Soluzione d’esame di Analisi matematica 2 (08/01/2024)

A

atteniamo

tan(0 sina

siccome .

-

e a =

, .

((62cs(0)sim(P)

()(6xy 12

vgdpdf

1)

1)dxdy 12

0

+

+ +

= = =

Siccome y(b)

forma allora

Il bordo y(a)

è allora di

iii) esatta chiusa

è

A

conservativa

è

una

w curva

una

in =

.

Jo U(r(a))

U(v(b)) 0

w =

= -

ESERCIZIO 2

Esistenza di assoluti triangolo

minimi il

nel

massimi sufficiente Weirstrass dopo

utilizzare

è

e teorema di

- aver

: ,

funzione (considerando

triangolo

che

R2) ,

definita

la

che il

continua

notato è (in

triangolo lo tutto

sul realtà è stato en

e e

la frontiera parte dell'insieme) è

sua compatto

un .

Possibile localizzazione dei Abbiamo

assoluti

max/min

punti frontiera

possibilità

di il

. punti gradiente

interni

di

- punti cui si

in

: ,

cuif diferenziabile

annulla è

punti interni .

in non

oppure

, Nx11 h(x

-Calcolo g(x) y)

del gradiente chiamando ha

y2

X-x si

= y-

+

:

: = , ,

,

[f(x 2y))

(g)(x)h(x g(x)(2x

y) y) 1) g(x)(1

+

= =

- -

, ,

-Punto differenziabilità (in

di esiste) funzione

che la

Osserviamo annulla ,

questa

retta retta

della

punti g si

a

x su

non cui non

=

: . funzione

pertanto valori

assoluto positivi

tali triangolo la

di nel

di

punti perché

ne

me massimo minimo assume

,

sono

non a) f(a 52/4

a

f(2

negativi Ad

. 2

esempio = =

e : -

, , , 1xf(x 1/2)

trovano

Punti critici cioè

prendendo 1/2 0

si e

y =

=

:

- ,

,

1)

1)(2x

2(x

2/4 20x2

x2 1474

a 1

28x =

0

0 X1

+

x =

+ =

=

=

+ 2

- -

-

- =

, 10

I funzione

.

(a/10 La

punti critici pertanto

1/2)

quindi (1/2 1/2) Q valore P

o in

P e assume

sono =

= , ,

, funzione

La (0

di 25)/Eo

di

è

pertanto ne valore

P ne minimo

P 0

01-0 5-0

massimo 9

. assume +

non 05

no

. .

.

, .

.

Una alternativa

del del

Q minimo

tratta ne né visto

quanto via

in massimo

si sopra

, per

non .

: necessaria)

(non alla

matrice

della

studio porta

che

Hessiana,

lo conclusione che

è due

Q

Pe sono

di sella.

punti bordo più poiché

-Conclusione di

triangolo

punti sul del dire

di Possiamo

i minimo sono

massimo e

: :

.

la funzione funzione

la

0) ha

lato

sul 2)

(0 che

(2 anche

che dire

è o

congiunge possiamo massimo

e , ,

,

lati orizzontale .

verticale

minimo

e sui e

Esercizio 2P

le cilindriche

Si A

coordinate

utilizzano dove

* A

I

i) >

: -

gcs(0)

! x = (0)

psim

y = t

z =

Quindi

det E(q le

0

D t) di definizione dell'insieme

considerando atteniamo 71

A (0)

1924

equazioni

e e e

= cos

.

, , ,

esiha (p

* 1])

0cI

A [1 2] I

E] te

+ E 1

-

= -

, ,

, ,

,

Ne che

viene (dddt

())

Vol(A) dxdydz

= =

1

dxeydzdydodt

(/a

i) exyz

Esercizio 3 l'indipendenza

la

Notiamo descrizione

che data negli

ha valori distribuzione geometrica

interi positivi

a) X

3 e , e con

la

tale di

parametro probabilità

è attenere Similmente

1/2 giacché lancio

singolo

pari in

un un

numero .

la

ha tale

Y distribuzione è

geometrica giacché probabilità di ottenere

di 1/2

parametro

sempre un

(dunque 6) lancio Ora

di poiché

singolo variabile

40 5 una

in

maggiore

numero 3 ,

o un

o .

1)

(0 che ha 1/p medio

da il di

valor Yi

geometrica di parte media

parametro Xe

1

pe , ,

uguale 2.

a

Il la di pelo

geometrica

che tale ,

chi di

suggerimento parametro

media

ricordasse una

serviva 1)

non

a ,

infatti medio

di

definizione valor

chiamiamola dalla il

utilizzando

uguale 1/p

Z suggerimento

sia ,

a ,

,

,

che (Ex)

notando pomendo

(1-x)2 calcolare

poteva

e 1-p

si x = :

= ,

, k)

(nkP(z

ElZT p)k

1

prek(1 Es =

= 3

p(

=

= = - =

2

p+

-

La probabilità richiesta

3b) calcolare

può

si scrivere e segue

come

P(X (2) 1) 2)

P(X 1)1

p(X (1

1 1 24

1

= =

=

- =

- -

- =

-

La probabilità informa formula Bayes

richiesta di

la

tramite

condizionale

può

si segue

scrivere come :

2)

2)

P(x P(X2ny

Y

2

> =

=

= P(y 2)

=

n ly

[X23 23

Notiamo che evento

questo coincide evento

1 1

a = con

primo lancio 33rl ?

lancio

secondo esce s

esce 1 o l'unico

giacché è dispari

ugualia

gli dispari maggiore

unici minori 3

,

a 5

e

3

e numero

numeri

sono l'indipendenza

formula lanci,

tornando ed

di utilizzando

alla di dei

Bayes

Dunque possiamo

3. ,

.

calcolare 2)

P(X

2)

P(X Y 2nY

2 >

> = =

= P(y 2)

= ese5)

P(primo lancio lancio

secondo

103

esce 1

= 2)Ez

(1 -

lancio

P(primo 103) esces) 116

lancio

P(secondo 113 2/9

esce x

x =

=

= 1/4

E