Dinamica delle strutture teoria

LINEAR SYSTEM

A: matrice dei coefficientiX: vettore incogniteb: vettore termini noti

X̅ = A^-1b̅ soltanto se A è invertibileA^-1A = I = diag (1,1,1,...) = A^-1A

MATRICE IDENTITÀ(quella che ha tutti 1 sulla diagonale)

se b̅ = 0 vettore nullo ⟹ SISTEMI LINEARI OMO_GENEI

allora X̅ = 0⟹ una sola soluzione ⟹ la SOLUZIONE BANALE

È come dire, non c’è soluzione non c’è terremoto.

Questa soluzione non la voglio assolutamente! Per evitare diavrei dovuto supporre che ∄ A^-1

Matrice non invertibile = MATRICE SINGOLARE

det A ≠ 0 ⟹ A è regolare (REGULAR)

det A = 0 ⟹ A è singolare (SINGULAR)

Se la matrice non è singolare otterrò una soluzione banale,quindi una matrice “ferma” che io non voglio

Quando uso b̅ = 0 ma A^-1 non esiste ( SISTEMI OMO_GENEI con A singolare )

TEOREMA DI BINET:

det(AB) = det A ⋅ det B

⟹ det A^-1 = 1/_{det A}

Se A è singolare io non posso più costruire la matrice inversae quindi di conseguenza non ho più un’unica soluzione

Se A è non invertibile ed infinite soluzioni!

Matrice singolare quando almeno un autovalore è zero

Proprietà Autovalori

Autovettori di matrice simmetrica sono sempre ortogonali.

λ₍₁₎, λ₍₂₎

u_(λ(1))

u_(λ(1)) · u_(λ(2)) = 0

Dimostrazione:

u_(λ(1))^t A u_(λ(1)) = λ₍₁₎ u_(λ(1))^t u_(λ(1))

φ₁ = (λ₍₁₎ - λ₍₂₎) u_(λ(1))^t u_(λ(2))

Cosa ho appena fatto: Se do energia al mio sistema, questo rimane u.

Due matrici sono equivalenti se sono legate da questa trasformazione: B = P A Q. B e A sono equivalenti!

Sottocasi:

1. Se P = Q^T = Q^-1, trasformazione ortogonale stessa matrice vista in coordinate diverse, si ha una rotazione degli assi, cambiano solo le coordinate fisicamente. Congruenza + similarità.
2. Se P = Q^T, trasformazione di congruenza.
3. Se P ≠ Q^T, trasformazione di similarità (es. quando specchio un elemento).

SISTEMI SDOF

Il numero di parametri indipendenti che descrivono la posizione di un sistema

• corpo rigido in un piano m = 3
• corpo rigido in uno spazio m = 6
• I sistemi con m = 1 descrivono la dinamica di sistemi molto complessi.

OSCILLATORE SEMPLICE

m₁ (massa) avrebbe un punto, non ha dimensione ma lo disegno come rettangolo perché è più comodo.

m₁ ha solo 1 gdl, cioè la posizione rispetto al muro x che dipende dal tempo t.

k → rigidità

Legge del moto del sistema? Qual'è la legge di Newton?

m₁ẍ = -kx

Divido tutto per m₁, ponendo ω₀² = ^k/_m (pulsazione propria del sistema)

e ottengo ẍ + ω₀²x = 0

Moto Oscillatorio Armonico e/o Pendolo Semplice

Equazione caratteristica associata: λ² + ω₀²x = 0

x(t) = Ae^iω₀t + Be^-iω₀t

DAMPED FORCED HARMONIC MOTION

(OSCILLATORE ARMONICO SMORZATO E FORZATO)

mẍ = kx₀ - cẋ + f(t)

Z = _c/_ca C_c = 2mω₀ζ

ω₀ = √_km/_m

x = x₀ e^σt + _ω²xₜ cos(ωt)

In questo caso non posso usare coseno né seno per trovare la soluzione perché usando coseno mi trovo la derivata prima che è seno, mentre se uso seno mi trovo la derivata prima che è coseno ma la derivata seconda che è seno e non riesco ad avere la soluzione D D

Sostengo una soluzione che è fatta così:

x_p(t) = D₁ cos(ωt) + D₂ sen(ωt) con 2 parametri, dove D che non devono dipendere dal tempo.

{-ω₂ + 2{ω₀ξω₁ + ω₂D₁} cos(ωt) - [-ω₂ + 2ω₀ξ + D₁ω₁]

Per qualunque t lo sostengo l'equazione deve essere soddisfatta quindi in realtà ho un'intera famiglia di equazioni.

Devo perciò avere:

{-ω₂ + 2{ω₀ξω₁ + ω₂D₁ = xₜ ω₂

Uso Cramer per risolverlo:

{(1 - ξξ²)D₁ + 2 ξξ} = x_t

{- 2ξξ D₁ + (1 - ξξ²)ε = 0

x_p(t) = _{(1 - ξξ²)² + (2ξξ)²} xst cos(ωt) + 2|ξξ|{-ω₀ ε}cos(ωt + φ)}

In questo caso la soluzione particolare vale:

Xp = _g/_ω0² = _mg/k

non dipende da t, è una costante quindi

considerare la forza di gravità non

cambia il moto, la situazione è come

spostare il sistema di riferimento. Se

studio le oscillazioni alla posizione di

equilibrio sono come le ho studiate

prima.

In una semplice traslazione di assi la situazione è come

quella senza gravità, devo mettere origine nel sistema

di equilibrio; non c'è nessun effetto dinamico in presenza

di gravità poiché ho effetti dinamici solo se ho qualcosa

che cambia nel tempo.

Nel caso del terremoto non ho una forza che smuove

l’edificio, ma è il terreno sotto che si muove.

O¹ è un osservatore che si muove

insieme al terreno cioè si muove

assieme al terremoto

O non è coinvolto dal terremoto

è un osservatore esterno

Il modo in cui si muove il terreno rispetto all’osservatore

esterno è descritto dal moto _g0(t)

Legge di Newton funziona solo nei sistemi di riferimento

inerziali; l'unico che può essere inerziale è O

mü = -ku - cu

si usa x' supporre che la

forza che muove dipende da

dove è posizionato O, ma non

è vero: dipende dall’allungamento

della molla

Lo smorzamento dipende dalla

velocità con cui lascio

l'allungamento, non

dall'allungamento in sé della

molla

OSSERVAZIONI:

1. Per avere la soluzione di x₂ come numero reale e non complesso devo fare due restrizioni, cioè (A₁, A₂) e (A₃, A₄) devono essere complessi coniugati.
2. Uso le formule di Eulero e trovo x₂(t) in questa forma: x₂(t) = B₁sen(λ₁t) + C₁cos(λ₁t) + B₂sen(λ₂t) + C₂cos(λ₂t) Ci sono quindi 4 costanti arbitrarie.
3. Ho calcolato x₂, per trovare x₁ sostituisco l'x₂ trovato nell'equazione x₁ = -_m2/_k2 ẍ₂ + x₂.
4. Le costanti arbitrarie sono la posizione e la velocità della massa 1 e della massa 2 all'istante t₀.
5. Λ₁ e Λ₂ sono le frequenze proprie del sistema con periodo T₁ = 2π / Λ₁ e T₂ = 2π / Λ₂. Le frequenze proprie in questo caso non sono T₁ = √_k1/_m1 e T₂ = √_k2/_m2 perché quelle sono le frequenze proprie solo nel caso di un sistema ad un grado di libertà.
6. Se disegniamo questa equazione in laboratorio, potremmo aspettarci di avere delle oscillazioni ma nella realtà non è così poiché ho una somma di oscillazioni con periodi diversi e si ha un diagramma che è tutt'altro che oscillazioni.