Sistemi e modelli

Introduzione

martedì 29 settembre 2020

11:19

Sistema dinamico

Unità fisica e funzionale, costituita da più parti interagenti fra loro che interagiscono per una finalità comune di quel sistema.

Qualcosa che evolve nel tempo influenzato dagli ingressi.

Modello

Rappresentazione di un oggetto o fenomeno che corrisponde a ciò che si modella perché riproduce alcune caratteristiche o comportamenti fondamentali, in modo che esse possano essere mostrate e studiate non essendo l'oggetto accessibile.

Sistema di equazioni differenziali che cerca di mimare il comportamento di un sistema.

Un modello è buono se funzionale per lo scopo cercato non necessariamente per tutti quelli possibili, quindi dipendente da certi ingressi.Lo scopo di un modello è predire ingressi futuri.

Modelli matematici

• Descrizione sintetica;
• descrizione non ambigua;
• riproducibilità, ovvero possibilità di riprodurre il fenomeno in maniera ripetibile;
• analisi quantitativa, si possono analizzare le proprietà del modello;
• accessibilità, si può modificare e testare il modello;
• universali, utilizzati in tutte le aree della scienza.

Modello matematico per sistemi dinamici

dx(t)/dt = f(x(t), u(t));

uscite, stati, ingressi, controllabili, disturbi, rumore, parametri incerti, parametri modificabili, funzionali stocastiche, funzioni stocastiche, stimatori

y = g(x(t), u(t))

Scatole

• Trasparente: si usano leggi costruttive del fenomeno per il modello matematico. Il sistema è decomposto in componenti elementari di cui si conosce il modello fisico tramite modelli matematici ed il valore esatto dei parametri in gioco.
• Grigia: si combinano leggi costruttive e misure sperimentali per stimare parametri non noti. Si conoscono almeno parzialmente i principi delle scienze che regolano il sistema ma non il valore dei parametri coinvolti.
• Nera: si usano solamente misure sperimentali. Non si conoscono i principi fondamentali che regolano il fenomeno, oppure sono troppo complessi quindi si crea un modello matematico solamente dai dati sperimentali. Dal dataset ottenuto si cerca di capire la storia in cui si trova il sistema.

Statici e dinamici

_{mercoledì 30 settembre 2020} ^14:47

Natura di ∋:

• ∋ t ∉ R, tempo continuo;
• ∋ t ∈ Z, tempo discreto.

Fenomeno statico:

dipendente solo da variabili del sistema secondo il tempo, i cui valori dipendono da: ...

Esempio:

1. v(t) = Ri(t)
2. L è lineare perché
3. R costante.

Fenomeno dinamico:

alcune variabili lo spazio sono funzioni dell'evoluzione di altre in un intero intervallo.

Esempio: serbatoio cilindro e sezione S e riempito di flusso Fin; le uscite da Fout e descrivere l'evoluzione temporale H livello di acqua nel serbatoio.

Soluzione: dV(t) = [Fin(t) – Fout(t)]dtV(t) = Fin(t) + F0

Equazione di stato:

u è ingresso del sistema stato X volume Vx(t+1) = Ax(t) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)

Modello di stato a tempo continuo con dimensione dello stato per n e y l lineare.

Banca:

Proponiamo un tasso di interesse del x trimestre, secondo un tasso di accumulo annuale. Quando un alunno è completo e vuole partecipare?

Soluzione: considerando il primo x(k), x(k+1), ...

Carrello:

• k = costante elastica
• b = coeff. d’attrito
• m = massa
• y = proporzionale a velocità

Tempo discreto

giovedì 1 ottobre 2020 15:03

L'unica differenza è nell'equazione di transizione di stato; da equazione differenziale a equazione alle differenze.

x(t+1)=F_dx(t)+G_du(t) oppure x_k+1=F_kx_k+G_kw_k

y(t)=H_dx(t)+J_du(t) oppure y_k=H_kx_k+J_kw_k

Richiami di algebra lineare

giovedì 22 ottobre 2020   15:58

Cambiamento di base

Si ottiene allora che \( F = T F T^{-1} \)

Con una matrice simile troviamo che \( F = F T F^{T^{-1}} \).

Similarità

Si realizzano usando la similarità: \( F \sim F' \)

sono nello stesso gruppo se e solo se \( \exists \ T \) t.c. \( F = F T F^{T^{-1}} \).

Tutta la matrice \( V F V^{-1} \)

una matrice "normante" tipo

per calcolare è molto facile.

Matrici diagonalizzabili

\( V C = A^{*}^{-1} C \displaystyle{\sum} \text{ortogonale-numerica} \ )

L'addomestico risultante non saudisfa:

\( F \sim V \)

Tutti gli autodemi \(\neq 0\) sono \text{tandici}:

del polinomio caratteristico.

\( F (a_{i,j})^{+1}C = \displaystyle\sum [a_{i}v_{i}] v_{j} \)

Tutti gli autovalori corrispondono:

\( \exists j \text{ diversi} \) autovalori

\( KER (A - \lambda_{1} F) = \displaystyle\sum v_{i_{1}}, \cdots, v_{ij} \) esempio

\( \displaystyle\sum \ r \lambda \ \) \text{indie proprietà del kweli}

\( \dim ker (\lambda_{1} F) = \displaystyle\sum \text{autovalori geometrici} \)

Nota: \( ker (A, \lambda F) = v_{x_{1}}, \cdots, v_{x_{k}} \) Immagine indipendente

Teorema

\( 1 \leq g \leq c_{0} \)

\( F \text{ diagonalizzabile } \leftrightarrow \displaystyle\sum \ g \neq 0 \forall \right) , i \)

tipi complessi

Calcolo per le matrici diagonalizzabili

\( F^{-1} T F T^{T} \begin{pmatrix} 0 & a_{x} \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)

\( T F = F T^{T}T^{-1} = F T = F^{T} ^{-1} \)

\( A \begin{pmatrix} e^{a_{|_{2}}} & 0 \\ 1 & e^{a_{|_{1}}} \end{pmatrix} \)

\( T \sim F (*\\FF^{t})^{-1}\)

formando alle partizioni si

sceglie sempre la matrice diagonale simile ad F

Vsle sempre che \( F = F^{T} F^{T^{-1}} \ ) come rappresentante.

La soluzione è sbagliata perché non tutte le matrici sono diagonalizzabili.

Matrice esponenziale e analisi modale

giovedì 15 ottobre 2020 14:57

Blocco singolo

F_3,2 = A = [a₁₁ …₁₂ 0 λ 1 … 0 0 λ] N₃ = λI – N

Usati termini fino a potenze di antirable (N) = 1/3*!. Matrice iperbolica N = Ad ogni elemento 0 di 0 ∙ potenza la diagonale si sposta.

N⁵ = N⁰ + 0 0 0 0

Note: e^At, te^t, …, t^ke^t con k_max massimo della dimensione del miniblocco associato ad A, diminuito di 1.

Più miniblocchi

F_3,2 = F_2,1 0 B_2,3 = Blocco associato a un unico autovalore λ₁:

N^t = min,max elementi del sistema.

Note:

• Estensione al caso di più autovalori ovvia;
• N° modi distinti = sf(fern(F)), è uguale a se vi è un unico minibloco∀ a_i,j
• vi sono solo modi su valori dire che F è diagonalizzabile;

F ciclica

F possiede un unico minibloco per autovalore.(coincide con dire che possiede n modi distinti in e^t)

Punti di equilibrio

Sono punti nei quali il sistema rimane fermo, x(t) = x₀, se si considera x_t = F_t(x.₀).

Tipicamente si preferiscono sistemi con ingresso costante oppure approssimati da polinomi. Si definiscono di considerare x' = F(x).

L'insieme dei punti x₀ di equilibrio è l'insieme di zeri di F(x).

Quindi, valutando solo in algebra: non si può a priori dire nulla sulla sua struttura, potrebbe anche essere ∅.

Caso lineare

x₀ è p.t. di equilibrio se Fx₀ = 0.

S₁ insieme di ker F e di condizioni all'interno ∅.

Insieme t.c. x_t+1 = Fx_t.

x₀ è p.t. di equilibrio se x₀ ∈ A _*F1 .T = S ₀ ker(A)

Stabilità

Intuitivamente un p.t. di eq. x₀ è stabile se un piccolo scostamento da x₀ determina un'evoluzione i cui punti sono vicini a x₀.

Equilibrio semplicemente stabilex₀ ẹ p.t. d.equ. semplicemente stabile se ∀x(0), S = 0

∀t _t, $lim\|x\|0=x\|x\|x\|1,x\|x=x₀ (x(t1, evoluzione libera da x₀)

Equilibrio asintoticamente stabileUn p.t di equilibrio e  asintoticamente per t abbastanza l/Ruvelo libero da x.₀ e cosi.

Semplicemente stabile

Assolutamente stabile

1. 1. Per sistemi lineari: si puọ parlare di stabilita' del sistema lineare che negli intorni del nuovo asintoti al dom e del fi esterna alla pi _ce di si introduce