Teoria delle Strutture - Esercitazione 1

ESCRIZIONE DELLA TRUTTURA

La struttura è composta da aste d’acciaio circolari cave ed è

vincolata al terreno mediante cerniere. Si assume come riferimento

il sistema cartesiano destrorso con origine nel nodo A e avente

2

l’asse z coincidente con l’asse baricentrico dell’asta A B .

2 2

La struttura è inoltre carica in corrispondenza dei nodi D , D , D , D

1 2 3 4

con delle forze concentrate P in direzione verticale dirette verso il

2

basso e da due carichi uniformemente distribuiti q lungo le aste

1

A B , B C , C D e A B , B C , C D inclinati a 45° rispetto all’asse

2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3

delle y ed entranti nella struttura.

Di seguito si riportano le lunghezze delle aste:

Aste orizzontali

= = = = 4000

1 2 2 3 3 4 4 1

= = = = 4000

1 2 2 3 3 4 4 1

= = = = 4000

1 2 2 3 3 4 4 1

= = = = 4000

1 2 2 3 3 4 4 1

Aste verticali

= = = 5000

1 1 1 1 1 1

= = = 5000

2 2 2 2 2 2

= = = 5000

3 3 3 3 3 3

= = = 5000

4 4 4 4 4 4

5

Aste diagonali

√4000 2 2

= = = = + 5000 = 6403,12424

1 2 2 3 3 4 4 1 √4000 2 2

= = = = + 5000 = 6403,12424

1 2 2 3 3 4 4 1 √4000 2 2

= = = = + 5000 = 6403,12424

1 2 2 3 3 4 4 1

Per la risoluzione della struttura verrà sfruttato il Principio dei Lavori

Virtuali (PLV) nella forma delle forze virtuali tra il sistema reale

(sistema R) ed il sistema fittizio (sistema 1), implementando i calcoli

con l’ausilio di un manipolatore simbolico. I risultati ottenuti saranno

poi convalidati mediante l’utilizzo di un software agli elementi finiti.

C S

ALCOLO DELLE OLLECITAZIONI

Per prima cosa, si contano i gradi di libertà e di vincolo della

struttura reticolare. Trascurando la rotazione attorno al proprio asse,

ogni asta della reticolare ha 5 gradi di libertà nello spazio

tridimensionale. Indicando con il numero di aste che compongono

la struttura, i gradi di libertà totali sono:

= 5 = 180

Nel conteggio dei gradi di vincolo, si ricorda che le cerniere esterne

ne forniscono mentre quelle esterne dove indica ora,

3, 3( − 1),

per entrambe, il numero di aste convergenti nella cerniera

considerata. Pertanto, i gradi di vincolo totali della struttura sono:

= 180

6

Il numero di gradi di libertà coincide con quello dei gradi di vincolo,

dunque Inoltre, non sono presenti labilità interne. Possiamo

= .

allora affermare che la struttura è isogeometrica.

Per la risoluzione della struttura, verranno adottate le seguenti

convenzioni:

• Le membrature tese (tiranti) sono soggette a sforzo assiale

positivo, mentre quelle compresse (puntoni) a sforzo assiale

negativo;

• Nell’equilibrio di ciascun nodo, se l’asta convergente nel nodo

è un tirante, il suo sforzo normale è uscente dal nodo;

viceversa, se l’asta è un puntone, la forza esercitata da essa

sul nodo è entrante;

• Nell’impostazione delle equazioni di equilibrio, si assume che

tutte le membrature siano tiranti. In questo modo, gli sforzi

risultanti positivi della risoluzione del sistema indicano che

l’asta è un tirante, mentre gli sforzi negativi indicano che l’asta

è un puntone.

Una volta risolti il staticamente il sistema R ed il sistema 1, è

possibile applicare il PLV fra essi, imponendo l’uguaglianza fra il

lavoro virtuale esterno e il lavoro virtuale interno:

1)−) 1) )

= ∑ ∙ + 1 ∙

)

∙

1)−) 1)

= ∑ [ ± ∆ + ]

dove:

1) è la generica reazione vincolare del sistema fittizio;

7

) è il generico spostamento della struttura reale;

indica la forza unitaria;

1 è la nostra incognita;

1) è lo sforzo normale dell’i-esima asta nel sistema fittizio;

) è lo sforzo normale dell’i-esima asta nel sistema reale;

è la lunghezza dell’i-esima asta;

è la rigidezza assiale dell’i-esima asta;

è il coefficiente di dilatazione termica dell’i-esima asta;

è il differenziale termico cui è soggetta l’i-esima asta;

∆

soni le estensioni / contrazioni impresse all’i-esima asta.

Nel caso in esame, non vi sono estensioni né contrazioni impresse e

nemmeno azioni termiche agenti sui sistemi. Inoltre, le aste hanno

tutte la medesima rigidezza assiale, permettendoci di portare questo

valore fuori dalla sommatoria e, successivamente, essere

semplificato.

Nell’ipotesi di vincoli lisci e perfetti, non vi sono spostamenti

generalizzati, pertanto il lavoro virtuale esterno sarà dato dalla sola

incognita moltiplicata per la forza unitaria che, uguagliando i

lavori virtuali, sarà possibile determinare.

Nella Tabella 0.1 seguente si riportano i valori degli sforzi normali

del Sistema 0 ottenuti per mezzo del manipolatore simbolico e per

mezzo del software agli elementi finiti, nonché l’errore percentuale.

8

ASTA Nsd[kN]-mathematica Nsd[kN]-sap2000 Errore %

D1D2 -6,1872 -6,1872 0,0000

D2D3 6,1872 6,1872 0,0000

D3D4 0,0000 0,0000 0,0000

D4D1 0,0000 0,0000 0,0000

D1C1 -17,7340 -17,7340 0,0000

D3C4 -9,9043 -9,9043 0,0000

D3C3 13,2019 13,2019 0,0000

D4C4 -10,0000 -10,0000 0,0000

D1C2 9,9043 9,9043 0,0000

D3C4 -9,9043 -9,9043 0,0000

D1C4 0,0000 0,0000 0,0000

D3C2 -19,8087 -19,8087 0,0000

C1C2 0,0000 0,0000 0,0000

C2C3 -12,3744 -12,3744 0,0000

C3C4 -12,3744 -12,3744 0,0000

C4C1 0,0000 0,0000 0,0000

C1B1 -17,7340 -17,7340 0,0000

C2B2 -40,9359 -40,9359 0,0000

C3B3 13,2019 13,2019 0,0000

C4B4 -40,9359 -40,9359 0,0000

C2B1 -29,7130 -29,7130 0,0000

C2B3 59,4260 59,4260 0,0000

C4B3 29,7130 29,7130 0,0000

C4B1 0,0000 0,0000 0,0000

B1B2 -12,3744 -12,3744 0,0000

B2B3 12,3744 12,3744 0,0000

B3B4 0,0000 0,0000 0,0000

B4B1 0,0000 0,0000 0,0000

B1A1 -79,6058 -79,6058 0,0000

B2A2 -40,9359 -40,9359 0,0000

B3A3 198,8175 198,8175 0,0000

B4A4 -40,9359 -40,9359 0,0000

B1A2 49,5216 49,5216 0,0000

B3A2 -99,0433 -99,0433 0,0000

B3A4 -49,5216 -49,5216 0,0000

B1A4 0,0000 0,0000 0,0000

Tabella 0.1: Sforzi normali del sistema 0 ed errore percentuale.

9

1: D V M

IMENSIONAMENTO E ERIFICA DELLE EMBRATURE

Dimensionamento e verifica delle tensioni delle sezioni:

Note le sollecitazioni agenti nelle membrature, si procede al

dimensionamento della sezione circolare cava, la medesima per

tutte le aste, considerando l’asta maggiormente sollecitata, cioè

l’asta B A :

3 3 = 198,8175

33

Si fissa la tensione limite dell’acciaio a . Il modulo

2

σ = 16 /

elastico dell’acciaio è . Per il dimensionamento

2

= 21000 /

della sezione della membratura più sollecitata si fa riferimento alle

Norme Tecniche per le Costruzioni del 2008 al paragrafo 4.2.4:

| | 198,8175

33 2

≤ = σ ⇒ ≥ = = 12,4261

33

σ

16 2

Facendo riferimento al Sagomario per Profili Cavi Circolari fornito

da Fondazione Promozione Acciaio e riportato in Tabella 1.1, si

sceglie di adottare la sezione con le seguenti caratteristiche

geometriche: Diametro interno: 114,30 mm

Spessore: 6,00 mm

Area: 21,40 cm

2

Momento d’inerzia: 300,00 cm

4

10

Tabella 1.1: Sagomario per profili cavi circolari, Fondazione Promozione Acciaio.

11

Nella Figura 1.1 seguente si riporta la sezione adottata nel calcolo

del software agli elementi finiti ed il materiale metallico impiegato.

Figura 1.1: Sezione e materiale impiegato nel calcolo del software agli elementi finiti.

Verifica alla stabilità delle membrature compresse:

Si esegue la verifica alla stabilità delle sole membrature secondo

quanto prescritto dalle NTC 2008 al paragrafo 4.2.4.1.3.1. La

resistenza alla stabilità è data dalla seguente espressione:

= =

, ,

1

12

dove:

è il coefficiente riduttivo che tiene conto degli effetti legati

all’instabilità;

è l’area della sezione trasversale della membratura compressa;

è la tensione caratteristica di snervamento

2

= 33,5 /

dell’acciaio S355;

è il coefficiente di sicurezza per la resistenza all’instabilità delle

1

membrature secondo la NTC 2008.

Il coefficiente è definito al paragrafo 4.2.4.1.3.1 della Normativa

dalla seguente espressione: 1

= ≤ 1,0

̅

√ 2 2

+ −

̅

Dove è la snellezza adimensionale dell’asta e

(̅ ̅ dipende dal fattore d’imperfezione

2

= 0,5[1 + − 0,2) + ]

che dipende a sua volta dalla curva di instabilità. Per una sezione

circolare cava formato a caldo di acciaio S355, α = 0,21.

̅

La snellezza adimensionale è definita dalla seguente espressione:

̅ √

=

Dove è, in base a quanto riportato nella NTC 2008, la

= 33,5

2

tensione caratteristica di snervamento per l’acciaio S355, mentre

13 2

=

2

0

È lo sforzo normale critico al quale una membrana è soggetta a

instabilità, funzione del modulo elastico , del

= 21000 2

momento d’inerzia e della lunghezza libera

2

= 16,20

d’inflessione . Per ciasc