Come risolvere iperstatiche

Strutture Iperstatiche con metodo delle forze

BZ M rM dz (1.1)f EIA3. Soluzione dell'integrale: possiamo portare fuori dal segno di integrale il prodotto "EI" e risolvere l'integrale tramite la formula di Simpson: B - Z (B A) A + B A + BM r dz = [M (A)M (A) + 4M M + M (B)M (B)] (1.2)M f r f r f rf EI 6 2 2A In presenza di una struttura con n aste, è fortemente consigliato risolvere n integrali, poi sommare i contributi. Precisazione. Quando useremo questo metodo per trovare uno spostamento in strutture iperstatiche, il sistema reale sarà l'isostatica associata, compresa di reazione X con il valore già trovato. Di conseguenza, il momento M non sarà altro che il momento dell'isostatica associata "finale". Capitolo 2 Strutture Iperstatiche con metodo delle forze 2.1 Introduzione al problema In questo capitolo andremo a trattare la risoluzione di strutture n-volte iperstatiche tramite l'uso del metodo delle forze. A differenza di quanto visto nel corso di statica, ci troveremo

A dover affrontare strutture i cui gradi di vincolo sono n-volte maggiori dei gradi di libertà.

2.2 Strutture 1-volta Iperstatiche

Una struttura è 1 volta iperstatica se la differenza tra gradi di vincolo v e gradi di libertà g è pari a uno: -v + g = 1 (2.1)

Il metodo risolutivo è il seguente:

1. Calcolare il grado di iperstaticità: Ci accertiamo che la struttura sia una volta iperstatica.
2. Degradare la struttura ad Isostatica: Per poter risolvere una struttura iperstatica è necessario degradarla ad isostatica; per far ciò dobbiamo modificare i vincoli della struttura di partenza, in modo da ottenere una struttura tale che v = g. Potremo modificare i vincoli in maniera del tutto arbitraria, tenendo a mente

due sole regole:

• le modifiche non dovranno generare cinematismi;
• in corrispondenza del vincolo rimosso, dovremo inserire un carico incognito X a sostituzione della reazione.

Nella struttura in figura, rimuovendo il carrello in D dovremo riportare una reazione X incognita verticale; • dobbiamo imporre che lo spostamento in corrispondenza del vincolo rimosso sia nullo. EX: Nella struttura in figura, rimuovendo il carrello in D dovremo imporre v = 0. D3. Istituire 2 sistemi: −nel caso di strutture 1 iper avremo due sistemi: • Sistema 0: è la struttura isostatica appena ricavata, sottoposta unicamente ai carichi esterni. • Sistema 1: è la struttura isostatica associata sottoposta unicamente ad un carico unitario X = 1 in corrispondenza della reazione incognita X. A questo punto, determiniamo i valori delle reazioni vincolari con il metodo appreso nel corso di Statica. 4. Diagrammi dei momenti: Dopo aver trovato le reazioni incognite nelle isostatiche "0" e "1", dobbiamo calcolare il diagramma di momento M e il diagramma di momento M con il metodo appreso nel corso di Statica. Per il passaggio successivo,

È utile determinare il valore del momento nella mezzeria dell'asta.

5. PLV:

Partiamo da un'equazione avente:

• al primo membro il prodotto tra la forza unitaria nel sistema "1" e lo spostamento nel sistema "0". Poiché abbiamo imposto lo spostamento nullo in corrispondenza del vincolo rimosso, il primo membro sarà complessivamente nullo.
• al secondo membro avremo un integrale: Z (M + XM )0 1 ds (2.2)

A questo punto, possiamo innanzitutto spezzare l'integrale e portando X fuori dalla parentesi otteniamo: R M M ds1 0 - X = (2.3)

Ci viene anche qui in soccorso la formula di Simpson, la quale ci permette di risolvere un integrale alla volta (nel nostro caso l'integrale al numeratore e al denominatore) utilizzando i valori trovati dai diagrammi dei momenti.

Precisazione 1. Per una struttura composta da più aste, i due integrali che compaiono a numeratore e denominatore rappresentano la totalità della struttura; di

conseguenza, in presenza di una struttura con 3 aste, dovremo risolvere integrale sul tratto AB, sul tratto BC e sul tratto CD per poi farne la somma (vedi Esercitazione 2, esercizio 4).

Precisazione 2. Preso un tratto di struttura AB, se il diagramma di momento M 0 tende le fibre dal lato opposto rispetto al diagramma M (e viceversa) è necessario mettere un segno “-” davanti il prodotto.

6. Trovare il valore di X: Una volta calcolati tutti gli integrali, facciamo la somma e troviamo valore di X. È consigliabile verificare sempre le unità di misura.

7. Risoluzione della struttura con il valore noto di X: una volta trovato X, sostituiamo questo valore nella struttura isostatica. Partendo da questa struttura, calcoliamo le reazioni vincolari e i diagrammi M, N, T. L’esercizio si chiude con la risoluzione della struttura isostatica associata.

2.3. STRUTTURE N-VOLTE IPERSTATICHE

2.3 Strutture n-volte iperstatiche

Capita molto spesso che una struttura sia più volte iperstatica.

Il metodo di risoluzione per talistrutture segue gli stessi principi visti finora, pertanto la spiegazione sarà meno esaustiva.

1. Calcolare il grado di iperstaticità
2. Tracciare la isostatica associata: l’operazione è del tutto analoga a quanto visto in precedenza; l’unica differenza sta nel fatto che adesso le reazioni incognite saranno due: X e X . Ricordiamo ancora una volta di imporre gli spostamenti nulli congruentemente ai vincoli rimossi.
3. Istituire i sistemi: Siccome abbiamo più incognite, avremo un numero maggiore di sistemi da imporre:
   • “Sistema 0”: è la struttura isostatica associata sottoposta ai soli carichi esterni;
   • “Sistema 1”: è la struttura isostatica associata, sottoposta alla sola reazione X = 1.1
   • “Sistema 2”: è la struttura isostatica associata, sottoposta alla sola reazione X = 1.2

Precisazione. All’aumentare del grado di iperstaticità, aumenteranno sia il numero di reazioni che il numero di sistemi da imporre.

incognite che il numero di sistemi da istituire.

4. Diagrammi di momento:

Dovremo soltanto trovare i rispettivi diagrammi di momento per ogni sistema.

5. PLV:in generale, avremo un numero di equazioni pari al numero di gradi di iperstaticità. Per unastruttura 2-IPER ad esempio, avremo 2 equazioni:

• prima equazione: al primo membro avremo una somma: prodotto tra le forze nel”sistema 1” e gli spostamenti nel ”sistema 0”, che sarà anche qui nullo.

Al secondo membro avremo l’integraleZ (M + X M + X M )0 1 1 2 2 ds (2.4)M 1 EI

• Seconda equazione: al primo membro avremo una somma: prodotto tra le forze nel”sistema 2” e gli spostamenti del ”sistema 0”, che sarà nullo.

Al secondo membro avremo l’integraleZ (M + X M + X M )0 1 1 2 2M ds (2.5)2 EI

Abbiamo cosı̀ un sistema di due equazioni in due incognite: X e X . Gli integrali1 2vengono risolti con la formula di Simpson..

6. Risolvere la struttura con i valori noti delle

X:trovate le X, risolviamo la struttura come visto già per le 1-iper.2.4 Cedimenti vincolari

In questo corso tratteremo il caso dei cedimenti vincolari anaelastici, detti anche spostamentiimposti. A differenza dei sistemi isostatici, un cedimento vincolare in una struttura iperstaticaimplica la nascita di reazioni e deformazioni ad esso correlati. Ciò accade perché è come se il grado(o i gradi) di iperstaticità si opponesse in qualche modo allo spostamento. Risulta fondamentalel’ipotesi dei piccoli spostamenti affinché la teoria possa ritenersi valida. Nell’atto pratico dellarisoluzione degli esercizi, il procedimento è simile a quanto visto per le strutture iperstatiche:

1. Calcolare il grado di iperstaticità della struttura
2. Degradare la struttura ad isostatica:

Anche qui dovremo degradare la struttura ad isostatica, riportando la reazione (o le reazioni)X incognita e imponendo lo spostamento associato nullo. Tuttavia, in corrispondenza delvincolo

interessato da cedimento, avremo uno spostamento NON nullo.

CAPITOLO 2. STRUTTURE IPERSTATICHE CON METODO DELLE FORZE

Figura 2.3: Precisazione. Possiamo degradare anche il vincolo interessato da cedimento vincolare, non c'è alcuna limitazione a riguardo.

nel caso di una mensola con carrello, se avessi un cedimento vincolare verso il basso in EX: corrispondenza del carrello, lo spostamento sarebbe v = η verso il basso.

A 0

Figura 2.4:

3. Istituire i sistemi: Il passaggio è del tutto analogo a quanto visti con i classici esercizi di iperstatiche, pertanto non ci ripetiamo con le spiegazioni.

4. Trovare i diagrammi di momento

5. PLV: Al primo membro figura anche qui la somma dei prodotti tra le reazioni nel sistema 1 e gli spostamenti nel sistema 0 (per 2-Iper avrò 2 equazioni del PLV...). Tuttavia, a causa della presenza del cedimento vincolare, al primo membro avremo il prodotto tra la reazione vincolare (congruente al cedimento vincolare) del sistema 1 e il cedimento vincolare.

Il secondo membro è sempre lo stesso. EX: (vedi esercitazione 3) se ho un cedimento vincolare in A e una reazione V nel sistema A11 pari a , il PLV sarà l Z1 (M + XM )0 1η = M ds (2.6)0 1l EIIl prodotto tra la reazione e lo spostamento è positivo se concordi, negativo se discordi. 6. Risolvere l'equazione/sistema e trovare X 7. Risolvere la isostatica associata 8. Disegnare la deformata elastica se richiesto

2.5 Carichi termici

La dilatazione termica è un fenomeno che provoca una distorsione della trave a seguito di una variazione di temperatura. Il fenomeno è particolarmente importante nelle strutture iperstatiche, poiché la sovrabbondanza di vincoli implica un'opposizione alla distorsione: nascono particolari sollecitazioni.

Il fenomeno della distorsione termica può essere ulteriormente particolarizzato a seconda del tipo di variazione di temperatura T:

2.5.1 Carico termico a farfalla

Un carico termico a farfalla, ovvero un aumento di temperatura da un lato della trave e un...

abbas-samento dall'altro lato implica un allungamento dal lato interessato da aumento di temperatura, accorciamento dal lato interessato da diminuzione di temperatura. Questa deformazione dovuta al carico termico vale ϵ = α∆T (2.7)2.5. CARICHI TERMICI 13 Figura 2.5: dove α è il coefficiente di dilatazione termica, caratteristico di ogni materiale. La ϵ sarà positiva in corrispondenza dell'allungamento, negativa in corrispondenza dell'accorciamento. Considerato un concio di trave, se per esempio la parte superiore si allunga e quella inferiore si accorcia, risulta una curvatura verso l'alto.