Scienza delle costruzioni - Esercizi geometria delle aree

MOMENTO TORCENTE

GEOMETRIA delle AREE

Ω = area profilo chiuso

CALCOLO TENSIONI

• PROFILO APERTO τ(ξ) = M_tratto · b ξ / I_ptratto
• PROFILO CHIUSO τ(ξ) = M_tratto / 2Ωb(ξ)

I_p = 1/3 bass · b³ * chiuso

I_p = 4Ω² / ∫_sezione du / b(l_e)

M_{t tratto} = I_{p tratto} · M_t / [∑_{t ratto} + ∑_{profilo tratto}]

Θ = M_t / GIp

DIAGRAMMA

CHIUSO: cortante

APERTO: farfalla

Forza Normale Eccentrica

Geometria della Sezione

• Baricentro: Yc = Sx / A
• Area
• Momento di Inerzia: Ix = bh³ / 12 + A y_c²

Iy = bh³ / 12 + A x_c²

Calcolo Tensioni

O_N = N (1 + c_y x + c_x y) con C punto di applicazione di N

• Asse neutro: quando O_E = 0

x / p + y / q = 1 con p = Iy / A y_c q = Ix / A x_c

Diagrammi

sostituisce i punti estremi in O_E → parabola o costante

N.B. → Forza Normale Eccentrica O_E = N / A

J.B. Se abbiamo b³ con b di piccolo spessore → non calcolo I_xxy perché infinitesima

TAGLIO

• GEOMETRIA DELLE AREE
• SOLLECITAZIONI
• MOMENTI DI INERZIA
• CALCOLO TENSIONI
  • τ(z) = _Iy/_Ix Sx(_fz) b(z) formula Jourawski
  • τ(z) = _Ix/_Iy Sy(_fy) b(y)

Sx* = A * φ + Sx della sezione precedente n° ϓ

DIAGRAMMI E VERIFICO CENTRO DI TAGLIO

Per tracciare Tmax, derivare Sx del tratto parabolico e porlo uguale a 0 e poi inserirlo nella formula della Tensione

CONVENZIONE

• entrante > 0
• uscente < 0

Se T non baricentrico d'inerzia, lo trovo e calcolo Mt

• τ(z) = _Mt/_Ip ξ x PROFILO APERTO ➔ Ip = 1/3 au b³
• τ(z) = _Mt/2db_(ξ) x PROFILO CHIUSO ➔ Ip = 4q₂²/∫ ψ ξ / b_(tξ)

CALCOLO TENSIONI T

1. Sx₁ = t₄bξ₄(13a - ξ₄)/6 e₁ = 2a Sx = t₄a³b/3
2. Sx₂ = + t₂ab + bξ₂a/6 e₂ = 2a Sx = t₂a³b
3. Sx₃ = - bt₃ll_a e₃ = a Sx = - t₃l_aab/6
4. Sx₄ = - ll₂₃ - bt₄ll_a(6ll_a - ξ₄)/12 e₄ = 0 Sx = t₄ll_aab

τ(ξ) = (I_L/I_x) (Sx(ξ)/b(ξ)) = T_y · 8 · Sx('E')/4lq_ab/6

1. τ(ξ₁) = T_y · 3/lq · 4l
2. τ(ξ₂) = T_y · 8/ab · 47
3. τ(ξ₃) = T_y · 11/ab · 94
4. τ(ξ₄) = T_y · 16/ab · 47

CALCOLO TENSIONI M e DIAGRAMMI

• σ_B = M_x · 4/I_x
• σ₂ = M_x · 3·4/47 · ab
• B: σ1 = - M_x · 11/94 · a₂b

B   σ_z = N  (⁵⁄_2a² - ^4(-9)⁄_3a²⋅8) = N ^5⋅36⁄₂₄ ¹⁄_a²

= N (^{60 + 36}⁄_24a²) = ^N⁄_a²4

A   σ_z = N (⁵⁄_2a² - ⁴⁄_3a²⋅⁷⁄₂) =

= N (⁸⁄_6a²) = ⁴⁄_3a²

PRESSIONE RETTA

a = 4b

M = Qx . 4 . Mx . x _max / 14

M = Mx . 4 / I_x = xt Mx + O

GEOMETRIA delle AREE

A = a²/ 4 + 3 . a²/ 4 + a² (3 + 4/ 16) a² + π/ 6 a²

S_x = a². a / 4 + a . a / 8 = 3a . a²/ 8 + 3 . a / 8 . a / 32 + a² (a / 4 + 3a / 16) + + a² (5a /8) + 3a . a² / 16 (4 + 15b)³ = 19 a³/ 128 + 128 / 128

S_y = a². a / 2 − a . a / 16 = a² 30a/ 16 + a² 10 / 8 = 10q / 128 + 19a³

X_g = 19 . a . 16/ 128 + a² = 30a² / 896 + 16 = a / 22 . 46 = 0,73 a

I_x = b . h³ / 12 + A 3 A A . q + a . 3 /

Σa²/ 12 + 0 . 64 a² . (a² ‐ a ²) . Σa² ( b (2 a 7a)/ 24 ^| 2 ∗ 25 . a⁴ / 2304 + 64 a⁴ /

Σ1231,3 a⁴ . 5,3 a⁴

4 . 32^.-4/ 16 + 0,3 a² . 5a / 8

A / 128 + 3 . 1 / 314 7.^a . â 27

‐ 147.2 . 4^a . 27.4⁻47.3+81 a⁴ / 9216 + 139,6 a⁴

a / ab³ = ab (4 b - 4)² . a (3 / 4)

pus b / 4( 2 / 12 ) . s . 2 a . bol4 b - a . 28 b)

‐ 4 a

= a / b + 2² / 4

= 46² . 64² / 19

CALCOLO DELLA TENSIONI

σ_a = M_x ⋅ y_A + M_y ⋅ x_A/_{Ix Iy}

= 12,99 kNm ⋅ 4 + 7,5 kNm ⋅ _{0,93 ⋅ 10^-6 kNm^-3 ⋅ yA 0,35 ⋅ 10^-6 kNm^-3 ⋅ x}

13,92 ⋅ 10^-6 m⁴ 20,53 ⋅ 10^-6 m⁴

• ASSE NEUTRO dove σ_a = 0

y_A + 0,36 ⋅ 10^-6 kNm^-3 ⋅ x

0,93 ⋅ 10^-6 kNm^-3

= 0,38 x

DIAGRAMMI DELLA TENSIONE

τ: θ_T = {0,93 ⋅ 0,0394 + 0,36 ⋅ 0,02} ⋅ 10^-6 = 0,0047 ⋅ 10^-6 kN

C: θ_C = {0,93 ⋅ 0,041 + 0,86 ⋅ 0,13} ⋅ 10^-6 = 0,00210 ⋅ 10^-6 kN

I_xr = 1/6 α (α/t)³ - 39 α t = 1/6 α t + 39/75 α⁴ + 312/6000 α⁴...

Analisi della Tensione

τ_d(y) = T_y I_y - S_x(ξx) / Ix b(ξx)

• S₂ o+ ξ_x ≤ α
• S_x(ξ_x) + b ξ_x(3x / 5) ⟹ ξ_x = 1.0
• S₂ o+ ξ_x < α + 3α³/100, ... + αξ_x/20 + 3α²/50 ...
• S₃ o+ ξ_y ≥ 2α
• S₂(ξ_fy) - S₁(ξ_x)
• S₃(ξ_fz) - S₁(ξ_x)

Calcolo la T_et e le posizioni xi x4 ⟹ H₁ asse 4 ⟹ V_{_} asse X

τ_et( yang) = T_y S_x(ξ) = ...

Diagrammi delle Tensioni

TAGLIO

b = ^a/₁₀

N ₃₀ bariacentrica

GEOMETRIA DELL'AREA

• BARICENTRO

X_a = 2a

4_a = ^Sxt/_Arot → Sx + fx

1. Sx₁ = b.4a.2a = ^4a3/₅
2. Sx₂ = b.2a.a = ^a3/₅ → Sxtot. (⁴/₅ + ²/₅)a³ = ⁶/₅ a³
3. Sx₃ = ^a3/₅

Arot. = ⁸/₅ a².⁸/₅a² = ³/₂ a

4_G = ³/₈ - ⁶/₁₅ a - ⁶/₄₀ a

• MOMENTI D'INERZIA

I_x = ^bh3/₁₂

1. I_x1 = 4a.^b3/₁₂ + b.4a.^a/₁₀ = ^a4/₁₀
2. I_x2 = b.^a3/₁₂ + b.2a.^a2/₄ = ^a4/₁₅ + ^a4/₂₀ = ⁴/₆₀ a⁴
3. I_x3 = ^a3/₈b + b.2a.^a2/₁₂ = ^a4/₁₅ + ^a4/₂₀ = ⁷/₆₀ a⁴

→ Ix_tot = (⁶⁺⁷⁺⁷/₆₀) a⁴ = ²⁰/₆₀ a⁴ = ³/₃