Sistemi e modelli

O

ESTENSIONE JV(x)

LYAPUNOV allora

data

> tramite det

costruita

Se o

: , V(0) 0

0 X

in =

=

1) (ALMENO)

Y() STABILE

SEMPLICEMENTE

0

se è >

-

=

Ec (x) 0 SYLVESTER

TEST

V per

>

V(x)

11) ASINTOTICAMENTE STABILE

0 SEMIDEFINITA

e' VI O POSITIVA

tc >

-

el = , /TEST

Re7 SYLVESTER

;

(v(x)) (V(x))

f(x)

(() f(x) f(x)

V V(x)

dove .

. +... +

=

= NEGATIVA

PER

IDEM I I

* KRASOWSKIl

si DI

CRITERIO

escludere ?

ASINTOTICA

può quella D

ExeR" 03

:V

N (x)

def & &

=

: = N

In dell'origine

N N qualsiasi

dato

S sottoinsieme I

de intorno

un

= ,

1) ASINTOTIA x(t)

S

ST 0

sistema

del eccetto

contiene evoluzione

se non nessuna =

.

&O SEMPLICE X(t)

1) ST S 0

almeno oltre

I evoluzione

contenere

= se un

riesce a

per ogui =

. , , [(x)

O 0

IN quali l'equazione

PRATICA EQUILIBRIO

PUNTI

>

- DI

queste

guardo e

x sono

per =

: N

formano

② nell'eq condizione risolvo

di del

inserisco equilibrio

la punte de

stato e

.

③ l'unica ASINTOTICA

ST

0

e' X

soluzione >

-

se = .

PARZIALI

DERIVATE

UTILE : ,

(3)

3) yecot) f(x) Pf(x

esef(x) y)

def

X GRADIENTE

=

cos :

= , =

,

REGOLE OPERAZIONI

recall le

: per f(x)g(x)

g(x)] 5'(x)g(x)

D(f(x) D)(f(g(x)))

+ (g(x)) f'(x) xn f(x)

f(x) 1

= nxn

= -

. -

= . =

=

D f(x)g(x)

(x(g(x) D(f(x))" -1

nf(x)4

- f(x) 5'(x) 7

f(x) mx

= -

= =

=

g(x)2 -

P] =

SISTEMI NON AUTONOMI

I 2 "

" SI)

(F

x (F

FX(s) SI) GU(s)

GV(s)

Fx x(0)

x(0)

Gu X(s)

5X(s)

- =

= -

+ + +

= = - -

-

2 j]r(s)

(H(F

sI)"

Ju

Hx "

" x(0) "

SI)

H()F (F (U(s)]

y SI)

H(F

SI)

Y(s) HX(s) ju(s) JU(s)

Y(s)

+

= G

x(0) +

- = + +

- +

+ =

- -

=

= -

- W(S)

TRASFERIMENTO

MATRICE DI

def :

/

= T)

T diventa

base dalla

cambio individuato matrice

z

Se X =

= ,

(Jordan)

"FT

F T- DI EQUILIBRIO

PUNTI 0

- = Xeg--F-7

16

6 T Ge

FINVERTIBILE punto

-

>

- * Un Unico

:

derivabilità

- > autonomo

ad sistema

H HT riconduco

mi un

-> : Fz

attraverso z X-Xeg

con

= =

J

J - EXeo (o

Gro nemunal

FNON INVERTIBILE

* soluzioni

più

: =

Wils) W(s) -

- S 1)

X(t Fx(z) Gu(t)

+ HEIRPXn

**

+

= FER"

DISCRETO

SISTEMI TEMPO

A - con e

y(t) Ju(t)

Hx(t) +

=

*

F x (0)

SOLUZIONE X(t)

: = F

T- -

T FJT

Fj FT

dove - =

= JORDAN

ANALISI MODALE CON tixi

*, Ext

Ext ,

miniblocchi

dalla sistema

Jordan nei discreto

de del

MODI

matrice posiamo asservare e ...,

,

eten()

(eenx)t etex tetex

Ext

X CARATTERE

OSSERVO modi

fornisce del discreto

il el tempo e

: >

- per

>

-

= =

= DISCRETO

CONTINUO Kil

Re(xi) 1

O

CONVERGENZA/AS STABILE Mil1 Vi X 0

CASO

ReXix0 MODI

*

Vi IMPULSIVI

= :

. possi annullano

ri

dopo

LIMITATA si

ReXiO Reti Kil

0 Vi Kil1 Vi

se 1

gi gi

e ese

= =

= =

, , &

(U() (S)] 1 t 0

SH)

ME

DIVERGENTE =

Ji Kik

J i

ReXi 1

O

tc tc =

=

> ,

05(t) 0

Ot +

METODO LYAPUNOU P-FPF

Q*P-FTPF PO

Funa

STABILITÀ Q

EQ P uneare

quindi AS nel

LYUPANOV tc

diventa sola

- coso

=

=

.

. ,

LESTENSIONE LINEARI]

CASI NON Jacobiano

2(t 1) lo

(t F

LINEARIZZAZIONE 1) f(z) Fz(t) attorno

è

attraverso sempre

costruisce

dato che

+ +

se

x =

= ,

equilibrio

de

al punto DISCRETO

CONTINUO

F-F

RAPPORTO Kil1 Vi

0

Rexi Fi

STABILE

AS =

. Kik

Jitc 1

Ji O

ReX

tc

INSTABILE i > eKil1

Kil Fi

1

RetivOFi

CASO CRITICO 0

Rexi Fitc

7 i tc

S =

e

=

F)

(nulla si da

dire

può CALMENO) KRASOWSKIL

ESTENSIONE 1) Se AVEO

LYAPUNOV STABILE

SEMPL -

>

- .

V(X) 0

data 11) AV(X)

> 0 STABILE

Se AS

>

-

=

I .

XQX

1V(x)

con -

= DISCRETO

CONTINUO

! X(t)

v(x(t 1)

+ - V(x) 1V(x)

FTP FTPF

QP

PF Q

+ = - - =

SISTEMI COMPARTIMENTALI LINEARI

sistemi POSITIVI i quali NON NEGATIVA ad

di grandezza

stato

la variabile associata

rappresenta

X una

= per i si FLUSSI

Tra

.

COMPARTIMENTO

detto variabili individuano

fisico di stato

uno Spazio

(FLUSSI)

(x(t) da i

def Fji de

coefficiente trasmissione aj

: =KX si

fij

da K Gu

dato na

a : +

XiFZFlussi itj

yRijfij se

In Flussi OUT

- daiaj

Rji

fji itj

=

mi ,

[fijxj [fijXi foiXi, -(TRji coonna]

= ui (comma

+ Rii)

- - elemente i enma

toi

= =

+ -

=

jfi jfi 6

, I ESTERNO

daja dai

i aj -(itfoil

W Rii = GRAFO

CON UN

BLUNIVOCA

CORRISPONDENZA

IN

=

X ↓

kx Gr 6 In

+ con

= = I I Gi

Rji

Rii Rhi

COMPARTIMENTALE nodo

flusi

MATRICE dal

def recente

k a

=

=

: Rij

Ris R

i-esmo S for

#

fin

COSTRUZIONE

PROCEDIMENTO K "CHIUSO"

(Riik

2) RiixO

1) O

Rij 5)

3)

ifj 4)

Rij Vj

colonna foi 0 sistema

el e

Cj Cj

se

=

, =

-

,

, i

NODO jeuman &

COLLEGAMENTI = [colonna

= ESTERNO

flusso

SOTTOINSIEME CHIUSO

[11 ir] (ovvero its)

S insieme flusi

def 0

da S

hanno

nodi recente

che

de top 0 fij

non

= oppure

: : =

...., ,

CHIUSI

TROVARE SOTTOINSIEMI KER [r]

Edi Firen

matrice

hanno

tutte cjf0 1

nella

prendo colonne

le che : ...,

, ,

↳ l'intero sistema

e è CHIUSO

VVOTO

,

se

>

- E calcolare sottoinsieme S

el

VuoTO

, procedo

NON a

se nodil

[Xi] Vinsieme

R

& (Xi) che

trovo nod altri

di tramite

anche

Ci = X

raggiungono

ogni

per i,

UR-

② (xi)

C

l'insieme

formo = R

1

Xn3)

[X1 MASSIMALE

C CHIUSO

o

5 Se

costosistema

è chiuso >

ohmensioner

un

= ...,

, MINIMALI

CHIUSI PROPRIETA'

nodi

· scambiano

cu S flusso soltanto

sottoinsiemi

ef de decomponibile

è il non ,

chiuso ricevono

: :

in .

TROVARE MINIMALI

CHIUSI Xr]

[Xi

S

massimale

nodo

prendo del chiuso

ogni = , ...,

[Xi] nodil

Vinsieme

R"

① e R(Xi)

(Xi) che

noo

di altri

calcolo = tramite

anche

X raggiunge

ne i , COMUNE)

("1"

R(xi)

)

F(x 1R- (X

② CONNESSE )

FORTEMENTI IN

COMPONENTI

le

trovo coscuno =

per i

=

,

i minimali

sottosistemi

CHIUSE

le chiusi

componenti individuano

connesse (def F(xi)

1) i F(x )

F(Xi)

SIGNIFICATI EQUIVALENTIa se ha

e

nodi

individua equivalente

Xi Xi

: X a

: j

; =

1) K ha 0

Ogni X

0

X #CHIVSI

CHIUSO UN autovalore

MINIMALE quindi V

=

= >

- g

con

= =

=

cui sistemare Ki

posso

per ora I

I di

F1

-1 IN

7T K11 MEZZO

chiusi S

KT scambio i

de

T chiuse

le componenti

PRIMI

colonne minimale connesse non

=

: :

= ,

,

O K2z nodi

i de

rimanente

ULTIMI componente C

e

ovvero

e per

COMPONE

5) DI :

I (PROPRIETà

[Kibi

( r S)

i

*

Fe :

MINIMALI

dove contiene

colonne nulla

CHIUSI

1 sono somma ;

a

= >

- r

= ....,

i & (PROPRIETÀ Knz)

Pr

* STABILE

CHIUSE di

NON part AS

componenti :

le connesse

sono

1

+

Kr .

+ STABILE)

(PROPRIETÀ

#22 in c'AS

l'insieme (calcolato :

contiene .

(e STABILITA)

PROCEDIMENTO

POSSONO STOPPARE dire

IL

CHE qualcosa

COSE mela

i

(almeno suoi 0 0

X

e Rex

K sempli autovalori

stabile

, = oppure

sono

premessa =

:

ACjfO STABILE

k SEMPL

Fj è

vrol che 0

dire >

-

se cj

- = .

0 STABILE

S Rexico Vi-k AS

X

k 0

vuol e

solo

ha

dire che

se

- ma

= non = .

)

X(0) ( X( c)

DIEQUILIBRIO eX X(t)

PUNTI (0)

+ Ft0 0

coll (t) +

Xeq

equilibrio e -

pt X =

di

* -

x =

=

: =

, Kio

>

- fij

valore

, i

PT 4-0

EQ relativi

DI e 1

autovettori

= r

e a ovvero = ↓

, ...,

, I MINIMALE

CHIUSO

dei

e E

Xi

O

FER" porto

#

MINIMALE

CHIUSO

vettore K ad

associato v

=> ovvero

un a con

ogni : =

, O altrove

"puntatore"

insieme

> è

minimale

- vettore

il

suo alle

chiuso

per un componente

,

X(0) c)

X(

dato

el vettore Xeg

posso ricavare + :

=

, =

Exito)

sono Xi(0

X(0)

& relativi Kaz -

Kra

i poste a

in

se =

e

& c)

[xi(01) [Xi (

(regola principale +

componente

componente

guardo =

per )

(0

( a)

mai Xi +

Xi +

nel