Sistemi e modelli

Controlli Automatici

Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo

Esercizi di verifica relativi ai lucidi CA-02-SistemiModelli

Rispondere alle seguenti domande/Risolvere i seguenti problemi:

2

1. L’equazione differenziale + 12 + 3 (t) = 2 dove è l’ingresso e l’uscita, è

ÿ(t) ẏ(t) y x(t), x(t) y(t)

lineare

⃝ andamento

c'è

uscita un

in quadratico

non lineare

⃝ stazionaria

⃝ dal

tempo

dipende

non

non stazionaria

⃝

2. Mostrare che il sistema dinamico avente come risposta quadratico

andamento

Ma t

!

2 ) 2

= sin (t)x + (τ )dτ

y(t) e u

−2(t−τ

0 notncincare

t

0

non è un sistema lineare. PROPRIETÀ

3

LE

RISPETTA

Mostrare invece che la risposta t

! )

= sin (t)x + )dτ

y(t) e u(τ

−2(t−τ

0 t

0

corrisponde a un sistema lineare.

3. L’equazione di stato ⎧ (t) = (t) + 3 sin(4t)x (t) + 5u (t)

ẋ x

1 1 3 1

⎨ (t) = 2x (t) (t) 3x (t)

ẋ − x −

2 1 2 3

(t) = (t) + 2u (t)

ẋ −2e x

⎩ −t

3 3 2

descrive un sistema tempo-variante o stazionario? lineare o non lineare? Se possibile scrivere il modello

in forma compatta = + indicando l’espressione delle matrici A e B.

ẋ Ax Bu

4. Dato il sistema dinamico caratterizzato dall’equazione di stato

31

% (t) = (t) + (t) + (t) + + 1

ẋ −x x x u(t)

1 1 2

(t) = (t) + (t) +

ẋ x x u(t)

2 1 2

determinare gli stati di equilibrio corrispondenti all’ingresso costante =

ū −1.

Derivare il modello linearizzato nell’intorno di uno dei punti di equilibrio trovati (ad es. = e

ū −1

& '

1

= )

x̄ 0

5. Dato il sistema dinamico caratterizzato dall’equazione di stato

31

% (t) = (t) +

ẋ x u(t)

1 22

(t) = (t) + (t)

ẋ x x

2 1

determinare gli stati di equilibrio corrispondenti all’ingresso costante = 1.

ū

6. Dato il sistema dinamico caratterizzato dal modello in forma di stato

2

(t) = (t) + (sin (x (t)) + 1)x (t) + 2u(t)

ẋ −2x

1 1 1 2

(t) = (t)

ẋ x

2 2 2

= (t) + cos(x (t))u (t)

y(t) x

1 2 & '

0

derivare il modello linearizzato nell’intorno del punto di equilibrio = 0 e = .

ū x̄ 0

7. Dato il sistema dinamico costituito da una massa su carrello soggetta a una forza elastica , visto a

M F

e

lezione (t) = (t)

ẋ x

1 2

1 31

(u(t) (x (t))) con (x ) =

(t) = − F F kx

ẋ 1 1

2 e e

M

= (t)

y(t) x

1

riscrivere, se possibile, il modello in forma compatta = + o in alternativa ottenere l’espressione

ẋ Ax Bu,

linearizzata per un generico ingresso costante .

F̄

lineare

L'equazione è si

Il è

t funzione

è del

sistema variante

tempo tempo

perché

3simat

0

1 47

1

2 E

O

0 B

A u

nto Ian

O'IntEFEosse

1

solo

stato

I

o 1

O 1 1

1

se ha 42

see

o 1 1

senti ser

se

ses 1 lat

si mette

se più

non perché

in del

più funzione

siamo

non tempo

O

a

LINEARIZZAZIONE

ASXIE BSult

Silt

A nei

x̅

g

1 1

3 1

B

a 1 e

1 1

a 2134

0 2113

1 1 1

ses soluzioni

1

211 2,24 1

0 0 1

se

se

1

1 41

2 4

cos sesk1fxa 11

sin

2simfses.ie

A 1

0

2 0

B artt

24 cos ult

sincralt

1

i

Per si

0 1201

1 e

1 fare

si in

può

non

A B entra

non

quanto

gas Kx's

linearmente Felses

1

0 1

Anna

1103

c spia

Linearizzazione 1103

c

D

A Iger

O velocità nulla

2 Kx13

O E D

1µF 1 E

Inxs

1 1

a p

c