Relazione tecnica di Turbomacchine sulla turbina assiale

⋅T

=c =1471007.31

h 1 p 1 3

m

Gli altri parametri fondamentali che possono essere determinati è l'area della sezione di passaggio,

l'altezza del canale meridiano e i raggi di hub e di tip.

L'area di passaggio del flusso relativo alla sezione 1 è pari a:

m 2

=0.729

A= m

⋅c

ρ 1 x

La sezione considerata è a monte dello statore, quindi non è palettata: è semplicemente un'area anulare

tra i raggi di hub e di tip, che però sono stati considerati costanti per quanto riguarda il dimensionamento

preliminare.

Quindi questi raggi sono da interpretare come raggi medi dello stadio.

L'altezza media delle palettature dello stadio h è dato quindi da:

m A

= =0.111m

h m ⋅ ⋅

2 π r m

h

m

=r − =0.988

r m

hub m 2

h

m

=r + =1.099

r m

tip m 2

Dimensionamento sezione 2

Alla meanline è assegnato sia il grado di reazione che il coefficiente di carico.

Ricordando la formula del grado di reazione in termini di angoli assoluti in ingresso e in uscita dal rotore:

φ [ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

⋅ ⋅

−tan =φ +

R=1+ tan α α ψ tan α tan α

3 2 3 2

2

Mettendo a sistema le due equazioni è possibile ricavare gli angoli α e α (i passaggi matematici sono stati

2 3

omessi): =5.72° =66.5

α α °

3 2

Quindi a questo punto è possibile ricavare le altre grandezze caratteristiche del triangolo di velocità:

4 m

⋅

=c )=237.81

c tan(α

θ 2 x 2 s

m

√ 2 2

= +c =410,89

c c

2 x θ 2 s

m

=c −u =49.14

w θ2 θ 2 m s

m

√ 2 2

= +w =171.04

w c

2 x θ2 s

dove in particolare viene ricavato l'angolo di flusso relativo in ingresso al rotore (sezione 2):

( )

w

−1 θ 2

=tan =16.7

β °

2 c x

Il triangolo di velocità nella sezione 2 (uscita statore/ingresso rotore) è completamente determinato:

Nello statore non essendoci scambio di lavoro e supponendo che il flusso sia adiabatico risulta che

l'entalpia si conserva.

Per un gas perfetto con calori specifici costanti, se si conserva l'entalpia totale, si conserva anche la

temperatura totale: =T =1148

T K

02 01

E' possibile quindi determinare la temperatura statica all'uscita dello statore e quindi all'ingresso rotore:

2

c 2

=T − =1082.71

T K

2 02 2⋅ c p

Inizialmente non essendo a conoscenza delle perdite, viene considerato flusso isoentropico e quindi è

possibile ricavare in maniera semplice la densità statica:

( ) 1

T kg

−1

2 γ

⋅

=ρ =2.83

ρ 2 1 3

T m

1

Come per la sezione 1, è possibile determinare il numero di Mach assoluto e relativo, entrambi per la

sezione 2: c 2

= =0.642

M √

2 ⋅ ⋅

γ R T 2

w 2

= =0.267

M √

r ,2 ⋅ ⋅

γ R T 2

A questo punto tutte le grandezze termofluidodinamiche della sezione 2 sono note.

Dimensionamento sezione 3

Il procedimento è analogo a quanto fatto per la sezione 2: m

( )

⋅

=c =237.81

c tan α

θ 3 x 3 s

5 m

√ 2 2

= +c =410,89

c c

3 x θ 3 s

m

=c +u =49.14

w θ2 θ 3 m s

m

√ 2 2

= +w =171.04

w c

3 x θ3 s

( )

w

−1 θ 3

=tan =16.7

β ° → angolo di flusso relativo in uscita dal rotore

3 c x

E con questa ultima sezione, sono stati ricavati completamente i triangoli di velocità nella sezione di

midspan.

E' interessante invece fare una osservazione riguardo all'angolo di flusso assoluto in uscita dallo stadio (α 3

).

Si osserva infatti che i valori degli angoli e delle velocità ottenuti sono valori tipici di schiere di turbina e

quindi consistenti con buone prestazioni dello stadio.

È risaputo che, per ragioni di efficienza, è consigliato tenere l'angolo assoluto di ingresso agli stadi di

turbina inferiore a 20° altrimenti si presenterebbero forti deflessioni statoriche con un incremento delle

perdite.

È opportuno, inoltre, ottenere angoli di flusso in uscita dal rotore (α ), quindi dallo stadio, entro i medesimi

3

limiti, per garantire la ripetibilità dello stadio e fornire in ingresso allo stadio successivo un flusso più

uniforme possibile.

L'angolo assoluto α in uscita ricavato è pari a 5.72°, pertanto consente la ripetibilità dello stadio.

3

L'angolo di flusso assoluto in uscita dallo statore (α ) e quello relativo in uscita dal rotore (β ) risultano

2 3

elevati, in quanto le velocita c e w risultano molto tangenziali.

2 3

In conclusione, è possibile ora determinare la temperatura (sia totale che statica), la densità statica e il

Mach (sia assoluto che relativo): Δh 0

=T − =1048.35

T K

03 02 c p

2

c 3

=T − =1037.87

T K

3 03 ⋅

2 c p

( ) 1

T kg

−1

3 γ

⋅

= =2.83

ρ ρ

3 2 3

T m

2

c 3

= =0.263

M √

3 ⋅ ⋅

γ R T 3

w 3

= =0.608

M √

r ,3 ⋅ ⋅

γ R T 3

È possibile adesso ricavare il rapporto passo/corda, il numero di pale e l'apertura della sezione di gola per

la palettatura rotorica e statorica.

Per ricavare il rapporto passo/corda g/C (g è il passo della schiera, C è la corda assiale) viene fatto

x x

riferimento al numero di Zweifel: 6

g [ ]

2 ( ) ( ) ( )

⋅cos ⋅

=2⋅ −tan =1.05

→Ψ α tan α α

schiera statorica z 2 2 1

C x

g [ ]

2 ( ) ( ) ( )

⋅cos ⋅

=2⋅ −tan =1.05

→Ψ β tan β β

schiera rotorica z 3 3 2

C x

Essendo che sono assegnate le corde assiali statoriche e rotoriche, è possibile quindi ricavare il passo

rotorico e statorico: =1.362m

g s =1.357

g m

r

A questo punto, facendo riferimento al raggio medio, possiamo determinare il numero di pale delle schiere

arrotondando al numero intero più vicino: ⋅ ⋅r

2 π m

= =48

N s g s

⋅ ⋅

2 π r m

= =48

N r g r

Noto il passo g, viene sfruttata la sinus rule per determinare l'apertura di gola o delle schiere:

o ( )

=cos =0.054

→ α → o m

schiera statorica 2 s

g

o =cos (β )→ =0.058

→ o m

schiera rotorica 3 r

g

Analisi delle perdite e dei rendimenti

Adesso, è possibile determinare le perdite di pressione totale attraverso le due schiere utilizzando

un'opportuna correlazione.

Viene utilizzata la correlazione di Kacker-Okapuu per determinare i coefficienti di perdita di pressione totale

per la schiera statorica e rotorica.

In prima approssimazione vengono trascurate le perdite al bordo di uscita, le perdite per flussi secondari e

le perdite per trafilamento.

Per calcolare le perdite al trailing edge sarebbe necessario conoscere i diametri del bordo di uscita per

quelle di trafilamento, l'altezza del tip gap; quindi, raffineremo queste considerazioni una volta note tutte le

grandezze geometriche relative al profilo.

In accordo con la correlazione di Kacker-Okapuu, il coefficiente di perdita è espresso come:

2

⋅ ⋅Y ⋅

=0.914 (

Y f Re)

p , AMDC

3

Dove f(Re) corrisponde ad una funzione del numero di Reynolds e Y corrisponde al coefficiente di

p,AMDC

perdita di pressione totale di profilo secondo la correlazione di Ainley-Mathieson-Dunham-Came:

=f (α

Y α Y ,Y , t ,C)

p , AMDC 1 , 2, pN pB max

• α e α sono rispettivamente gli angoli di flusso assoluto in ingresso ed in uscita, nel caso di

1 2

palettatura statorica, mentre verranno rappresentati dagli angoli flusso relativi nel caso di palettatura

rotorica. 7

• Y è il coefficiente di perdita di un ugello, di una palettatura che ha stesso angolo di uscita di quello

pN

che viene studiato, ma con angolo di ingresso nullo

• Y è il coefficiente di perdita di profilo di una palettatura avente gli stessi valori di angolo in ingresso

pB

e angolo di uscita, come se si trattasse di una palettatura ad azione pura.

La correlazione di AMDC fornisce un valore del coefficiente di perdita di profilo ottenuto facendo la media

pesata tra i valori di Y e Y , dove si utilizza come peso una funzione degli angoli di ingresso e di uscita

pN pB

della nostra schiera (assoluti nel caso di statore e relativi nel caso di un rotore) e il risultato viene

moltiplicato per il fattore di correzione f(t /C).

max

Dal momento che nella correlazione si fa riferimento alla reale corda del profilo e non alla corda assiale, è

necessario calcolarla tramite l'angolo di calettamento:

C C

x ,s x ,r

= =0.128 = =0.105

C mC m

s r

( ) ( )

cos γ cos γ

s r

I termini Y , Y , sia per statore che per rotore, possono essere determinati graficamente con appositi

pN pB

grafici forniti da AMDC, oppure mediante una regressione polinomiale (sotto riportata) che possiamo

utilizzare direttamente sostituendo alla variabile x il rapporto passo/corda ed alla variabile y il valore

assoluto dell'angolo di flusso assoluto in uscita, tra l’altro i coefficienti a, b sono tutti noti.

=0.040 =0.060

Y Y

pN , s pN , r

=0.018 =0.022

Y Y

pB , s pB , s

Si può quindi ricavare il coefficiente di perdita di pressione totale di profilo secondo la correlazione Ainley-

Mathieson-Dunham-Came per rotore e statore: 8

[ ] ( ) α

/C

α α t 1

1 1 max

( )

∣ ⋅ ⋅

= +∣ −Y =0.040

α

→Y Y Y → Y

Statore otore

2

p , AMDC ,s pN pB pN p , AMDC , s

α α 0.2

2 2

[ ] ( ) β

/

β β t C 2

2 2 max

( )

∣ ⋅ ⋅ β

= +∣ −Y =0.074

→Y Y Y →Y

3

p , AMDC ,r pN pB pN p , AMDC ,r

β β 0.2

3 3

Manca dunque solo da specificare la correzione in funzione del numero di Reynolds per determinare Y.

Il numero di Reynolds è definito con riferimento alle condizioni in uscita dalle schiere e alla corda vera della

palettatura: ⋅c ⋅C

ρ 2 2 s 6

= =8.2⋅10

Re s μ

⋅ ⋅C

ρ w

3 3 r 6

⋅10

= =5