Soluzione terzo appello 2023 Fondamenti di analisi 2

H,A,B

i polinomi , per

5 R.

5t/3 2

↵ = x (t) = (A + Bt)e A, B

H,A,B

9 p p

le funzioni , per

5 R.

3↵t

2 2 2

0 < ↵ < x (t) = (A cos(t 5↵ 9↵ ) + B sin(t 5↵ 9↵ ))e A, B

H,A,B

9 p

altrimenti le funzioni , per dove

R,

z t z t 2

2 ±

x (t) = Ae + Be A, B z = 3↵ 9↵ 5↵.

+ ±

H,A,B

(f) Cerco soluzioni particolari dell’EDO 00 0 t

x (t) 6↵x (t) + 5↵x(t) = ↵e + (6 ↵)t.

Ho già determinato la soluzione particolare , c’è risonanza.

3

x (t) = t

↵ = 0 ⇤

Cerco per una soluzione particolare con termine noto . Per verosimiglianza:

1. t

6

↵ = 0 ↵e

Se è radice del polinomio caratteristico, ovvero se c’è risonanza.

• 1 0 = 1 6↵+5↵ = 1 ↵,

Per fattorizzo il polinomio caratteristico in ed è radice singola: cerco

↵ = 1 (z 1)(z 5)

0 00

t t t t t

x(t) = kte x (t) = ke + kte x (t) = 2ke + kte

da cui inserendo funzione e derivate nell’EDO ottengo 1

00 0 t t

⇤ ⇤ ⇤ )

x (t) 6x (t) + 5x(t) = [ t 6(1 + t ) + 5(2 + t )] ke = 4ke k = .

4

Se non c’è risonanza: provo con e trovo

t

• 6

↵ = 1 x(t) = ke ↵

00 0 t t )

x (t) 6↵x (t) + 5↵x(t) = (1 6↵ + 5↵) ke = (1 ↵)ke k = .

1 ↵

Cerco per una soluzione particolare con termine noto per verosimiglianza.

2. 6

↵ = 0 (6 ↵)t

Siccome non c’è risonanza: provo con e trovo

6

↵ = 0 x(t) = p t + p

0 1 6 ↵ 6(6 ↵)

00 0 )

x (t) 6↵x (t) + 5↵x(t) = 6↵p + 5↵p t + 5↵p p = , p = .

0 0 1 0 1

5↵ 25↵

Una soluzione particolare è .

14 65

t

↵ = 1 x (t) = te + t +

1 6(6 ↵)

Una soluzione particolare è .

↵ 6 ↵

t

6

↵ = 0; 1 x (t) = e + t +

↵ 1 ↵ 5↵ 25↵

Risposte Tema 2.

(a) L’EDO è lineare non omogenea e non autonoma

00 0 s 3

y (s) 8 y (s)+32 y(s) = e +(20+480 )s

del II ordine a coefficienti costanti, per ogni valore di R.

2

(b) Per trovo .

5

= 0 y (s) = s

⇤

(c) Il dominio è pari in mentre è dispari in l’integrale doppio di è

2 2 5

{s 

+ r 1} s y (s) = s s: y

⇤ ⇤

R

nullo. Sommo poi per linearità l’integrale , risultato cercato.

⇡

2

r drdt = 4

B (0)

1

(d) L’integrale di sulla curva in da è

7 5 4

f (s, r) = s (s) = (s, s ), [0, 1], ˙ (s) = (1, 5s ),



Z Z ⇣ ⌘

p 1 p

1 1 1

3/2

7 8

8

f ds = t 1 + 25t dt = 25t + 1 = 26 26 1 .

300 300

0 0

(e) L’equazione caratteristica è . Per ho le soluzioni

R

2 2 2

z 8 z + 32 = 0, = 16 32 A, B

4

:

= 0 x (s) = A + Bs

H,A,B

: 8s

= 2 x (s) = (A + Bs)e

H,A,B p p

: 4 s

2 2

0 < < 2 x (s) = (A cos(s 32 16 ) + B sin(s 32 16 ))e

H,A,B p

altrimenti : , dove .

z s z s 2

±

x (s) = Ae + Be z = 4 16 32

+ ±

H,A,B

(f) Se cerco soluzioni particolari dell’EDO . Siccome

1 1 4 1

00 0 s

= y (s) + y (s) y(s) = e 1

24 3 3 24

è radice singola del polinomio caratteristico c’è risonanza e cerco

0 00

s s s s s

y(s) = kse y (s) = ke + kte y (s) = 2ke + kse

da cui inserendo funzione e derivate nell’EDO ottengo



1 4 1 4 7 1

00 0 s s )

y (s) + y (s) y(s) = s + (1 + s) (2 + s) ke = ke k = .

3 3 3 3 3 56

s

(g) Sostituisco nell’EDO completa, che viene risolta quando

e 125 375 375

? 3 2

y (s) = + s + s + s

25 8 32 128

Per determinare tale valore basta eguagliare le derivate della funzione esponenziale,

= 1.

risparmiando i conti di derivazione e confronto del polinomio.

FONDAMENTI DI ANALISI MATEMATICA 2 (6cfu)

Ingegneria Gestionale, dell’Innovazione del Prodotto e Meccatronica

Docenti: L. Caravenna, A. Massaccesi

Vicenza, 29 agosto 2023 — III appello

La brutta copia, sul foglio protocollo a quadretti, non si consegna. Consegnate invece il testo.

Appoggiare ben in vista telefoni, calcolatrici, smartwatch, . . . Non toccarli: vietato l’uso!

La prova si svolge senza ogni tipo di appunti. Durante il compito serve silenzio.

1

TEMA

Sia un parametro. Si consideri l’equazione differenziale ordinaria

Esercizio 1 R

2

↵ 00 0 t (?)

x (t) 6↵x (t) + 5↵x(t) = ↵e + (6 ↵)t .

(a) Si classifichi l’EDO definita appena sopra in (?).

(b) Per si determini la soluzione al problema di Cauchy per (?) con 0

↵ = 0, x (t) x(0) = x (0) = 0.

⇤

(c) Svolto (b) , calcolare l’integrale doppio di sul dominio .

R

2 2 2 2

{t  ⇢

g(t, q) = q + x (t) + q 1}

⇤

(d) Svolto (b) , calcolare l’integrale curvilineo di I specie della funzione sulla curva

f (t, q) = x (t)

⇤

grafico per

q = x (t) 0 < t < 1.

⇤

(e) Si risolva l’EDO omogenea associata a (?) al variare di R.

2

↵

(f) Si determini una soluzione particolare dell’EDO completa (?) al variare di R.

2

↵

Esercizio 2

(a) Si consideri la matrice 0 1

2 2 1

B C

M = .

2 2 0

@ A

1 0 0

Sulla base di teoremi noti si dica se si può escludere che sia la matrice Hessiana di una

funzione di classe almeno .

R R

3 2

!

f : C

(b) Senza calcolare gli autovalori della matrice, conto che risulterebbe impengativo, si dica che

informazioni si possono dedurre sulla segnatura della matrice .

M

(c) Si consideri la funzione 2 2 3

per R

2

f (x, y, z) := (x 1)tanh(z) + (x y) (z + 1) (x, y, z) .

Si calcolino i punti critici della funzione su e se ne discuta la natura.

R 3

(d) Si dia una parametrizzazione regolare della curva di intersezione tra e

y = x z = x 1.

(e) Si dica se la funzione del punto (c) assume massimo e/o minimo su al punto (d) .

f ⇤

Tempo: ottanta minuti. Prova completa

FONDAMENTI DI ANALISI MATEMATICA 2 (6cfu)

Ingegneria Gestionale, dell’Innovazione del Prodotto e Meccatronica

Docenti: L. Caravenna, A. Massaccesi

Vicenza, 29 agosto 2023 — III appello

La brutta copia, sul foglio protocollo a quadretti, non si consegna. Consegnate invece il testo.

Appoggiare ben in vista telefoni, calcolatrici, smartwatch, . . . Non toccarli: vietato l’uso!

La prova si svolge senza ogni tipo di appunti. Durante il compito serve silenzio.

2

TEMA

Sia Si consideri l’equazione differenziale ordinaria

Esercizio 1 R.

2 00 0 s 3 (?)

y (s) 8 y (s) + 32 y(s) = e + (20 + 480 )s .

(a) Si classifichi l’EDO definita appena sopra da (?).

(b) Per si determini la soluzione al problema di Cauchy per (?) con 0

= 0, y (t) y(0) = y (0) = 0.

⇤

(c) Svolto (b) , calcolare l’integrale doppio di sul dominio .

R

2 2 2 2

{s  ⇢

g(s, r) = r + y (s) + r 1}

⇤

(d) Svolto (b) , calcolare l’integrale curvilineo di I specie della funzione sulla curva

7

f (s, r) = s

grafico dove 2

r = y (s), s [0, 1].

⇤

(e) Si risolva l’EDO omogenea associata a (?) al variare di R.

2

(f) Si determini una soluzione particolare dell’EDO completa (?) per il solo valore .

1

= 24

s

(g) Determinare per cui la funzione risolve l’EDO (?).

e 125 375 375

R ? 3 2

2 y (s) = + s + s + s

25 8 32 128

Esercizio 2

(a) Si consideri la matrice 0 1

0 0 1

B C

Q = .

0 2 2

@ A

1 2 2

Sulla base di teoremi noti si dica se si può escludere che sia la matrice Hessiana di una

funzione di classe almeno .

R R

3 2

!

f : C

(b) Senza calcolare gli autovalori della matrice, conto che risulterebbe impengativo, si dica che

informazioni si possono dedurre sulla segnatura della matrice Q.

(c) Si consideri la funzione 2 2 3

per R

2

f (x, y, z) := (z 1) tanh x + (z y) (x + 1) (x, y, z) .

Si calcolino i punti critici della funzione su e se ne discuta la natura.

R 3

(d) Si dia una parametrizzazione regolare della curva che verifica

( y = z .

x = z 1

(e) Si dica se la funzione del punto (c) assume massimo e/o minimo su al punto (d) .

f ⇤

Tempo: ottanta minuti. Prova completa

Risposte esercizio 2 Tema 1.

(a) La matrice è simmetrica e, per il Teorema di Schwarz, essendo la simmetria una condizione

necessaria affinché la matrice sia Hessiana di una funzione di classe , non si può escludere

2

C

che lo sia. Inoltre, è sufficiente prendere il polinomio per verificare

2

g(x, y, z) = (x y) + xz

che in ogni punto.

M = Hess(g)

(b) Osserviamo che pari al prodotto degli autovallori, dunque la matrice ha tutti

det M = 2 < 0,

autovalori non nulli e deve avere almeno un autovalore negativo: se ha un solo autovalore

negativo è indefinita, se ha 3 autovalori negativi è definita negativa. Possiamo escludere

che sia definita positiva e che sia semidefinita (positiva o negativa). Calcolando la traccia

pari a che fornisce la somma degli autovalori, in questo caso fortunato sappiamo già

4 > 0,

concludere che si tratta di una matrice indefinita.

(c) Calcoliamo ✓ ◆

x 1

2 2 2

rf (x, y, z) = tanh(z) + 2(x y)(z + 1), 2(x y)(z + 1), + 2z(x y)

2

cosh (z)

e risolviamo 8

> 2

tanh(z) + 2(x y)(z + 1) = 0

>

< 2

2(x y)(z + 1) = 0 .

>

>

: x 1 2

+ 2z(x y) = 0

2

cosh (z)

Dalla seconda equazione, essendo sempre deduciamo che Questo ci

2 6

z + 1 = 0, x = y.

dà nella prima equazione (che è verificata se e solo se e nella

tanh(z) = 0 z = 0) x = 1

terza equazione. Dunque l’unico punto critico è Possiamo calcolare la matrice

p = (1, 1, 0).

Hessiana che è

Hessf, 0 1

1

2 2

2(z + 1) 2(z + 1) + 4z(x y)

2

cosh z

B C

2 2

Hess (x, y, z) = .

2(z + 1) 2(z + 1) 4z(x y)

@ A

f 1 sinhz 2

+ 4z(x y) 4z(x y) 2(x 1) + 2(x y)

2 3

cosh z cosh z

Valutando nel punto critico troviamo

(1, 1, 0) 0 1

2 2 1

B C

Hess (x, y, z) = = M.

2 2 0

@ A

f 1 0 0

Come osservato al punto (b), la matrice può essere soltanto o definita negativa o indefi-

M

nita, di conseguenza il punto può essere soltanto un massimo relativo o un punto di sella,

p

rispettivamente; più precisamente è un punto di sella. D’altra parte la funzione lungo la

f