Soluzione appello 4 2023 Fondamenti di analisi 2

Docenti: L. Caravenna, A. Massaccesi

Vicenza, 6 febbraio 2024 — IV appello

Nella prima pagina del foglio di bella, quello a sei facciate, sotto lo spazio riservato alla Commissione,

riassumete eventualmente i risultati ottenuti. Lo svolgimento scrivetelo dalla pagina dopo. La brutta

copia, sul foglio protocollo a quadretti, non si consegna. Consegnate invece il testo.

Appoggiare ben in vista telefoni, calcolatrici, smartwatch, . . . Non toccarli: vietato l’uso!

La prova si svolge senza ogni tipo di appunti. Durante il compito serve silenzio.

Esercizio

(a) Sia un parametro. a.1) Si classifichi la seguente equazione differenziale ordinaria:

R

2

↵ 00 0

y (x) + (↵ + 2)y (x) + ↵y (x) = 0 .

o

o o

a.2) Si determini l’integrale generale. a.3) Per quali esistono soluzioni illimitate a

6

↵ = 0 +1?

(b) Per si consideri la seguente equazione differenziale ordinaria

6

↵ = 0, 00 0

y (x) + (↵ + 2)y (x) + ↵y (x) = 4x .

↵

↵ ↵

b.1) Si classifichi l’equazione. b.2) Se ne calcoli l’integrale generale per 6

↵ = 0.

(c) Nel caso particolare si risolva il problema di Cauchy

↵ = 0 8 00 0

y (x) + 2y (x) = 4x

>

< 12 14 .

y =

>

: 1

0

y =0

2

I punti seguenti usano la funzione determinata al punto (c) . Solo nel caso in cui non si riesca

y (x)

⇤

a risolvere (c) , si prosegua usando come alternativa la funzione fittizia .

x

y (x) = e

⇤

(d) Denotiamo con la soluzione al problema di Cauchy trovata al punto (c) . Si consideri

y ⇤

qui parametro fissato. Si scriva una parametrizzazione a velocità

2 2

x [0, 1], (t), t [0, 1],

x

costante, del segmento che congiunge e

(x, y (x), 0) (x, 0, y (x)).

⇤ ⇤

(e) e.1) Si verifichi che la superficie 2 ⇥

(s, t) := (t) (s, t) [0, 1] [0, 1]

s

è regolare. e.2) Se ne determini il piano tangente nel punto 12 12

( , ). 1

(f) Si calcoli il baricentro della superficie in (e) , data la densità 0 2

(x, y, z) = 2 + (y (x)) .

2

⇤

(g) Si calcoli il volume del dominio compreso tra i piani e la superficie ⇥

S xOy, zOx ⌃ = ([0, 1]

ottenuta ai punti precendenti. (Lo strato a fissato è un triangolo rettangolo isoscele)

[0, 1]) x

(h) Si calcoli il flusso attraverso la superficie parametrizzata da del campo

R 3

⇥ !

: [0, 1] [0, 1]

2 2

2 x x

F (x, y, z) = (x x y, e , e ).

(i) Si calcolino i punti di minima distanza di dal punto , ossia si calcoli i punti di minimo

12

⌃ , 0, 0

p

della funzione vincolato alla superficie

2 2 2

d(x, y, z) = (x 1/2) + y + z ⌃.

⇤

Tempo: ottanta minuti. Prova completa: non mi avvalgo dei progetti in itinere

FONDAMENTI DI ANALISI MATEMATICA 2 (9 cfu)

Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica

Docenti: L. Caravenna, A. Massaccesi

Vicenza, 6 febbraio 2024 — IV appello

Nella prima pagina del foglio di bella, quello a sei facciate, sotto lo spazio riservato alla Commissione,

riassumete eventualmente i risultati ottenuti. Lo svolgimento scrivetelo dalla pagina dopo. La brutta

copia, sul foglio protocollo a quadretti, non si consegna. Consegnate invece il testo.

Appoggiare ben in vista telefoni, calcolatrici, smartwatch, . . . Non toccarli: vietato l’uso!

La prova si svolge senza ogni tipo di appunti. Durante il compito serve silenzio.

Esercizio

(a) Sia un parametro. a.1) Si classifichi la seguente equazione differenziale ordinaria:

R

2

↵ 00 0

y (x) + (↵ + 2)y (x) + ↵y (x) = 0 .

o

o o

a.2) Si determini l’integrale generale. a.3) Per quali esistono soluzioni illimitate a

6

↵ = 0 +1?

(b) Per si consideri la seguente equazione differenziale ordinaria

6

↵ = 0, 00 0

y (x) + (↵ + 2)y (x) + ↵y (x) = 4x .

↵

↵ ↵

b.1) Si classifichi l’equazione. b.2) Se ne calcoli l’integrale generale per 6

↵ = 0.

(c) Nel caso particolare si risolva il problema di Cauchy

↵ = 0 8 00 0

y (x) + 2y (x) = 4x

>

< 12 14 .

y =

>

: 1

0

y =0

2

I punti seguenti usano la funzione determinata al punto (c) . Solo nel caso in cui non si riesca

y (x)

⇤

a risolvere (c) , si prosegua usando come alternativa la funzione fittizia .

x

y (x) = e

⇤

(d) Denotiamo con la soluzione al problema di Cauchy trovata al punto (c) . Si consideri

y ⇤

qui parametro fissato. Si scriva una parametrizzazione a velocità

2 2

x [0, 1], (t), t [0, 1],

x

costante, del segmento che congiunge e

(x, y (x), 0) (x, 0, y (x)).

⇤ ⇤

(e) e.1) Si verifichi che la superficie con è regolare.

2 ⇥

(s, t) := (t) (s, t) [0, 1] [0, 1]

s

e.2) Se ne determini il piano tangente nel punto 12 12

( , ).

(f) Si calcoli il volume del dominio compreso tra i piani e la superficie ⇥

S xOy, zOx ⌃ = ([0, 1]

ottenuta ai punti precendenti. (Lo strato a fissato è un triangolo rettangolo isoscele)

[0, 1]) x

(g) Si calcoli il flusso attraverso la superficie parametrizzata da del campo

R 3

⇥ !

: [0, 1] [0, 1]

2 2

2 x x

(x, y, z) = (x x y, e , e

F ).

(h) Si calcolino i punti di minima distanza di dal punto , ossia si calcoli i punti di minimo

12

⌃ , 0, 0

p

della funzione vincolato alla superficie

2 2 2

d(x, y, z) = (x 1/2) + y + z ⌃.

2 2

(i) Si dica se la forma differenziale è chiusa e se è esatta.

2 x x

! = (x x y)dx + e dy e dz

Se possibile, se ne calcoli una primitiva. ⇤

Tempo: novanta minuti.

Soluzione.

(a) a.1) Si tratta di un’equazione differenziale ordinaria lineare omogenea a coefficienti costanti.

a.2) Per risolverla, calcoliamo il polinomio caratteristico con radici

2

p ( ) = + (↵ + 2) + ↵,

↵

⇣ ⌘

p

1 2

±

= ↵ 2 ↵ + 4 .

1,2 2

Le radici sono reali e non coicidono mai. L’equazione omogenea ha dunque una famiglia di

soluzioni generata dalle funzioni

✓ ◆ ✓ ◆

q q

2 2

↵ ↵ ↵ ↵

+1 +1 x +1+ +1 x

e

2 4 2 4

e e . p

a.3) Affinché esista una soluzione non limitata a è necessario che 2

+1 ↵ + 2 ↵ + 4 < 0,

vero se e solo se ↵ < 0.

(b) a.1) Si tratta di un’equazione differenziale ordinaria lineare non omogenea a coefficienti co-

stanti, pur se contenente parametri. a.2) Abbiamo già calcolato i generatori dello spazio delle

soluzioni dell’equazione omogenea al punto precedente. Per la soluzione particolare dell’e-

quazione non omogenea, osserviamo subito che ci sarebbe risonanza solo nel caso in cui

p ossia se e solo se ossia se e solo se già

2 2

2

±

↵ 2 ↵ + 4 = 0, ↵ + 4 = ↵ + 4↵ + 4, ↵ = 0,

escluso nel testo dell’esercizio. In assenza di risonanza, per verosimiglianza cerchiamo una

soluzione particolare della forma ottenendo

y (x) = c + c x,

p 0 1

00 0

4x = y (x) + (↵ + 2)y (x) + ↵y (x) = (↵ + 2)c + ↵c + ↵c x ,

p 1 0 1

p p

che è verificata per ogni se e solo se

R

2

x

( ( 4

↵c = 4 c =

1 1 ↵

() .

4(↵+2)

(↵ + 2)c + ↵c = 0 c =

1 0 0 2

↵

L’integrale generale dell’equazione è

✓ ◆ ✓ ◆

q q

2 2

↵ ↵ ↵ ↵ 4 4(↵ + 2)

+1 +1 x +1+ +1 x

2 4 2 4

y (x) = Ae + Be x + .

↵ 2

↵ ↵

(c) Poiché l’equazione omogenea è sappiamo che le soluzioni dell’equazione omo-

00 0

y + 2y = 0,

genea sono generate da Per trovare la soluzione particolare, avendo risonanza,

2x

{1, }.

e

cerchiamo qualcosa del tipo , che dovrà risolvere

2

y (x) = c x + c x

p 1 2

4x = 2c + 2c + 4c x .

2 1 2

Otteniamo e ossia e

2

c = 1 c = 1, y (x) = x x

2 1 p 2x 2

y(x) = A + Be + x x .

avremo

Per verificare e

1 14 1

0

= = 0

y y

2 2

( B 1 1 1

A + + =

e 2 4 4 () A = B = 0 .

2 B +1 1=0

e

La soluzione del problema di Cauchy è la parabola .

2

y (x) = x x

⇤

(d) Il segmento è parametrizzato da 2 2 2

(t) = (x, (1 t)y(x), ty(x)) = x, (1 t)(x x ), t(x x ) t [0, 1] .

x

Si può controllare che la curva ha velocità costante 0 6

(t) = (0, y(x), y(x)) = 0, 0 < t < 1.

x

Nel caso alternativo in cui non si fosse risolto (c) , il segmento sarebbe parametrizzato da

x x 2

(t) = (x, (1 t)y(x), ty(x)) = x, (1 t)e , te t [0, 1] .

x

Si può controllare che la curva ha velocità costante 0 6

(t) = (0, y(x), y(x)) = 0, 0 < t < 1.

x

(e) e.1) La superficie ha parametrizzazione 2 2

(s, t) = (s, (1 t)y(s), ty(s)) = s, (1 t)(s s ), t(s s ) ,

che è di classe su tutto e in particolare sul dominio Si può calcolare

R

1 2 ⇥

C [0, 1] [0, 1].

0 1

e e e

1 2 3

@ @ B C 0

0 0

⇥ (s, t) = = y(s) y (s), 1, 1

1 (1 t)y (s) ty (s)

@ A

@s @t 0 y(s) y(s)

= (s(1 s)(1 2s), s(s 1), s(s 1)) = s(1 s) ((1 2s), 1, 1)

e, di conseguenza p

p

@ @ 0 2 2

⇥ |y(s)| |s||1

(s, t) = 2 + (y (s)) = s| 3 4s + 4s .

@s @t

Per si ha che d’altra parte il polinomio di secondo grado ha

2

2

s (0, 1) s(1 s) > 0, 4s 4s + 3

discriminante negativo e non si annulla mai, dunque la superficie è regolare in ⇥

(0, 1) (0, 1).

e.2) In un generico punto il piano tangente può essere parametrizzato da

(x, y, z)

✓ ✓ ◆ ✓ ◆ ◆

1 x x 1 x x

⌧ (u, v) = (x, y, z) + 1, y, z u + (0, y z, y + z) v

x 1 x x 1 x

ed ha equazione cartesiana Se abbiamo

(2x 1)(x x) (y y) (z z) = 0. s = t = 1/2

⌧ (u, v) = (0, 1/4, 1/4) + (1, 0, 0) u + (0, 1/2, 1/2) v R.

2

= (u, 1/4 + v/2, 1/4 v/2) u, v

Si tratta del piano z + y = 1/2.

Nel caso alternativo in cui non si fosse risolto (c) , si arriverebbe alla superficie parametri-

ca con normale e con piano tangente

s s s s 6

(s, t) = (s, (1 t)e , te ) e ( e , 1, 1) = 0 ⌧ (u, v) =

p p p p con o anche in forma implicita dato da

1 R,

2

(1, e, e) + (2, e, e)u + (0, v, v) u, v

2 p p p

e quindi

x

e (x x) (y y) (z z) = 0 e(2x 1) (2y e) (2z e) = 0.

(f) Calcoliamo innanzitutto la massa della superficie

M

Z Z Z Z

(

p ((

1 1 1

( 1 1

(

(

(( (

2 p

M = = s(1 s) 3 4s + 4s ds dt = y(x) dx = .

(

(

(

(

(( 6

2

4s 4s + 3

⌃ 0 0 0

Per il