Esercizi Scienza delle costruzioni

Esercitazione scienza delle costruzioni

Legge di carico lineare

q(x) = a + bx _{LEGGE DI CARICO LINEARE}
q(x=ø) = ø   ø = a + bø   a = ø
q(x=l) = q   q = a + bl   b = ^q/_l
QUINDI   q(x) = ^qx/_l

Il risultante del carico è   R = ∫₀^{l qx}/_l dx = ^q/_l [^x2/₂]₀^l = ^ql/_{2 AREA DEL TRIANGOLO}

Se cambio sistema di riferimento la legge di carico cambia
q(x) = a + bx   q(x=0) = q   q = a + b0   a = q
q(x=l) = 0   0 = a + bl   b = -q/l
q(x) = q(1- ^x/_l)

Legge di carico costante

q(x) = q _{LEGGE DI CARICO COSTANTE}
Il risultante è   R=ql; _{AREA DEL RETTANGOLO}

Parabola

q(x) = a + bx + cx²
q(0) = Ø ⟶ Ø = a + bØ + cز
q(_L/₂) = q ⟶ q = a + b_L/₂ + c(_L/₂)²
q(L) = Ø ⟶ Ø = a + bL + cL²
{ a = ...   b = ...   c = ...

Se invece di dirci che in L/2 il carico è q ci avessero detto che per x=L/2 la funzione ha tangente orizzontale:
^dq/_dx = b + 2cx
^dq/_dx|_x=L/2 = Ø
b + cL/₂ = Ø ⟶ b + cL = Ø

Funzione di tipo lineare

q(x) = a + bx
x = 0   q(x:0) = q₁
x = l   q(x:l) = q₂
q(x) ⇒ R = (_{q2 + q1}l)/2    AREA DEL TRAPEZIO
q(x) = q
R = ∫₀^l q(x) dx = ∫₀^l q dx = l q x l = ql.

E.C.S.H_A = 0
V_A + V_B - q l = 0 ⟹-V_B + q l ₂ = 0

Trovare le caratteristiche della sollecitazione

H_a = 0
V_B = q _l2
V_a = q _l2+ V_A - q x = 0
V_A x - q x² ₂ = ℵ = 0
T = q x - V_A
V_B = - q _l2= - q _l2
ℵ = - q x² ₂ + q _l2 y
qT = γ_n - qx
Λ = γ_na x - qx²/2
N = ⌀

Carichi applicati sull’asset:
[t+dT] - q(x)dx = ⌀ - dT - q(x) dx = ⌀
dT/dx + q(x) = ⌀
T_x + q(x) = ⌀
Molto piccolo (trascurabile)
Tdx + Λ - q(x)dx - (Λ + dΛ) = ⌀
-dΛ + Tdx = ⌀
T = dΛ/dx
T = Λ,x

Sostituendo T = Π_1,x in T_1,x + q(x) = ∅ ottengo:
Π_1,xx + q(x) = ∅

Equazioni indefinite di equilibrio

1. N_1,x + q(x) = ∅
2. Π_1,xx + q(x) = ∅
3. T_1,x + q(x) = ∅
4. T = Π_1,x

Se q(x) = q
T_1,x + q = 0
T_1,x = -q
Integrando si ottiene T = -∫ q dx → T = -qx + c₁

In A e in B il taglio è noto ed è pari alla reazione prodotta dal vincolo
t(x = 0) = VA V_A = -q∅ + c₁
C₁ = VA

Dobbiamo aggiungere le condizioni al contorno

T = -qx + c₁ = -qx + ql²/₂
Legge del momento
Π_1,xx + q(x) = ∅
Oppure:
T = Π_1,x
Π₁ = -qx²/₂ + ql²/₂ + c₂

Π₁(x = 0) = 0
∅ = -q l²/₂ + c₂
c₂ = 0

Momento rispetto ad AR = _qL/² * ₂/³ l
DIST. DAL POLO
Momento risp. a BR = _qL/² * l ₁/³