LINEAR SYSTEM
AX̅ = b̅
- A: matrice dei coefficienti
- X̅: vettore incognite
- b̅: vettore termini noti
∃-1 soluzione X̅ = A-1b̅ soltanto se A è invertibileA-1A = I = diag (1, 1, 1,...) = A·A-1
(quello che ha tutti 1 sulla diagonale)
se b̅ = 0 ⇒ vettore nullo ⇒ sistemi lineari omogeneiallora X̅ = 0 ⇒ una sola soluzione ⇒ la soluzione banale
e come dire, non c'è soluzionenon c'è terremoto.
Questa soluzione non la voglio assolutamente!!! Per evitare diaverla dovrò supporre che ∃A-1
Matrice non invertibile = matrice singolare
det A ≠ 0 ⇒ A è regolare (regular)det A = 0 ⇒ A è singolare (singular)
Se la matrice non è singolare otterrò una soluzione banale,quindi una matrice "ferma" che io non voglio
Quando uso b̅ = 0 ma A-1 non esiste!
teorema di binet: det(AB) = det A · det B⇒ det A-1 = 1/det A
Se A è singolare io non posso più costruire la matrice inversae quindi di conseguenza non ho più un'unica soluzione
Se A è non invertibile ed infinite soluzioni!
Matrice singolare quando almeno un autovalore è zero
LINEAR SYSTEM
AX̅ = b̅
- A: matrice dei coefficienti
- X̅: vettore incognite
- b̅: vettore termini noti
X̅ = A-1b̅ soltanto se A è invertibile
A-1A = I = diag (1,1,1,...)= A∙A-1
Matrice identita
(quello che ha tutti 1 sulla diagonale)
- m-times
se b̅ = 0 => vettore nullo => sistemi lineari omogenei
allora X̅ = 0 => una sola soluzione => la soluzione banale
è come dire, non c'è soluzione non c'è terremoto
Questa soluzione non la voglio assolutamente!! Per evitare di avere dovrò supporre che ∃A-1
Matrice non invertibile = matrice singolare
det A ≠ 0 => A = regolare (regular)
det A = 0 => A = singolare (singular)
Se la matrice non è singolare otterrò una soluzione banale, quindi una matrice "ferma" che io non voglio
Quando uso b̅ = 0 ma A-1 non esiste! (Sistemi omogenei con A singolare)
Teorema di Binet:
det(AB) = det A ∙ det B => det A-1 = 1/det A
Se A è singolare io non posso più costruire la matrice inversa e quindi di conseguenza non ho più un'unica soluzione
Se A é non invertibile ed infinite soluzioni!
Matrice singolare quando almeno un autovalore è zero
PROPRIETÀ AUTOVALORI
Autovettori di matrici simmetriche sono sempre ortogonali.
A(1) = λ1 (1)
A(2) = λ2 (2)
(1) e (2) sono due autovettori appartenenti aautovalori distinti, e sono ortogonaliλ1 ≠ λ2 A ∈ Sym
Per essere ortogonali → (1), (2) = 0
Dimostrazione:
(1) A (2) = λ1 (1) (2)
(2) A (1) = λ2 (2) (1)
ϕ = (λ1 - λ2) (1) (2) differenza
numero no vettore!!!
Cosa ho appena fatto se do energia al mio sistema, questo rimane ↻
Due matrici sono equivalenti se sono legate da questatrasformazione: B = PAQ B e A sono equivalenti!!
Sottocasì:
- Se P = Qt trasformazione ortogonale Stessa matrice vista in coordinate diverse, si ha una rotazione degli assi, cambiano solo le coordinate fisicamente Congruenza + similarità
- Se P ≠ Qt trasformazione di congruenza
- Se P Qt trasformazione di similarità (es. quando specchio un elemento)
ODE = ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS
Y VARIABILE DIPENDENTEX VARIABILE INDIPENDENTEY=Y(X)
(x, y, ẏ, ÿ..., y(m)) = 0
LA SOLUZIONE di una equazione differenziale è una funzioneche messa dentro l'equazione la soddisfiderivata più alta y(m) = f(x, y, ẏ..., y(m-1))Equazioni AUTONOME → manca l
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