Simulazioni prove intercorso Algebra lineare e geometria analitica

Valutazione: ........./30

Algebra Lineare e Geometria Analitica

Simulazione Prima prova intercorso del 06-04-2022

COGNOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . NOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . MATRICOLA . . . . . . . . .

Risolvere gli esercizi inserendo le risposte negli spazi predisposti, senza riportarne lo svolgimento.

Se non si risponde correttamente ad almeno 3 domande/esercizi, la prova è considerata NON SUPERATA.

TEST PRELIMINARE

1. Stabilire per quali valori del parametro reale k la seguente matrice è invertibile:
   

       -21  0   2
       -0   k   1
       k    1   1
       

2. Calcolare il determinante della seguente matrice:
   

       -21  0   0
       -1   0   1
       -3   0   0
       

3. Determinare una combinazione lineare dei seguenti vettori che produce il vettore nullo:
   (1, 2, 0, 1), (-2, 3, 1, 1), (-1, 5, 1, 2).
4. Determinare, se possibile, il prodotto AB e BA delle seguenti matrici:
   

       2  1  0
       1  0  1
       0  1  0
       

   e

       1  0  1
       0  1  0
       1  0  1
       

1. Determinare un vettore non nullo ortogonale ai seguenti vettori: (-2, 1, 2, 0, 1) e (1, 0, 1, -2, 0).

2. Stabilire per quali valori del parametro reale k la seguente matrice è invertibile:

3. Studiare il sistema lineare AX = B, dove

4. Stabilire se la seguente matrice a coefficienti reali è invertibile e, in caso affermativo, calcolarne l'inversa:

5. Determinare il rango della seguente matrice:

6. Determinare al variare del parametro reale t il rango della seguente matrice:

t + 1 1− −0 0 t 3 t 3A = .t  −t −10 t

Valutazione: su 36.

Determinare al variare del parametro reale k il numero massimo di vettori indipendenti del seguente sistema di4vettori di :R {(k, −T = 1, k, 0), (0, k 1, 1, 2), (0, 0, k, 3), (0, 0, k, 0)}.k 4

In particolare, stabilire per quali valori del parametro reale k l’insieme T costituisce una base di .Rk

Valutazione: su 87.

Si consideri il seguente sistema lineare  x + x = 01 2 6x + (k + 2)x + x + 2x = 1Σ : 1 2 3 4k −2x 4x + (k + 1)x + 6x = 3 1 2 3 4

Determinare al variare di k il numero e le soluzioni del sistema Σ .k

Valutazione: su 48.

Stabilire se i seguenti insiemi sono sottospazi:

• 3 3 3{(a, − ∈ ⊆U = b, a b ) : a, b ;R} R1

• 4{(2a, − ∈ ⊆U = b, a b, 0) : a, b ;R} R2 −x y 2y 0

• 2,3∈ ⊆U = : x, y, z .R R3 z 3x + y y + z

Valutazione: su 39. n,n∈Sia M una matrice invertibile e sia X l’insieme dei

Per dimostrare che X costituisce una base di Kn, dobbiamo dimostrare che X è linearmente indipendente e che genera tutto lo spazio Kn.

Per dimostrare che X è linearmente indipendente, supponiamo che esista una combinazione lineare dei vettori di X che si annulla:

c1 * x1 + c2 * x2 + ... + cn * xn = 0

Dove c1, c2, ..., cn sono scalari.

Moltiplicando entrambi i lati per la matrice M, otteniamo:

M * (c1 * x1 + c2 * x2 + ... + cn * xn) = M * 0

Da cui:

c1 * M * x1 + c2 * M * x2 + ... + cn * M * xn = 0

Ma sappiamo che M * xi = 0 per ogni i, quindi:

c1 * 0 + c2 * 0 + ... + cn * 0 = 0

Quindi c1 = c2 = ... = cn = 0, dimostrando che X è linearmente indipendente.

Per dimostrare che X genera tutto lo spazio Kn, dobbiamo dimostrare che ogni vettore in Kn può essere espresso come combinazione lineare dei vettori di X.

Sia v un vettore generico in Kn. Possiamo scrivere v come:

v = v1 * x1 + v2 * x2 + ... + vn * xn

Dove v1, v2, ..., vn sono scalari.

Moltiplicando entrambi i lati per la matrice M, otteniamo:

M * v = M * (v1 * x1 + v2 * x2 + ... + vn * xn)

Da cui:

M * v = v1 * M * x1 + v2 * M * x2 + ... + vn * M * xn

Ma sappiamo che M * xi = 0 per ogni i, quindi:

M * v = v1 * 0 + v2 * 0 + ... + vn * 0 = 0

Quindi ogni vettore in Kn può essere espresso come combinazione lineare dei vettori di X, dimostrando che X genera tutto lo spazio Kn.

Passiamo ora alla dimostrazione che A è invertibile e che det A = R.

Sappiamo che A * A = I, dove I è la matrice identità.

Supponiamo per assurdo che A non sia invertibile. Ciò significa che esiste un vettore non nullo v tale che A * v = 0.

Moltiplicando entrambi i lati per A, otteniamo:

A * (A * v) = A * 0

Da cui:

(A * A) * v = 0

Ma sappiamo che A * A = I, quindi:

I * v = 0

Ma v è un vettore non nullo, quindi abbiamo ottenuto una contraddizione. Quindi A deve essere invertibile.

Per dimostrare che det A = R, consideriamo l'equazione caratteristica di A:

det(A - λI) = 0

Dove λ è un valore proprio di A e I è la matrice identità.

Ma sappiamo che A * A = I, quindi:

A * A - λI = I - λI = (1 - λ)I

Quindi l'equazione caratteristica diventa:

det((1 - λ)I) = (1 - λ)^n = 0

Da cui otteniamo λ = 1.

Quindi det A = R, dimostrando che A è invertibile e che det A = R.

Infine, per determinare il rango della matrice a b, dobbiamo calcolare il numero massimo di colonne linearmente indipendenti.

Sappiamo che il rango di una matrice è uguale al numero massimo di colonne linearmente indipendenti.

Quindi, se a e b sono due vettori non nulli, il rango della matrice a b sarà 2.