Sistemi e modelli, appunti

Schemi sistemi e modelli (capitolo 2)

Esponenziale di matrice

Definizione: e^Ft = I + Ft + F²t²/2! + F³t³/3! + ...

Teorema: ẋ = Fxx(t) = e^Ftx(0) con x(0) noto.

NB: ₀∫(e^Ft)dt = e^Ft - e^Ft₀ = e^Ft. Vale perché le matrici e^Ft e F commutano tra loro, non vero in generale.

Metodo trasformata di Laplace

X(s) = (sI - F)^-1x(0)

x(t) = e^Ftx(0)

L{e^Ft} = (sI - F)^-1 → e^Ft

Attenzione: (sI - F)^-1 indica l'inversa della matrice.

Proprietà matrici diagonali

F = [_{f1 ...}]

ẋ = Fx ⇒ [_x1] = F [_X1]

→ Vale perché le variabili di stato sono disaccoppiate tra loro nelle varie equazioni quindi posso risolvere il problema con tecniche scalari.

Richiamo diagonalizzazione

D = T^-1FT

Dove:

• D: è la matrice diagonale che si forma e che ha sulle diagonali gli autovalori della matrice F
• T: è la matrice di cambiamento di base formata dagli autovettori della matrice F

Esponenziale di matrice (ripetizione)

Definizione: e^Ft = I + Ft + F²t²/2! + F³t³/3! + ...

Teorema: ẋ = Fx → x(t) = e^Ftx(0) con x(0) noto.

NB: ∫(e^Fte^-Ft)dτ = e^Ft(e^-Ft - e^-Ft).

Metodo trasformata di Laplace

X(s) = (sI-F)^-1X(0)

x(t) = e^Ftx(0)

Alternativa: (sI-F)^-1 indica l'inversa della matrice.

Proprietà matrici diagonali

F = λ₁00λ_m, e^Ft = e^λ₁t00e^λ_mt

ẋ = Fx ⇒ ẋ₁=f₁x₁, ẋ_m=f_mx_m

Vale perché le variabili di stato appaiono disaccoppiate tra loro nelle varie equazioni, quindi posso risolvere il problema con tecniche scalari.

Richiamo diagonalizzazione

D = T^-1FT

Dove:

• D: è la matrice diagonale che si forma e che ha sulla diagonale gli autovalori della matrice F
• F: è la matrice di partenza
• T: è la matrice di cambiamenti di base formata dagli autovettori della matrice F

Come troviamo gli autovalori della matrice F?

Se d1 e d2 sono autovalori si ha:

Fv₁=d₁v, Fv₂=d₂v₂

(F-d₁I) v₁=0 —> Metodo per trovare gli autovalori

NB: Alla fine di tutto Ft deve tornare reale e non complesso di coniugati (e quindi essere Complessi E⁻¹ dove D⁻¹ è la matrice diagonale)

Relazione tra e e ad F

D=t⁻¹FT

D²=(t⁻¹FT)(t⁻¹FT)=(t⁻¹FT)²=(t⁻¹)²F²

Quindi per il procedimento induttivo Dᴷ=t⁻¹Fᴷ

_Ceᵀ = t⁻¹eᴷt

_teᵀ = t⁻¹eᵀt—> Se eᴷ^anni legati da un cambio di base (le matrici I e 1) t⁻¹I loro esponentiali sono legati dallo stesso cambio di base

Teorema (richiamo algebra lineare)

Def.: F è diagonalizzabile

^D‾₁FT questa considerazione implica a sua volta che: E una base della matrice P costituita da autovettori di F

Metodo analitico

1. Polinomio caratteristico —> Calcolo autovalori
2. Per ogni autovalore cerca gli autovettori
3. Tengo gli autovettori linearmente indipendenti

- Ho due possibilità:

• a) Numero autovalori = numero autovettori → matrice diagonalizzabile
• b) Numero autovalori matrice non diagonalizzabile

Esempio matrice

D := t⁻¹Ft = Fc₁ da cₘc₁

( .............. )cₘ

Nella diagonale stanno gli autovalori

NB: Se gli autovalori sono distinti implica che gli autovettori siano distinti.

Osservazione

Se la matrice F è diagonalizzabile fuori diagonale e^t pure nella diagonale:

e^t = (λ₁^t e^t)

Al contrario, se la matrice non è diagonalizzabile compaiono dei termini misti (ad esempio 1t) al di fuori della diagonale:

e^t = (λ₁ t e^t)