Studio di curva 1

Quesito della Prova scritta di Analisi Matematica II - Lecce 29-10-2002\Facoltà di Ingegneria 1

P

r o v

a d ’

e s

a m

e - A

n a l

i

s i m

a

t

e m

a t

i

c

a I I

Risolvere l’equazione differenziale

= + x 3

y ' y e y (1)

L’equazione in esame rientra nel tipo di equazioni dette di Bernoulli:

[ ]

α

= + ⋅

y ' a ( x ) y b ( x ) y ( x ) 3 ⇒

La (1) si trasforma dividendo i due membri per y

y ' 1

− = x

e (2)

3 2

y y

La (2) si risolve effettuando la sostituzione di funzione ponendo

1 −

− = ⇔ = − ⇒

2

z ( x ) z ( x ) y ( x ) (3)

2

y −

= ⋅ ⋅

3

z '( x ) 2 y ( x ) y '( x ) (4)

Sostituendo nella (2) le espressioni di y(x) ed y′ (x) dedotte dalla (3) e dalla (4) e semplificando si

ha: + = x

z ' 2 z 2

e (5)

L’equazione (5) è lineare del primo ordine avente come termine noto una funzione esponenziale.

Per risolvere la (5) di deve trovare la famiglia di funzioni

∫

= = +

A

( x ) 2 dx 2 x c (5.1)

A ( x )

e

e moltiplicare i due membri per l’esponenziale ; ciò fatto si riconosce che al primo membro

figura la derivata della funzione

⋅ A x

( )

z ( x ) e

Si ha: +

+

= =

A ( x ) 2 x c 2 x

e e ke , con k∈R (5.2)

⇒

A ( x )

Moltiplichiamo ora i due membri delle (5) per e

( )

[ ] =

⇔

+ ⋅ = ⋅ 2 x 3 x

2 x x 2 x D z ( x ) e 2

e

z ' 2 z ke 2 e ke

Integrando nei due membri si perviene all’uguaglianza 2

( )

∫ ∫

= ⇒ ⋅ = +

2 x 3 x 2 x 3 x

D z ( x ) e dx 2

e dx z x e e c

( ) 1

3

e quindi 2 −

= +

x 2 x

z x e c e (5.3)

( ) 1

3

La famiglia di curve avente come equazione la (5.3) rappresenta l’integrale generale dell’equazione

differenziale (5).

In virtù della sostituzione (3) si risale all’integrale generale y(x) dell’equazione (2) e quindi

dell’equazione (1). La forma implicita è: 3

1 = −

= − ⇒ 2

2 ( )

y x (5.4)

y ( x ) −

+ 2

x x

2 3

e c e

z ( x ) 1

Applicazione

Risolvere il seguente problema di Cauchy

 = + x 3

y ' y e y

 =

y (0) 1



Soluzione

Autore Luigi Lecci\Liceo Scientifico “G. Stampacchia”- Tricase (LE) – 0833-544020