deformata flessionale

(secondo il modello di trave di Eulero-Bernoulli) si aggiunge

la deformata prodotta dall’azione tagliante, detta

scorrimento angolare Lo scorrimento angolare è definito

.

come ()

=

dove:

fattore di taglio che per una sezione rettangolare vale

: ,

6 = 1,2;

5 : modulo di elasticità tangenziale o modulo di taglio, è

funzione del modulo di elasticità normale e del coefficiente

di Poisson mediante la relazione /[2(1 ν)];

= +

: area trasversale totale della sezione.

Assumendo il modello di trave di Timoshenko, l’equazione

differenziale che lega la curvatura (la derivata seconda linea

elastica() ) agli effetti flettenti e taglianti diventa:

() ()

′′ (

)

= − + ( )

()

Il termine rappresenta il contributo alla curvatura

−

fornito dal momento flettente agente sul tratto di linea

elastica considerato, dovuto alle azioni esterne e alle

sollecitazioni interne agenti su quest’ultimo.

()

Il termine è il contributo alla curvatura fornito

+ ( )

dall’azione tagliante, con segno: a valori di taglio positivi

corrisponde uno scorrimento angolare destrorso quindi

positivo.

Si noti che se il contributo alla curvatura del

() = ,

modello di Timoshenko è nullo, ma non è nullo il contributo

alle rotazioni, dove la rotazione fisica della sezione è data

dalla differenza tra la derivata prima della linea elastica

secondo il modello di trave di Eulero-Bernoulli e lo

scorrimento angolare ( ).

′

() ()

= − ()

Così come si è visto per il modello di trave di Eulero-

Bernoulli, integrando due volte l’equazione di cui sopra, si

definisce l’espressione della linea elastica a meno di

()

due costanti d’integrazione, le quali si trovano mediante

l’imposizione di condizioni al contorno e/o di saldatura tali da

rispettare la congruenza cinematica rispettivamente con i

vincolari esterni ed interni; risolto il sistema di equazioni e

sostituite le incognite nell’espressione della linea elastica, è

possibile determinare la deformata elastica, l’andamento

delle rotazioni, il momento flettente e il taglio al variare della

coordinata di ascissa curvilinea .

Si riportano i risultati ottenuti con un codice di calcolo agli

elementi finiti. Per tenere in conto della deformabilità a taglio

delle aste insita nel modello di trave di Timoshenko, in fase

Set

di definizione delle proprietà della sezione, nel menù

Modifiers Shear Area in 2 direction

la voce si pone pari a 1,

da cui si ottiene:

( )

= ×

E quindi: 1200 2

= 1 × = 1000

1,2

Figura 2.6.7: Diagramma dello sforzo normale (Timoshenko).

Figura 2.6.8: Diagramma del taglio (Timoshenko).

Figura 2.6.9: Diagramma del momento flettente (Timoshenko).

Figura 2.6.7: Deformata ottenuta e valori di spostamento