Relazione di laboratorio per esame su ponte estensimetrico

In aggiunta, l’area A subirà un restringimento dovuto alla contrazione trasversale, definita dal

coefficiente di Poisson:

=−

dove è la deformazione longitudinale e la deformazione trasversale.

Deformando il conduttore avremo che anche la sua resistività cambia, per cui si avrà:

()

() = () = + +⋯

0

()

,

Linearizzando, da = con = si trova la sensibilità S che prende il nome di Gauge Factor (G ).

f

1

1 + 2

Dove il termine prende il nome di termine geometrico, mentre è detto termine

piezoresistivo.

• Estensimetri a griglia

Gli estensimetri a griglia metallica sono costituiti da un circuito di materiale metallico ripiegato su sé

stesso per formare una serpentina. La modalità di realizzazione avviene mediante un processo di

fotoincisione: viene stampato il circuito su un foglio metallico (di norma in costantana) che

successivamente viene immerso in un bagno acido per asportare il materiale non stampato.

Il suo processo produttivo permette il raggiungimento di un’incertezza minima sulla sensibilità dello

0.5%, dove non sia possibile effettuare una taratura dopo l’incollaggio.

In questo tipo di estensimetri la resistività varia poco con la deformazione.

Considerando 0.3 come valore tipico per il coefficiente di Poisson, si ricava che il Gauge Factor oscilla

tra 1,7÷2,5. Nonostante la bassa sensibilità, è il tipo di estensimetro più diffuso. Questo perché il

termine piezoresistivo è fortemente influenzato dalla temperatura, perciò il suo limitato peso nella

valutazione del Gauge Factor, garantisce una minor dipendenza di quest’ultimo dalla temperatura,

rendendo lo strumento molto più versatile.

= (1 + Δ)

0

• Circuito a ponte di Wheatstone

Le resistenze Ri rappresentano ciascuna uno dei 4

estensimetri utilizzati. Si utilizzano più estensimetri

invece di uno solo per due motivi principali: il primo è

quello di amplificare l’effetto misurabile sommando le

variazioni di resistenza degli estensimetri fissati su lati

opposti (lato delle fibre tese e lato delle fibre

compresse), il secondo è la compensazione degli effetti

della temperatura. ∆ ∆ ∆ ∆

0 1 2 3 4

( )

= − + −

4

1 2 3 4

Dall’equazione del circuito si vede come la tensione in uscita non dipenda direttamente dalla

resistenza, ma dalla sua variazione.

È bene ricordare che variazioni di resistenze su lati contigui si

sottraggono, mentre variazioni di resistenze su lati opposti si

sommano.

Nel nostro set up abbiamo utilizzato una configurazione a

mezzo ponte, vale a dire utilizzando solo due estensimetri,

fissati sulle due facce opposte della trave (come riportato in

immagine). Le resistenze R3 ed R4 sono costanti, per cui il

circuito diventa:

In questa configurazione riusciamo a raddoppiare la sensibilità compensando gli effetti termici

ottenendo: 2

∆ ∆

1 2 0

( − ) = = =

dunque,

2

1 2

1 2

= ℎ )

Con momento flettente, modulo di resistenza a flessione (=

ℎ/2 6

• Taratura con resistenza di Shunt ∆ ∆ ∆ ∆

0 1 2 3 4

= ( − + − )

Abbiamo visto in precedenza come la tensione in uscita sia pari a 4

1 2 3 4

0

solo nel caso in cui le quattro resistenze siano uguali. Se così non fosse, il termine diventa un K

4

generico che dobbiamo valutare. Sostanzialmente si tratta di valutare il legame tra ingresso e uscita

dello strumento, ossia farne la taratura statica.

Il segnale in uscita che ci aspettiamo con gli estensimetri è nell’ordine di qualche mV; quindi, molto

spesso aggiungiamo al ponte di Wheatstone un amplificatore che moltiplica per 10,100, 1000 volte

la tensione per avere un segnale che possiamo leggere più facilmente.

Occorre effettuare due misurazioni di tensione, strategicamente: una nella condizione di ponte

bilanciato (ovvero con tensione nulla in uscita), ottenuta per = e una nella condizione di

1 3 2 4

ponte sbilanciato, ottenuta operando una variazione nelle resistenze. In questo modo la prima

misurazione diventa superflua, in quanto appunto restituirebbe tensione nulla; è per cui sufficiente

effettuare un’unica misurazione nella condizione di sbilanciamento. Questa condizione si ottiene

mettendo in parallelo ad una resistenza detta resistenza di Shunt (

). Così facendo, la nuova

1

variazione di resistenza relativa ad 1// sarà pari a

L’ordine di grandezza di Rs, dato che con gli estensimetri abbiamo dei ΔR/R che sono nell’ordine di

−3

10

qualche parte per mille, deve essere tale che R1/(R1+Rs) sia nell’ordine , cioè il denominatore

3

10

deve essere rispetto a R1, quindi:

3

≅ 10

Rs R1, le resistenze di Shunt utilizzate sono circa 1000 volte quella dell’estensimetro.

Taratura con Shunt

8

7

6

5

Vs 4

3

2

1

0 0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012

DELTAR1/R1

Set up sperimentale

L’apparato sperimentale utilizzato durante l’esperienza di laboratorio è composto da:

• Una lamina in alluminio incastrata ad una morsa su un estremo e libera dall’altro soggetta a

flessione.

• Due estensimetri a griglia di resistenza R=120 Ohm montati su lati opposti della lamina con

configurazione a mezzo ponte e fissati con colla epossidica.

• Un multimetro Agilent 34401A per effettuare i test di valori delle resistenze.

• Una centralina HBM scout 55 con la quale effettuiamo la lettura della tensione.

• Un computer con apposito software per l’utilizzo della centralina

• Una resistenza di Shunt da 12 kOhm

• Un calibro cinquantesimale

• Carichi di massa nota

In particolare, all’estremo libero della lamina è stato fissato un gancio a cui era collegato un piatto da

bilancia ove appoggiare le masse.

La catena di misura è composta dal ponte di Wheatstone, nel nostro caso del mezzo ponte, e dalla

centralina di condizionamento, la quale svolge diversi compiti:

• Alimenta il ponte

• Misura lo sbilanciamento

• Amplifica

• Filtra

• Effettua la lettura dell’uscita.

Dati sperimentali

I dati ottenuti con il calibro cinquantesimale riguardo le dimensioni della lamina sono i seguenti:

4

I 150,59

b 30,00 mm

h 3,92 mm

x 150,00 mm 3

Wf 76,83

Con il multimetro abbiamo verificato il valore delle resistenze:

• R =119,850 Ohm

1

• R2=120,090 Ohm

Le resistenze sono risultate conformi ai valori indicati dalla scheda tecnica, ovvero R=120 Ohm.

In seguito, abbiamo azzerato la centralina e misurato la resistenza di Shunt e la sua tensione:

• Rs=12000 Ohm

• Vs=7,15V

Infine, abbiamo estratto i valori di tensione segnalati dalla centralina dopo l’applicazione delle forzanti,

riportando i seguenti dati: massa tensione

(g) (V)

0 0

50 0,042

100 0,085

200 0,17

500 0,425

550 0,465

Per quanto riguarda il modello teorico il procedimento prevedeva l’applicazione di De Saint Venant e

dunque la risoluzione di: =

= 70000

{

= 1

2

= ℎ

6

Dalla formula di De Saint Venant abbiamo ricavato i seguenti valori della deformazione a seguito

dell’applicazione dei carichi: ε teorico

−5

10 )

massa (g) (×

0 0

50 1,3680

100 2,7360

200 5,472

500 13,680

550 15,048

Elaborazione dei dati

Come prima cosa abbiamo calcolato

∆ ∕∕−

1 1 1

= = 0,00990099 //= = 118,60 ℎ

con

+

1 1 1

∆

1

In seguito tramite la relazione V = S abbiamo ricavato S = 723,665 V.

s

1 = 2,5

Avendo impostato la tensione di alimentazione è possibile calcolare il guadagno G come:

= ∙ da cui G=1157,86.

4

Una volta ricavata la sensibilità è stata rimossa la resistenza di Shunt e sono stati applicati i carichi alla trave.

Effettuando la lettura dell’uscita della centralina trovo la deformazione come:

∆1 ∆2

= ( − ) = 2 =

1 2 2

Si riportano i risultati del metodo sperimentale affiancati ai risultati ottenuti analiticamente con De Saint

Venant: tensione ε sperimentale ε teorico

−5 −5

(× 10 ) (× 10 )

massa (g) (Vletta)

0 0 0 0

50 0,042 1,4509 1,3680

100 0,085 2,7360

2,94

200 0,17 5,87 5,472

500 0,425 14,68 13,680

550 0,465 16,60 15,048

In seguito, è riportato un grafico per il confronto tra deformazione reale e teorica:

1

1

1

deformazione 1

10 reale

teorica

0 0 1 forza

Valutazione delle incertezze

Per quanto riguarda le incertezze relative alla deformazione teorica avremo:

• Avendo effettuato una sola misurazione, è opportuno usare una valutazione dell’incertezza di tipo B

sulle misure effettuate con calibro cinquantesimale (r=0,02), dunque

= = = = 0,0057735 .

ℎ

2√3

• Per la forza, non avendo alcuna informazione sui carichi applicati, si assume che siano ideali e dunque

viene considerata come una costante nel calcolo dell’incertezza della deformazione.

6

=

Queste incertezze intervengono nel calcolo di 2

ℎ

Avremo

Dunque, l’incertezza della deformazione teorica risulterà pari a:

carico −5 −5

(× 10 )(LC 68%) (× 10 )(LC 68%)

applicato Misura

0 0 0 ±

1,37 0,15

50 0,148287 ±

2,75 0,30

100 0,296574 ±

5,47 0,60

200 0,593148 ±

13,68 1,48

500 1,48287 ±

15,05 1,63

550 1,631157

Per quanto, invece, riguarda la deformazione sperimentale dovremo tener conto di:

• un’incertezza del multimetro: accuratezza = ± 0,01 * lettura + 0,001 *r