Sette esami svolti di Fondamenti di automatica

Domande di teoria dei sistemi

sistema 2(s + 4)P (s) = 3s(s + 2) chiuso in retroazione negativa su un elemento di guadagno K, si chiede di:

• tracciare i diagrammi di Bode di P (s);
• valutare la stabilità del sistema complessivo al variare di K (+1), indicando le caratteristiche delle condizioni instabili e i valori di passaggio di K, con l'uso del criterio di Routh-Hurwitz;
• valutare la stabilità del sistema complessivo al variare di K (+1), indicando le caratteristiche delle condizioni instabili e i valori di passaggio di K, mediante il tracciamento del diagramma di Nyquist e del luogo delle radici relativi a P (s).

D9. (voto:12) Dato il sistema da controllare 1P (s) = 2(s + 1), progettare il controllore C(s) in serie affinché il sistema retroazionato soddisfi le specifiche seguenti:

1. l'errore a regime di inseguimento ad una rampa unitaria in ingresso sia non superiore a e = 0.2;
2. l'uscita a regime a fronte di un disturbo d(t) = 0.1 t (additivo in

ingresso a P (s)), sia nonsuperiore a e = 0.02;

rp3. la sovraelongazione della risposta al gradino sia inferiore al 20%.

4. la banda passante sia circa uguale a 1 rad/s;

• per il sistema di controllo progettato si valuti il contributo a regime a fronte di un disturbo additivo sull’uscita di P (s) t.c. d(t) = 0.1 cos 10t.

• progettare un controllore tempo-discreto che garantisca le specifiche indicate.

n. 2 cognome nome corso di laurea

Fondamenti di Automatica 27/06/2019

Risposte N. matricolavoto=.........(E)

Domande D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7

Scrivere il numero della risposta sopra alla corrispondente domanda. (voti: +1,-1,-2, soglia=0)

s +4

D1. Il valore asintotico della risposta impulsiva di un sistema TC descritto da G(s) = risulta 21 + 2s + s

1) y = 2; 2) y = 0; 3) y = 1; 4) non esistente;

D2. Dato il seguente diagramma di Bode, indicare di quale Funzione di Trasferimento è la sua rappre- sentazione in frequenza. Bode Diagram

0−1−2(dB) −3Magnitude

1. −4−5−6−7−80−5(deg) −10Phase −15−20 0 1 2 310 10 10 10Frequency (rad/sec)
2. 1) G(s) = ^0.5/_{(s + 20)(s 10)};
3. 2) G(s) = ^{s +1}/_{(s + 10)s 1};
4. 3) G(s) = ^{29 + s}/₁;
5. 4) G(s) = 0.5 ;(s + 20)(s 10) s(s 10) s +1 (s + 10)s 1
6. D3. Il sistema LTI descritto da G(s) = ha uscita29 + s1) sempre limitata se u(t) è limitata; 2) non limitata se u(t) = cos t; 3) non limitata se u(t) = 1(t); 4)non limitata se u(t) = cos 3t; s +1
7. D4. Il sistema LTI descritto da G(s) = ha modi naturali:2s + 1t t t t1) e sin 2t, e cos 2t; 2) e sin t, e cos t; 3) sin 2t, cos 2t; 4) sin t, cos t;
8. D5. Classificare il sistema dinamico descritto dall’equazioneÿ(t) + 2 ẏ(t) y(t) ẏ(t) = 01) tempo continuo, lineare, tempo-invariante; 2) tempo discreto, non-lineare, tempo-invariante; 3) tempodiscreto, lineare, autonomo; 4) tempo continuo, non-lineare, autonomo;
9. D6. Il sistema dinamico non lineare descritto da ẋ = x + u ha equilibrio:1) (x, u) = (1, 1) stabile; 2) (x, u) = (1, 1) stabile; 3) (x, u) = (1,

1. instabile;
2. (x, u) = (1, 1)instabile;
3. D7. Il sistema dinamico lineare 8 ẋ = x x + u< 1 1 2ẋ = x2 2: y = x x1 21) non è internamente stabile ma è BIBO stabile;
4. 2) è asintoticamente stabile ma non BIBO stabile;
5. 3) è asintoticamente stabile e BIBO stabile;
6. 4) non è internamente stabile né BIBO stabile;
7. D8. (voto:12) Dato il sistema 2(s 4)P (s) = 3s(s + 2)chiuso in retroazione negativa su un elemento di guadagno K, si chiede di:
• tracciare i diagrammi di Bode di P (s);
• 2 1,valutare la stabilità del sistema complessivo al variare di K ( +1), indicando le caratteristichedelle condizioni instabili e i valori di passaggio di K, con l’uso del criterio di Routh-Hurwitz;
• 2 1,(solo 9 CFU) valutare la stabilità del sistema complessivo al variare di K ( +1), indicandole caratteristiche delle condizioni instabili e i valori di passaggio di K, mediante il tracciamento deldiagramma di Nyquist e del luogo delle radici relativi a P (s).
8. D9. (voto:12)

Dato il sistema da controllare 2P (s) = (s + 1)(s + 2)• progettare il controllore C(s) in serie affinché il sistema retroazionato soddisfi le specifiche seguenti:

1. l’errore a regime di inseguimento ad una rampa unitaria in ingresso sia non superiore a e = 0.2;rp
2. l’uscita a regime a fronte di un disturbo d(t) = 0.1 t (additivo in ingresso a P (s)), sia nonsuperiore a e = 0.02;rp
3. la sovraelongazione della risposta al gradino sia inferiore al 30%.
4. la banda passante sia circa uguale a 1 rad/s;

per il sistema di controllo progettato si valuti il contributo a regime a fronte di un disturbo additivosull’uscita di P (s) t.c. d(t) = 0.1 cos 10t.

progettare un controllore tempo-discreto che garantisca le specifiche indicate.

n. 1 cognome nome corso di laurea

Fondamenti di Automatica 12/06/2017

Risposte N. matricolavoto=.........(E)

Domande D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7

Scrivere il numero della risposta sopra alla corrispondente domanda. (voti: +1,-1,-2, soglia=0)s 6D1.

Il valore asintotico della risposta impulsiva di un sistema LTI descritto da G(s) = (s^2 + 4s + 1) è:

1. y = 0;
2. y = 2;
3. non esistente;
4. y = 2.

Il sistema dinamico non lineare descritto da ẋ = x + u ha equilibrio:

1. (x, u) = (1, 1) stabile;
2. (x, u) = (1, 1) stabile;
3. (x, u) = (1, 1) instabile;
4. (x, u) = (1, 1) instabile.

Il sistema LTI descritto da G(s) = (s^2 + 4) / (s + 1) ha uscita:

1. non limitata se u(t) = cos(t);
2. non limitata se u(t) = cos(2t);
3. non limitata se u(t) = δ(t);
4. sempre limitata se u(t) è limitata.

Dato il seguente diagramma di Bode, indicare di quale Funzione di Trasferimento è la sua rappresentazione in frequenza.

Bode Diagram

-10 dB

-20 dB

-30 dB

Magnitude

-40 dB

-50 dB

-60 dB

-70 dB

-80 dB

-45°

-90°

-135°

-180°

Frequency (rad/sec)

1. G(s) = 1 / (s^2 + 8s + 9);
2. G(s) = 1 / (s^2 + 8s + 9);
3. G(s) = 1 / (s^2 + s + 9);
4. G(s) = 1 / (s^2 + 9).

Classificare il sistema dinamico

descritto dall'equazione ẏ(t) sin(t)y(t) = 0

1. tempo discreto, non-lineare, autonomo;
2. tempo continuo, non-lineare, tempo-variante;
3. tempo continuo, lineare, tempo-variante;
4. tempo discreto, lineare, autonomo;

D6. Il sistema dinamico lineare 8 ẋ = x + u< 1 2ẋ = x2 1: y = x + x1 2

1. non è internamente stabile né BIBO stabile;
2. è asintoticamente stabile ma non BIBO stabile;
3. è asintoticamente stabile e BIBO stabile;
4. non è internamente stabile ma è BIBO stabile;

D7. Il sistema LTI descritto da G(s) = ha modi naturali: 2s + 2s + 1t t t 2t t t t t

1. e , te ;
2. e , e ;
3. e sin t, e cos t;
4. e sin t, e cos t;

D8. (voto:14) Con riferimento allo schema a blocchi in figura 24(s+1)2(s 4)f f? +- - - - -(s+2) (s 2) yu (s 1)(s+3) s(s+2)+ 6 1s 22(s 4)

• dimostrare che la f.d.t. fra u e y è P (s) = ;
• tracciare i diagrammi di Bode di P (s);
• 2 1,valutare la stabilità del sistema in retroazione con u = Ky al variare di K ( +1), indicandole.

Le caratteristiche delle condizioni instabili e i valori di passaggio di K possono essere determinati utilizzando il criterio di Routh-Hurwitz.

Per valutare la stabilità del sistema complessivo al variare di K (+1), è possibile utilizzare il tracciamento del diagramma di Nyquist e del luogo delle radici relativi a P(s).