Risolvere gli esercizi di gestione della qualità

ESERCIZI SPC

Punto a)

Si calcolano Xbar e S, rispettivamente come media (=MEDIA(B3:L3)) e deviazione standard

(DEV.ST.C(B3:L3)) per tutte le righe, cioè per ogni campione.

Si calcolano i limiti UCL, CL, LCL, sapendo che VN è il valore nominale e n è la numerosità dei

sottogruppi. Per stabilire le costanti utilizziamo la tabella:

Xbar_bar si calcola come media di tutti gli Xbar, e Sbar come media di tutti gli S, sigma come Sbar/c4

(scritto Sbar/_c4).

I limiti per Xbar si calcolano: per UCL =VN+(A*sigma), CL corrisponde a VN (=VN), e LCL =VN-

(A*sigma).

I limiti per S si calcolano: UCL =B6_*sigma (B6 la costante), CL =_c4*sigma, LCL = =B5_*sigma.

Si evidenziano in rosso tutti i valori che risultano essere maggiori di UCL e minori di LCL per le carte

Xbar e S, ovvero tutti i valori fuori controllo (cioè nelle colonne Xbar e S trovate prima), poi studiamo

dove il processo va fuori controllo.

La carta di controllo deve essere costruita con i campioni che sono scritti nel testo (es primi 10

campioni).

Punto b)

Trovare l’ARL1e l’ATS1 dato un salto di livello.

I valori di ATS e ARL indicano rispettivamente l'Average Run Length (= lunghezza media delle

sequenze), ovvero il numero di punti che devono essere osservati prima che un punto cada fuori dai

limiti di controllo e l'Average Time to Signal (=tempo di segnalazione medio), ovvero il tempo medio

intercorrente fra due segnali di fuori controllo.

Il salto di livello è dato dal problema, mu1 si calcola come =VN+salto_di_livello.

Beta= DISTRIB.NORM.N(T12;mu1_;sigma/RADQ(n);VERO)-

DISTRIB.NORM.N(T14;mu1_;sigma/RADQ(n);VERO)

Dove T2 corrisponde a UCL xbar, e T14 a LCL xbar.

ARL1=1/(1-beta)

e=elementi controllati (numero di elementi controllati ogni ora), r=ritmo produttivo (elementi prodotti

ogni ora), h=n/e, ATS1 =ARL1_*h.

punto c)

Stimare le prestazioni del punto b) allocando diversamente lo sforzo di campionamento con campioni

sia più numerosi che meno numerosi e confrontarne i valori, commentandoli.

Costruiamo la tabella calcolando UCL come =VN+(3/RADQ(B4))*sigma e LCL come =VN-

(3/RADQ(B4))*sigma, dove B4 corrisponde a n della stessa colonna.

Beta= DISTRIB.NORM.N(B5; $B$2; sigma/RADQ(B4); VERO) - DISTRIB.NORM.N(B7; $B$2;

sigma/RADQ(B4); VERO), dove B5 è il valore di UCL della stessa colonna, $B$2 è il valore di mu1 (dal

punto b), B4 il valore di n e B7 il valore di LCL della colonna.

ARL1 si calcola sempre come 1/(1-beta), ovviamente prendendo il beta ricalcolato per la colonna, h

come n/e (con e uguale al e del punto b), e ATS1 come ARL1 per h.

Esempio di commenti per gli ATS1 e gli ARL1 trovati:

1. Ho calcolato ARL1 e ATS1 per campioni che vanno da n=2 a n=40.

Da questi valori non si trova un ATS1 migliore di quello trovato in precedenza,

conseguentemente considero come valore che ottimizza ATS 0,46 ore dato da sottogruppi di

numerosità 9.

Il valore che invece minimizza ARL1 è n=40 poichè all'aumentare di n la sensibilità sull'errore di

secondo tipo (beta) diminuisce.

2. Dopo aver calcolato gli ARL1 e ATS1 per valori di n compresi tra 2 e 40 possiamo concludere

che:

Il valore di n che minimizza l'ARL1 tra quelli analizzati è 40. Questo perché un aumento della

numerosità campionaria si traduce in una diminuzione dell'errore di seconda specie beta, e

quindi in una diminuzione del numero di campioni necessario per accorgermi che sono in

presenza di un fuori controllo. Nel caso di n=40 quasi sempre ci si accorge già al primo

campione che siamo in presenza di un salto di livello.

Il valore minimo dell’ATS1 è pari a 1,4685 [h] e si ottiene per sottogruppi di numerosità 10. Non

è un valore molto distante dall'ATS che si ottiene per sottogruppi di numerosità 11 (pari a

1,615301), ma risulta comunque conveniente passare a sottogruppi di numerosità 10 se il fine

ultimo è quello di minimizzare l'ATS1 e quindi ridurre il tempo necessario ad accorgersi di

essere fuori controllo e abbassare conseguentemente anche i costi legati alla non qualità.

Punto c seconda parte)

Si valuti altresì il numero medio di unità prodotte in fuori controllo.

Formula→ ARL1*e/n

Punto d)

Stimare il miglior compromesso di allocazione dello sforzo di campionamento per un salto di livello

della domanda precedente ridotto di un quarto.

Si ricalcolano i dati come mu1 e beta utilizzando il nuovo salto di livello.

Si costruisce nuovamente la tabella per i nuovi dati:

(come scritto sopra)

Per trovare ATS ottimale: =MIN(P77:AI77) dove P77:AI77 è tutta la riga delle ATS calcolate.

Per trovare n ottimale:

Allo stesso modo possiamo calcolare ARL ottimale, e n ottimale corrispondente.

Esempio di commento:

Dopo aver calcolato gli ARL1 e ATS1 per valori di n compresi tra 2 e 40 possiamo concludere che:

Il valore di n che minimizza l'ARL1 tra quelli analizzati è 40. Questo perchè un aumento della

numerosità campionaria si traduce in una diminuzione dell'errore di seconda specie beta, e quindi in

una diminuzione del numero di campioni necessario per accorgemi che sono in presenza di un fuori

controllo. Nel caso di n=40 quasi sempre ci si accorge già al primo campione che siamo in presenza di

un salto di livello.

Il valore minimo di l'ATS1 è pari a 1,4685 [h] e si ottiene per sottogruppi di numerosità 10. Non è un

valore molto distante dall'ATS che si ottiene per sottogruppi di numerosità 11 (pari a 1,615301), ma

risulta comunque conveniente passare a sottogruppi di numerosità 10 se il fine ultimo è quello di

minimizzare l'ATS1 e quindi ridurre il tempo necessario ad accorgersi di essere fuori controllo e

abbassare conseguentemente anche i costi legati alla non qualità.

Punto d 2.0)

Sulla base della perdita di controllo per salto di livello della domanda b), che avviene ogni H ore di

produzione e l’attuale configurazione di carta di controllo, come valutereste se convenga aumentare

lo sforzo di campionamento, dato il costo unitario del collaudo Cuc, e l’onere da sostenere per

sostituire gli elementi che il cliente trova non conformi rispetto all’intervallo di tolleranza di specifica

durante il montaggio Csost.

Calcoliamo i costi di controllo come:

e il costo per unità prodotta:

Poi si calcolano i costi derivanti dalla non conformità:

Per valutare se conviene aumentare lo sforzo di campionamento, si deve confrontare l'incremento di

costo per un maggior sforzo di campionamento con la riduzione del costo della non qualità. Questo si

può fare con la seguente formula:

Se l’aumento del costo di controllo è minore alla differenza di costo di non conformità

conviene aumentare lo sforzo di campionamento, altrimenti no.

Grafico:

Tipo di grafico

Prima serie inizializzazione con i valori di xbar studiati, seconda serie osservazioni con i successivi

valori di xbar.

CL→ x=(FoglioStudente!$A$3;FoglioStudente!$A$165),

y=(FoglioStudente!$R$13;FoglioStudente!$R$13)

Dove R13 è la cella dove è salvato il valore di CL

Allo stesso modo si mettono UCL e LCL (per quanto riguarda x possiamo semplicemente fare copia

incolla per y bisogna cambiare la cella di riferimento.

Per inserire la legenda sezionare il grafico, andare su struttura grafico, poi su aggiungi elemento,

legenda.

Allo stesso modo si fa il grafico per la carta s.

CURVA OC

La formula per costruire la tabella è:

=DISTRIB.NORM.N(3,413+3*sigma/RADQ(B$1);$A3;sigma/RADQ(B$1);VERO)-

DISTRIB.NORM.N(3,387-3*sigma/RADQ(B$1);$A3;sigma/RADQ(B$1);VERO)

Dove 3,413+3*sigma e 3,413-3*sigma sono UCL e LCL.

B$1 indica la riga dei valori di n (prima riga), $A3 indica la colonna dei valori di mu1.

Il valore di mu1 si mette al centro della colonna, sopra si mettono valori di mu1 decrescenti, sotto si

mettono valori di mu1 crescenti.

Per fare il grafico prendiamo tutta la tabella escludendo la prima riga.

ESERCIZI PC

Punto a)

dati i limiti di specifica calcolare gli indici di capacità e prestazione dei processi e discutere su essi.

Calcoliamo Xbar come media delle righe, (ad es per la prima =MEDIA(B3:G3), e S come deviazione

standard della riga (ad es per la prima riga =DEV.ST.C(B3:G3).

Sono dati il valore nominale, il ritmo di produzione, la numerosità dei lotti, e la numerosità dei

sottogruppi.

Si calcolano come:

- f=e/r_

- tl=l/r_

- m*n=e*tl

- m’_=m_n/n (dove m_n è come è salvata la variabile m*n)

- m_star=INT(X6*2) (X6 è la posizione dove è salvato m’_)

m_star è il numero ideale di campioni da prendere per calcolare Sbar.

Si calcolano come:

- Sbar: media delle S calcolate, in particolare dei primi m_star s.

- mucap: media delle Xbar dei primi m_star campioni.

- sigmaicap: Sbar/_c4

- sigmatcap: deviazione standard (=DEV.ST.C) di tutte le colonne dei campioni 1-m_star.

- tau =RADQ(sigmaicap^2+(mucap-mu0)^2)

- Cp=(USL-LSL)/(6*sigmaicap)

- Pp=(USL-LSL)/(6*sigmatcap)

- CpkL=(mucap-LSL)/(3*sigmaicap)

- CpkU=(USL-mucap)/(3*sigmaicap)

- Cpk=MIN(CpkL;CpkU)

- CpU vecchia norma: =Cp*RADQ(INV.CHI.QUAD.DS(0,025;(n*m_star)-1)/((n*m_star)-1))

- CpU norma 22514: =Cp+INV.NORM.S(1-0,025)*(Cp/RADQ(2*m_star*n-2))

- CPpL vecchia norma: =Cp*RADQ(INV.CHI.QUAD.DS(1-0,025;n*m_star-1)/(n*m_star-1))

- CPpL norma 22514: =Cp-INV.NORM.S(1-0,025)*Cp/RADQ(2*n*m_star-2)

- PpkL =(mucap-LSL)/(3*sigmatcap)

- PpkU =(USL-mucap)/(3*sigmatcap)

- Ppk =MIN(PpkL;PpkU)

- Cpm =(USL-LSL)/(6*tau)

- Cpkm=MIN(CpkmL;CpkmU)

- CpkmL =(mucap-LSL)/(3*tau)

- CpkmU=(USL-mucap)/(3*tau)

F =sigmaicap^2/sigmatcap^2

Fcrit =INV.F.DS(0,95;m_star*(n-1);m_star*n-1)

df num =m_star*(n-1)

df den =m_star*n-1

Punto b)

Si stimi qual è il livello medio di qualità per un lotto di vendita sulla base delle stime fatte per

la capacità di processo. Si valuti anche il livello di qualità potenziale e quello che si ha in caso

di perdita di controllo relativa ad un determinato salto di livello x. Trarne delle conclusioni, se

possibile. pcap_t: qualità media sulla base della prestazione

pcap_i: qualità media sulla base della capacità

pcap_t_saltoliv: qualità media sul lungo periodo

con un salto di livello x.

Pcap_t =DISTRIB.NORM.N(LSL;mucap;sigmatcap;VERO) + (1-

DISTRIB.NORM.N(USL;mucap;sigmatcap;VERO))

Pcap_i= =DISTRIB.NORM.N(LSL;mucap;sigmaicap;VERO) + (1-

DISTRIB.NORM.N(USL;mucap;sigmaicap;VERO))

Pcap_t_saltoliv =DISTRIB.NORM.N(LSL;mu0+saltoliv;sigmatcap;VERO) + (1-

DISTRIB.NORM.N(USL;mu0+saltoliv;sigmatcap;VERO))

Punto c)

Sono stati consegnati al cliente 3 lotti formati dai seguenti numeri di pezzi: 1058, 618 e 1587.

L'inizio della produzione dei 3 lotti corrisponde ai rispettivi sottogruppi razionali: 46; 78 e 139.

Stimare la quali