Sistemi e modelli, appunti

SCHEMI SISTEMI E MODELLI (CAPITOLO2)

Def: Esponenziale di matrice: e^Ft = I + Ft + F²t²/2! + F³t³/3! + ...

Teorema: x' = Fx x(t) = e^Ftx(0)

NB: e^Ft e e^Gt ≠ e^F+Gt

Metodo Trasformata di Laplace

• X(s) = (sI − F)⁻¹x(0)
• x(t) = e^Ftx(0)

Alternativa: (sI − F)⁻¹ → L⁻¹(e^Ft)

Proprieta Matrici Diagonali

F = [diagonale f₁ ... f_m] allora x' = Fx

→ Vale perche le variabili di stato appaiono disaccoppiate tra loro nelle varie equazioni quindi posso risolvere il problema con tecniche scalari

Richiamo Diagonalizzazione

D = T⁻¹FT

Dove: D = è la matrice diagonale che si viene a formare e che ha sulla diagonale gli autovalori della matrice F F = è la matrice di partenza T = è la matrice di cambiamento di base formata dagli autovettori della matrice F

Come facciamo a trovare gli autovalori della matrice F?

Se d₁ e d₂ sono autovalori, si ha:

Fv = d₁v

Fv = d₂v = 0

(F - d₁)v = 0 → Metodo per trovare gli autovalori

NB: Alla fine di tutto T deve tornare reale e non complesso di un numero di due persone complesse E^D e dire D^T è la matrice diagonale.

Relazione tra D^T e D^T'

D = T^-1FT

D^T = (T^-1FT)¹ = T^-1F^TT¹ = T^-1F^T

Quindi per il procedimento induttivo

D^K = T^-1F^KT

e^Ft = T e^DtT^-1

e^D-1 = T e^DtT^-1

⇒ E

e sono legati da un cambio di base (le matrici I e T^-1)

I loro esponenziali sono legati dello stesso cambio di base

Teorema (Richiami Algebra Lineare)

Def.: F è diagonalizzabile ⇔ ∃ T tale che D = T^-1FT questa considerazione implica a sua volta che ∃ una base della matrice P costituita da autovettori di F

Metodo Analitico

1. Polinomio caratteristico → calcolo autovalori
2. Per ogni autovalore trovo gli autovettori
3. Trovo gli autovettori linearmente indipendenti

→ Due possibilità

1. Numero autovettori = numero autovalori ⇒ matrice diagonizzabile
2. Numero autovettori ≠ numero autovalori ⇒ matrice non diagonizzabile

Esempio prativo:

D = T^-1FT F

c₁ c_n c_n c_m

Nella diagonale ci sono gli autovalori

NB: Se le autovalori distinti ciò implica che gli autovalori sono distinti.

RISULTATI POSSIBILI

1. ESPOENZIALI PURI
2. FUNZIONI OSCILLATORIE IN SENO E COSENO (λ COMPLESSI)
3. POLINOMI ↔ SE E SOLO SE LA MATRICE NON È DIAGONALIZZABILE

NB: Se F è reale, Ft può essere complessa ma Ft deve essere reale altrimenti va verificati i conti

ANALISI MODALE

Def: MODI ELEMENTARI: e^λt t e^λt t² e^λt

MODI IN e^λt

1. Se autovalor reali: e^λt te^λt t² e^λt

Da qui si deduce che DIMENSIONE MINIBLOCO: ↔ POTENZA!

2. Se autovalori complessi.

λ₂ = 6 – jω → e^λt [cos(ωt) + jsin(ωt)] λ₂ = 6 + jω → e^λt [cos(ωt) - jsin(ωt)]

In e^λt se c'è un autovalore c'è anche l'autovalore coniugato λ₂

MODI IN e^λt

1. t^k e^λt
2. t^k e^αt cos(ωt)
3. t^k e^αt sen(ωt)
4. k = [0, ... 1]

NB: Tutti i modi elementari sono reali

COMPORTAMENTO DI t^k e^αt cos(ωt) con λ = 6 + jω

[G = Re[λ]]

1. CONVERGE A ZERO ↔ 6 < 0 / Re(λ) ≥ 0
2. LIMITATO ↔ 6 ≥ 0 / 6 = 0 ↔ k = 0 / Re(λ) ≥ 0 oppure Re(λ) > 0 ∧ k = 0
3. NON LIMITATO ↔ 6 ≥ 0

NB: D cosa serva mancando con λ svolgen per il polinomio caratteristico det(λI-F)

→ Per capire se i modi convergen o no: ricorr alla formula di Jordan

Solo nel caso in cui ho un autovalore nullo e molteplicita > 1

Esmp: F = det(λI-F) = (λ+1)³ (λ²)(λ-1)

Capisco che i modi non son limitati perché 6 ≥ 0

Osservazioni

1. Nei sistemi non lineari la stabilità non è più globale.
2. Nei sistemi non lineari V(X) può essere non quadratica.
3. Nel caso in cui si ha un sistema lineare e X_eq≠0 si usa un cambio di variabile
   • Z=X-X_eq X=X_eq+Z Ẋ=Ẋ Ẋ=F(X) (Z≠Ẋ) (F(X_eq)

     Perchè il sistema non è lineare

Criterio di Stabilità di Lyapunov

Ẋ=F(X) è un sistema non lineare

con X_eq=0 e se esiste una funzione V(X) definita positiva tale che Ẋ(X)

• rimanga sempre negativa allora il punto di equilibrio X=(0) è almeno semplicemente stabile mentre se V(X) è definita negativa allora X è asintoticamente stabile

Osservazioni

1. V(X)=∇V(X)·Ẋ(X)
2. Ø gradiente della funzione V(X)
3. Se V(X) > 0 e si ricede in colle, uno non monotico il criterio di Lyapunov non nullo e assolutamente nullo.

Teorema di Linearizzazione

• Dato un sistema non lineare con punti di equilibrio X=0 Ẋ=F(X) sia Ẋ=F_LX il sistema linearizzato. Se il sistema linearizzato è asintoticamente stabile => il sistema di partenza è asintoticamente stabile in X=0
• Osservazioni
1. Sistema linearizzato asintoticamente stabile => sistema di partenza asintoticamente stabile.
2. (Non vale il convergere.)
3. Se il sistema linearizzato è semplicemente stabile
• => Non si può dire nulla sul sistema di partenza
4. Se il sistema lineare ha un autovalore di F_L con parte reale positiva
   • (Re(λ)>0)
   • (Il sistema linearizzato è instabile) => È instabile anche il sistema non lineare.

c) Si dimostra tramite un'analisi nello stesso clima di ingresso con errore in tale caso verrebbe a un punto di equilibrio x0

Def. POLINOMIO MINIMO:

(X - λ₁)^k₁ (X - λ₂)^k₂ ... (X - λ_r)^k_r dove λ₁, λ₂, ... da rappresentano i distinti autovalori di F e k₁, k₂ ... k_r rappresentano le dimensioni dei più grandi sottospazi uniti associati ai vari autovalori

TEOREMA Il polinomio caratteristico è sempre un multiplo del polinomio minimo e detto numerico canonico e se è un altro numerico per ogni autovalore F quanto se zero allora le matrici F x c

SISTEMI A TEMPO DISCRETO

∑(t+1)=F∑(t)+G∪(t) (lineare) ∂(t)=H∑(t)+f∪(t)

x(t) = F∑₀ + ∑G∪(t-1) + F^t-2G∪(1) + ⋯ - F^tG∪(t-2) + G∪(t-1)

x(0), ∑G∪(t-λ) — SOLUZIONE DEL SISTEMA A TEMPO DISCRETO

x(t) = F∑₀ + ∑[ GF∪(1) + ... + F^-tG](t-a-λ)u(t+1)]

R_c

[∪(0)]

☞ — Viene chiamata MATRICE DI RAGGIUNGIBILITÀ IN t PASSI

PUNTI D'EQUILIBRIO CORRISPONDENTI A INGRESSO COSTANTE u(t)=u_c

Imponi: x(t+1)=Ax(t) =>(1-F)x=Gu_c

che due possibilità: 1. det(1-F)≠0 (F non è un autovalore) => UNICA SOLUZIONE x(pg): [1-F]^-1Gu_c 2. det(1-F)=0 => dipende dal caso, però anche da columni o 0 soluzioni

OSSERVAZIONI: - Nel caso discreto le transitorie sono costituite da successioni di punti e non da curve continue

FORMA DI JORDAN A TEMPO DISCRETO

F=1; 1∩≠0; F^-t[1+id]

M^{−-1tcc + Nc-t}