studio della funzione 1

Esercizio studio

della funzione

irrazionale con

valore assoluto

Studiare la seguente funzione: 2 − −

f(x) = x 6x 9

Svolgimento

2 − −

f(x) = x 6x 9

Per come è definito il valore assoluto risulta:

 3

2

= + − ≤

f (x) 6 9 per x

x x

 1

 3 2

2 

+ − ≤

x 6x 9 per x

 

 3

2 = − − ≤ ≤



 f (x) (x 3

) per x 3

f(x) = = 2

3 2



 2 − + = − ≥

x 6x 9 x 3 per x

 = − ≥



 f (x) x 3 per x 3

2 3





Studiamo separatamente f , f ed f , ciascuna nel proprio intervallo di definizione.

1 2 3

− − −

(x 3), y = x 3 rappresentano due rette r ed s passanti per il punto

Siccome le equazioni y = −

(3,0) e per coefficiente angolare rispettivamente 1 e 1, allora il grafico della f è il segmento,

2

3 e x =3, mentre il grafico della f è la

giacente sulla retta r avente per estremi i punti di ascissa x= 3

2

semiretta di s avente l'origine in (3,0) e giacente nel primo quadrante degli assi coordinati.

3

−∞

Studiamo allora, nell'intervallo] , ] la f :

1

2

insieme di esistenza 3

2 − ≥ ≤ − − ≤ ≤

2 2)

deve essere x + 6x 9 0 cioè x 3(1 + ) oppure 3( 1 + x ;

2

  3

3

− −  

2 2 = ;

f ( 3(1 + )) = f (3( 1 + )) = 0 ; f

1 1 1   2

2

intersezione con gli assi 2

la curva non incontra l'asse delle ordinate e incontra l'asse delle ascisse nei punti (−3(1 + ),0) e

2

(3(−1 + ),0);

limiti, asintoti  

6 9

 

2 + − = + − = +∞ ;

lim x 6x 9 lim x 1

 

2

→ −∞ → −∞ x

 

x x x  

2 + − x

f (x) x 6x 9 6 9 6 9

 

= = + − = − + − = −

1

lim lim lim 1 lim 1 1;

 

2 2

→ −∞ → −∞ → −∞ → −∞

x x x x x

 

x x x x

x x

− −

6x 9 6x 9

2

+ = + − + = = = =

lim (f (x) x) lim ( x 6x 9 x) lim lim

1

→ −∞ → −∞ → −∞ → −∞

2 6 9

+ − −

x x x x

x 6x 9 x + − −

x 1 x

2

x x

9

−

6 x = − ;

lim 3

→ −∞ 6 9

x − + − −

1 1

2

x x −x −3

quindi la retta y = è un asintoto della curva;

monotonia, punti di massimo e di minimo relativo

+

x 3

f '(x) =

1 2 + −

x 6x 9 −∞, −3(1+ 2

Si vede che nell'intervallo ] )] risulta f ' < 0 e perciò in tale intervallo la curva

1

3

2

decresce, mentre nell'intervallo [3(−1+ ), ] essendo f ' >0, la curva cresce; inoltre

1

2  

3 3

 

≠ quindi il punto è un punto angoloso;

,

lim f ' (x) lim f ' (x)

1 2  

− + 2 2

   

3 3

→ →

   

x x

   

2 2