Soluzione secondo appello 2023 Fondamenti di analisi 2

S D

` `

intorno all’asse x.

(d) Si calcoli il volume del solido appena creato per rotazione intorno all’asse

S y.

✓ ◆

` p

Rp p 2

1 y

Suggerimento: 12

2 2

1 y dy = y 1 y arctan y+1

⇤

Tempo: ottanta minuti. Prova completa: non mi avvalgo dei progetti in itinere

FONDAMENTI DI ANALISI MATEMATICA 2 (6cfu)

Ingegneria Gestionale, dell’Innovazione del Prodotto e Meccatronica

Docenti: L. Caravenna, A. Massaccesi

Vicenza, 5 luglio 2023 — II appello

sotto

Nella prima pagina del foglio di bella, quello a sei facciate, lo spazio riservato alla Com-

missione, riassumete i risultati ottenuti. Lo svolgimento scrivetelo dalla pagina dopo.

La brutta copia, sul foglio protocollo a quadretti, non si consegna. Consegnate invece il testo.

Appoggiare ben in vista telefoni, calcolatrici, smartwatch, . . . Non toccarli: vietato l’uso!

La prova si svolge senza ogni tipo di appunti. Durante il compito serve silenzio.

2

TEMA

Si consideri la funzione di due variabili

Esercizio 1 4 2 2 4

f (x, y) = x + 6↵x y 9↵y .

↵

(a) Per si consideri e si risolva l’equazione differenziale ordinaria

4

↵ = 0 f (x, y) = x

0 4

0 con dato

w (x) 4xw(x) = f (x, w(x)) , w(1) = 1 .

0

x

(b) Per ottimizzare la funzione sulla curva

4 2 2 4

↵ = 9, f (x, y) = x 54x y + 81y

9

4 4

x + 81y = 9 .

(c) Determinare in i punti critici della funzione al variare di

R R.

2 2

f (x, y) ↵

↵

(d) Stabilire in la natura dei punti critici trovati:

R 2

I) per ↵ = 0.

II) per ↵ = 1.

[facoltativo] per osservando che l’immagine di in coincide con l’immagine di

R 2

1 < ↵ < 0, f ↵

nel I quadrante.

2 2

g (p, q) = p + 6↵qp 9↵q

↵ Si consideri al variare di il dominio piano

Esercizio 2 ` > 0 \

2 2 2 2 2

 

D = (x, y) : 16x + 25y 8`x (x, y) : 16x + 25y ` .

↵

(a) Per si disegni tale dominio.

` = 1

(b) Si calcoli l’area di tale dominio e si dica per quale è pari a .

19

D `

`

(c) Si descriva “in formule”, ad esempio mediante disequazioni il solido ottenuto ruotando

S D

` `

intorno all’asse x.

(d) Si calcoli il volume del solido appena creato per rotazione intorno all’asse

S y.

✓ ◆

` p

Rp p 2

1 y

Suggerimento: 12

2 2

1 y dy = y 1 y arctan y+1

⇤

Tempo: ottanta minuti. Prova completa: non mi avvalgo dei progetti in itinere

FONDAMENTI DI ANALISI MATEMATICA 2 (9cfu)

Ingegneria Gestionale, Meccanica e Meccatronica

Docenti: L. Caravenna, A. Massaccesi

Vicenza, 5 luglio 2023 — II appello

sotto

Nella prima pagina del foglio di bella, quello a sei facciate, lo spazio riservato alla Com-

missione, riassumete i risultati ottenuti. Lo svolgimento scrivetelo dalla pagina dopo.

La brutta copia, sul foglio protocollo a quadretti, non si consegna. Consegnate invece il testo.

Appoggiare ben in vista telefoni, calcolatrici, smartwatch, . . . Non toccarli: vietato l’uso!

La prova si svolge senza ogni tipo di appunti. Durante il compito serve silenzio.

Si consideri la funzione di due variabili .

Esercizio 1 4 2 2 4

f (x, y) = x + 4↵x y 4↵y

↵

(a) Per si consideri e si risolva l’equazione differenziale ordinaria

4

↵ = 0 f (x, y) = x

0 1

0 con dato

w (x) xw(x) = f (x, w(x)) , w(1) = 1 .

0

x

(b) Per ottimizzare la funzione sulla curva

4 2 2 4

↵ = 4, f (x, y) = x 16x y + 16y

4

4 4

x + 16y = 144 .

(c) Determinare in i punti critici della funzione al variare di

R R.

2 2

f (x, y) ↵

↵

(d) Stabilire in la natura dei punti critici trovati:

R 2

I) per ↵ = 0.

II) per ↵ = 1.

[facoltativo] per osservando che l’immagine di in coincide con l’immagine di

R 2

1 < ↵ < 0, f ↵

nel I quadrante.

2 2

g (p, q) = p + 4↵qp 4↵q

↵ Si consideri al variare di il dominio piano

Esercizio 2 ` > 0 \

2 2 2 2 2

 

D = (x, y) : 9x + 4y 6`x (x, y) : 9x + 4y ` .

↵

(a) Per si disegni tale dominio.

` = 1

(b) Si calcoli l’area di tale dominio e si dica per quale è pari a .

10

D ` e

`

(c) Si descriva “in formule”, ad esempio mediante disequazioni, il solido ottenuto ruotando

S D

` `

intorno all’asse x.

(d) Si calcoli il volume del solido appena creato per rotazione intorno all’asse

S y.

` ✓ ◆

p

Rp p 2

1 y

Suggerimento: 1

2 2

1 y dy = y 1 y arctan

2 y+1

Si consideri la forma differenziale

Esercizio 3 x+y

! = g(x, y)dx + (2 + y)e dy

È possibile determinare in modo che la forma risulti esatta in e

R

1 2 2

2

g C (R ) g(x, 0) = 2x? ⇤

Tempo: novanta minuti.

Soluzione Esercizio 1 [Tema 1].

(a) Abbiamo l’EDO lineare del I ordine a coefficienti variabili

0 3

w (x) xw(x) = x .

Le soluzioni dell’omogenea associata sono

R 2

x dx x /2 R

2

y (x) = e = ke k .

hom,k

Integrando per parti

Z Z

2 2 2 2 2

3 x /2 2 x /2 x /2 2 x /2 x /2

x e dx = x e + 2xe dx = x e 2e .

Le soluzioni dell’EDO completa sono allora 2

2 x /2 R

2

y (x) = x + 2 + ke k .

hom,k

La soluzione al problema di Cauchy con dato è allora

y(1) = 1

2

⇤ 2 (x 1)/2 R

2

y (x) = x + 2 + 4e k .

(b) Osservata la parità in e in della funzione e della curva

4 2 2 4

x y f (x, y) = x 16x y + 16y

4

mi occupo solo del I quadrante. Qui parametrizzo

4 4 2

g(x, y) = x + 16y = 144, x = 12 cos #,

e ottimizzo per . Il

⇡

2  

4y = 12 sin # h(#) = 144(1 4 cos # sin #) = 144(1 2 sin(2#)) 0 # 2

massimo è per e il minimo è per . Riporto poi in e simmetrie.

⇡ ⇡

144 # = 0; 144 # = (x, y),

2 4

La funzione sulla curva vale

Alternativa: 4 2 2 4 4 4

x 16x y + 16y g(x, y) = x + 16y = 144

e 2 2

f (x, y) = 144 16x y

per cui procedo ottimizzando questa. Per Weierstrass ho massimi e minimi assoluti. Siccome

✓ ◆ ✓ ◆

3

4x 0 4 4

se

rg(x, 6

y) = = g(x, y) = x + 16y = 144

3

64y 0

posso usare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Una possibile Lagrangiana è

2 2 4 4

L(x, y, ) = 144 16x y + (x + 16y 144)

Imposto e risolvo un sistema equivalente dei moltiplicatori di Lagrange

8 8

> >

2 3 2 2

> >

xy = µx x(y µx ) = 0

> >

< <

2 3 2 2

x y = µ16y (x µ16y )y = 0

> >

> >

> >

: :

4 4 4 4

x + 16y = 144 x + 16y = 144

trovando p p p

p

con i punti di massimo assoluto e

• µ = 0 (0, 3), (0, 3), (2 3, 0), ( 2 3, 0) f = 144;

4

q q q

p p p

con la relazione e i punti

1 9 9 9

2 2 4 4 4

4 4 4

• ±

µ = x = 4y ( 72, ), ( 72, ), ( 72, ),

4 2 2 2

q

p di minimo assoluto vincolato con valore

92

4 4

( 72, ) 144.

Sfruttando le simmetrie e limitandomi a posso sostituire in

Alternativa. y 0, x 0, f

p p

l’esplicitazione del vincolo e studiare in la funzione 4

4 4

2y = 144 x [0, 12] h(x) = x

p p , ritrovando gli stessi risultati precedenti.

2 4 2

4 4

4x 144 x + 144 x = 144 4x 144 x

(c) Siccome la funzione è un polinomio e quindi applico

1

4 2 2 4 2

f (x, y) = x + 4↵x y 4↵y C (R )

↵

il teorema di Fermat e cerco massimi e minimi tra i punti critici della funzione, ossia nei punti

in cui il gradiente si annulla. Notando che è pari sia in sia in mi aspetto una risposta

f x y,

↵

che rispetti questa simmetria e potrò se serve limitarmi al I quadrante. Calcolo il gradiente:

✓ ◆ ✓ ◆

3 2 2 2

4x + 8↵xy 4x(x + 2↵y )

rf (x, y) = = .

↵ 2 3 2 2

8↵x y 16↵y 8↵y(x 2y )

Se i punti critici costituiscono l’asse Se i punti critici costituiscono le rette

↵ = 0 y. ↵ = 1

p p

e Se solo è punto critico.

6

x = 2y x = 2y. ↵ = 0; 1 (0, 0)

(d) I) Se la funzione è convessa, anche non strettamente, quindi i punti

4

↵ = 0 f (x, y) = x

0

critici sono tutti di minimo assoluto con valore nullo.

II) Se la funzione è positiva, quindi i punti

4 2 2 4 2 2 2

↵ = 1 f (x, y) = x 4x y + 4y = (x 2y )

1

critici, in cui è nulla, sono tutti di minimo assoluto con valore nullo.

III) Se applico il criterio del II ordine a , sapendo che

2 2

6

↵ = 0; 1 g (p, q) = p + 4↵qp 4↵q

↵

nel I quadrante hanno la stessa immagine, poi uso la simmetria. La matrice Hessiana è

!

2 4↵

Hg (x, y) = det Hg (x, y) = 16(1 + ↵)↵ tr Hg (x, y) = 2 8↵ .

↵ ↵ ↵

4↵ 8↵

Se sia traccia sia determinante sono positivi, da cui l’origine è di minimo in

1 < ↵ < 0

per : deduciamo che Siccome l’immagine di coincide con l’immagine di

R 2 g g 0. f

↵ ↵ ↵

nel primo quadrante, l’origine, con valore nullo, dovrà essere minimo anche di .

g f

↵ ↵

Se abbiamo che ha minimo nell’origine. Se

Alternativa. 4 6

y = 0 f (x, 0) = x y = 0

↵ 2

x

4 4 2

f (x, y) = y h(t) = y (t + 4↵t 4↵) t =

↵ 2

y

e possiamo verificare se è positiva semplicemente studiando il segno del polinomio

2

p(t) = t + 4↵t 4↵ t > 0 .

Da abbiamo che il minimo è in o, se in

0

p (t) = 2t + 4↵ t = 2↵ ↵ > 0, t = 0:

vicino a e se non è minimo né massimo;

• ! "

↵ > 0: p(t) < 0 t = 0 p(t) +1 t +1, 0

2 2

• 

↵ 0: p( 2↵) = 4↵ 8↵ 4↵ = 4(↵ + 1)↵

il minimo è da cui è minimo assoluto;

–  

1 ↵ 0: p( 2↵) 0 0

vicino a non è minimo né massimo.

– ↵ < 1: p(t) < 0 t = 2↵ > 0, 0

Riassumendo, anche se è molto più di quanto richiesto:

Per e per l’origine è punto di sella.

• ↵ < 1 ↵ > 0

Per i punti dell’asse sono di minimo assoluto.

• ↵ = 0 y p p

Per i punti delle rette e sono di minimo assoluto.

• {x {x

↵ = 1 = 2y} = 2y}

Per l’origine è di minimo assoluto.

• 1 < ↵ < 0 Scrivo il dominio piano come l’inter