Relazione tecnica di Turbomacchine sulla pompa centrifuga

Di seguito sono riportate le specifiche della macchina da realizzare:

• 3

Q = 400 m /h

• H = 200 m

• Design voluta = lobanoff e logaritmica

• ρ 3

= 997 kg/m

acqua

La pompa è alimentata da un motore elettrico ad induzione, la cui velocità di rotazione è data:

f (1−s)

N=120 p

Dove f è la frequenza di rete [Hz], p è il numero di coppie polari del motore e s è lo scorrimento del motore.

Assumendo p = 2, s = 0,009 e f = 50 Hz, si ottiene una velocità di rotazione pari a:

rad

N=2980 rpm=312,06 s

La velocità di rotazione è quindi imposta dal tipo di motore che andiamo ad utilizzare.

Condizioni di progetto

Nei diagrammi che verranno sfruttati per la progettazione, le unità di misura sono anglosassoni, quindi è

necessario per prima cosa, convertire i dati di specifica. ( )

3

m

−5

1 gpm=6,30902 ×10

La portata volumetrica sarà rappresentata in galloni per minuto e la

s

( )

1 ft=0,3048 m

prevalenza in piedi :

 Q = 1761 gpm

 H = 656,2 ft

Calcoliamo il numero di giri specifico, ovvero il parametro di similitudine principale per le macchine che

elaborano un fluido incomprimibile.

In base a questo numero, è stato possibile fare il dimensionamento di massima basandoci su una mappa,

EPRI (Eletric Power Research Institude), che riporta lo stato dell’arte delle pompe ben progettate e

soprattutto l’efficienza in funzione di N e Q.

s

Si riporta il numero di giri specifico: 1

2

N ∙Q

= =18,7

N s 3

4

H

( )=965

N US

s

La mappa dell’EPRI riporta sulle ascisse il numero di giri specifico N , e sulle ordinate il rendimento della

s

η

pompa c.

È possibile ricavare quest’ultima andando ad intercettare la curva relativa alla portata volumetrica

interessata (1761 gpm).

In questo modo, è possibile avere una idea dell’efficienza che è possibile aspettarci dalla pompa se ben

realizzata 1

η ,

Dal rendimento che risulta essere pari a 0,76 è possibile ricavare la potenza che ci serve per alimentare

c

la pompa: ρgHQ =290

P= kW

ηc

Dimensionamento della girante

La procedura di design segue mappe tratte dal testo di Stepanoff: basandosi su diagrammi di progettazione

in funzione di N è possibile ricavare costanti che consentono di ottenere il dimensionamento.

s,

Infatti, noto N , è possibile ricavare la speed costant K , la capacity costant K , l’entrance velocity costant

s u m2 D 1 , tip

K e il rapporto tra il diametro in uscita e quello in ingresso al tip della girante .

m1 D 2

Note le definizioni di tali coefficienti, è possibile ricavare la

velocità periferica in uscita (da cui, nota la velocità di rotazione,

si ottiene il diametro d’uscita), la velocità meridiana in uscita (da

qui nota la portata volumetrica, è possibile ricavare la sezione

d’uscita e il coefficiente di flusso), la velocità meridiana in

ingresso e il diametro in ingresso al tip (da cui, nota la velocità

di rotazione, è possibile calcolare la velocità periferica in

ingresso al tip).

Sfruttando quindi il grafico qui a lato riportato, è possibile

ricavare i parametri fondamentali:

u 2 u

m

2 2

= =61 = =0,391

k ≈ 0,98 →u → D m

√

u 2 2

s N

2 gH

c m

m 2 2

= =6,1 =0,0182

k ≈ 0,098→ c → A m

√

m 2 m 2 2

s

2 gH c m 2

= =0,1

φ 2 u 2

c m ft

m 1

= =8,8 =28,9

k ≈ 0,14 → c

√

m 1 m 1 s s

2 gH

2

D ω D m ft

1 , tip 1 ,tip

=0,15 = =23,4 =76,8

≈ 0,38 → D m→ u

1 ,tip 1 ,tip

D 2 s s

2

A questo punto, è possibile procedere con la determinazione del numero di pale della pompa che

β

determina l’angolo del metallo dell’impeller in uscita rispetto alla direzione tangenziale.

2∞

Un numero di pale contenuto abbassa il valore dell’NPSH , in quanto determina un minor ingombro nella

r

sezione d’imbocco e quindi un minor bloccaggio in ingresso, mentre un alto numero di pale porterà ad

avere un carico maggiore, in quanto guiderà meglio il flusso in uscita.

Generalmente il numero di pale (compreso tipicamente 3 e 8 pale) viene assunto dispari e preferibilmente

primo perché, se la voluta avesse due tongue (voluta doppia), un numero pari potrebbe portare a fenomeni

di risonanza e quindi indurrebbe vibrazioni dannose per la macchina.

Viene scelto un numero di pale Z = 7. β

Dal diagramma sottostante, ne consegue un angolo del metallo in uscita = 27°.

2∞

β

Noti c l’angolo del metallo in uscita e D viene ipotizzato uno spessore della pala in uscita s = 0,006 m

m2, 2∞ 2

e in conclusione è possibile determinare l’altezza del canale in uscita:

Q

= =0,016

b m

2 ( −z )

c π D s

m 2 2 u

s

= =0,013

s m

u ( )

sin ⁡ β 2∞

Utilizzando la correlazione di Wiesner, è possibile stimare lo slip factor con la definizione americana.

Noto il numero di pale Z e l’angolo del metallo in uscita:

√ ( )

sin ⁡ β 2 ∞

=1− =0,827

σ 0,7

N 3

Il coefficiente di carico effettivo che tiene conto dello slip factor è pari:

=σ−φ ( )=0,631

τ cot ⁡ β

2 2 ∞

A questo punto è possibile determinare il triangolo di velocità in uscita:

m

⋅u

=τ =38,49

c θ 2 2 s

m

=c =6,1

c m 2 r 2 s m

√ 2 2

= +c =38,97

c c

2 r 2 θ 2 s

m

=u −c =22,51

w θ2 2 θ 2 s

m

=c =6,1

w r 2 r 2 s m

√ 2 2

= + =23,32

w w w

2 r 2 θ 2 s

( )

c

−1 r 2

=tan =9,01°

α 2 c θ 2

( )

w

−1 r 2

=tan =15,16

β °

2 w θ 2

Volendo tenere conto delle perdite, a questo punto, si stima una velocità tangenziale in uscita di primo

tentativo a partire dalla prevalenza totale della girante, tramite l’equazione di Eulero:

H

= =256,4

H m

g η

g H m

g

= =41,23

c θ 2,0 u s

2

Cavitazione

Dal diagramma empirico sperimentale fornito da Lobanoff & Ross per l’acqua, è possibile trovare l’NPSHr

corrispondente alla c trovata e alla u .

m1 1, tip 4

Entrando nel grafico, infatti si ottiene un valore dell’NPSHr di 49 ft (15 m) che è fuori dal range ottimale di

NPSHr, ossia 3-6 m.

A questo punto viene scelto un valore di NPSHr = 5 m (16,4 ft), e rientrando nel grafico è possibile

determinare la nuova c all’ingresso dell’impeller corrispondente all’NPSHr imposto, mantenendo costante

m1

il D , ovvero c = 11.5 ft/s = 3.5 m/s.

1, tip m1

Per ottenere una cm1 = 3.5 m/s viene inclinato il leading edge della pala di un angolo

( )

c m 1

θ=arcos ≈ 66.6° rispetto alla direzione radiale, che determina una diminuzione della velocità

c 1

meridiana in ingresso ed un aumento della sezione di passaggio, dal momento che manteniamo fisso il

valore di D (se variasse u aumenterebbe e di conseguenza anche l’NPSHr).

1, tip 1,tip

Adesso è possibile calcolare l’area della sezione di ingresso alla girante:

Q 2

= =0,013

A m

1 c 1

Si ricava: √ A

2 1

= −4 =0,077

D D m

1,hub 1,tip π

A questo punto è necessario verificare che il valore ottenuto risulti maggiore del diametro minimo di hub

fissato dal dimensionamento a torsione (viene scelto un acciaio Fe360, σ = 235 Mpa, c = 5, τ =27,15

max s s

Mpa): √ 16 P

3

= =0,055

D m→ 0,077 m> 0,055m → condizione soddisfatta

1,tip π ωτ s

Dimensionamento della voluta

La voluta ha il compito di raccogliere il flusso che esce circonferenzialmente dalla girante e convogliarlo

verso una tubazione.

Il dimensionamento della voluta è di particolare importanza, in quanto è un componente fondamentale per

l’ottenimento di prestazioni rilevanti dell’intero stadio. 5

Si procede al dimensionamento di una voluta a velocità costante (di Lobanoff) e poi una logaritmica, le

quali saranno poi confrontate in base alle perdite in modo da scegliere la configurazione migliore.

Per entrambe le tipologie di voluta il calcolo viene svolto dividendo l’angolo giro in otto settori, nei quali

vengono calcolate le grandezze medie.

VOLUTA DI LOBANOFF

.

La voluta a velocità costante è basata solo su correlazioni in quanto dal grafico di Stepanoff (qui a lato

riportato) è possibile ricavare la costante k (costante di velocità nella sezione di gola della voluta) in

3

funzione del numero di giri specifico.

c m

out

= =0,47→ =c =29,442

k c

Per N = 965 si trova un

s √

3 out 8 s

2 gH Q 2

= =0,0038

A m

Nota la velocità, è ora possibile trovare l’area della sezione di gola: 8 c 8

Per il dimensionamento delle sezioni è necessario determinare b e D , che vengono dati in funzione del

3 3

numero di giri specifico.

Dalle tabelle so, quindi, è possibile ricavare i due rapporti geometrici:

b 3 =2→ =0,032

b m

3

b 2

D 3 =1,05 =0,411

→ D m

3

D 2

Dividendo la voluta in otto settori, l’area delle sezioni è distribuita in modo proporzionale all’angolo.

Ipotizziamo una sezione di passaggio della voluta circolare vengono calcolate le aree delle sezioni di

passaggio con la seguente formula: θ i

=

A A

i 8 2 π

6

In particolare, per determinare le perdite di attrito totali, è stato necessario sommare il contributo di perdita

di ciascuna delle otto sezioni in cui è stata suddivisa la voluta

Per valutare le diverse componenti di perdita è stato fatto riferimento alla trattazione di Japikse, Weber &

Koronowski: 2

L ρ c

i m ,i

 =∑ =504553

ξ f ∙ Pa

Perdita per attrito: F D 2

m , i 2

( )

−c

c ¿

 out

Perdita per smorzamento della velocità tangenziale: =ω =0

ξ ρ Pa

TV TV 2

2

ρC

 r 2

Perdita per smorzamento della velocità radiale: = =18549

ξ Pa

MV 2

In fine si ottengono le perdite totali come la sommatoria dei vari contributi:

=ξ + +ξ =523102

ξ ξ Pa →53,5 m

TOT F TV MV

VOLUTA DI LOGARITM