Relazione delle 10 esercitazione di Meccanica delle terre

9.1 CALCOLO DEI CEDIMENTI CON LA TEORIA

DELL’ELASTICITÀ

9.1.1 Travi rovesce

Si opera secondo il seguente schema di calcolo:

Questa che si usa è un’approssimazione per semplificare il calcolo. La trave nella realtà si

trova ad una profondità di 4 m dal piano di campagna e il piano di posa ha subito uno

scarico, avendo scavato di 4 metri e rinterrato di 1.70 metri, si è poi realizzata la fondazione

applicando una forza di 170 kN/m.

= = 9.5 ∙ 4 = 78

2 7

(4

+ = + 9.5 ∙ − 2.3) = 8.2

= 1

2

= − = 4 .2

2

3 da 2 metri, 2 da 3 metri e l’ultimo da 4

Si suddivide il deposito in 6 strati, metri. Si fissano

l’asse dal

due sistemi di riferimento, nel sistema di riferimento z ha origine dal piano di

l’asse avrà origine dal piano di campagna, l’asse

̅

posa, mentre nel sistema di riferimento

x ha origine sul piano di posa della fondazione.

Per le fondazioni a travi rovesce si fa riferimento ad una fondazione a striscia per le quali

si utilizza la soluzione di Poulos e Davis: 59

( + sin cos( + 2))

Δ =

( − sin cos( + 2))

Δ =

Δ =

Da cui si ricava la deformazione in direzione z

= − (Δ + Δ ))

(Δ

ℎ =

̅ −

̅

Si può quindi calcolare il cedimento medio di ogni strato

= ∙ ℎ

Cedimenti

Δσ Δσ Δσ ε

β α

̅

̅ z h w

i z x y z i i

f (mm)

(m) (m) (m) (rad) (rad) (kPa) (kPa) (kPa) (%) (m) (m)

4 6 1 -0.7854 1.5708 32.9 7.3 8.0 0.298 2 6.0

6 8 3 -0.32175 0.6435 15.9 0.6 3.3 0.151 2 3.0

8 10 5 -0.1974 0.3948 10.0 0.1 2.0 0.095 2 1.9

10 13 7.5 -0.13255 0.2651 6.7 0.0 1.4 0.065 3 1.9

13 16 10.5 -0.09495 0.1899 4.8 0.0 1.0 0.046 3 1.4

16 20 14 -0.07131 0.1426 3.6 0.0 0.7 0.035 4 1.4

15.616 mm

Stima abbassamenti

in fondazione

60

I cedimenti diminuiscono con la profondità. I valori riportati nella tabella si riferiscono al

tetto dello strato, infatti, vengono diagrammati riferiti alla profondità del tetto dello strato

stesso.

9.1.2 Platea continua

Si opera secondo il seguente schema di calcolo: 3

3 ⁄

⁄ )

(4 = 33.8

+ ∙ 8.2

= 3 − ∙ 9.5 di carico rettangolare

Per le fondazioni di questo tipo si fa riferimento ad un’area per la

quale si utilizza la soluzione analitica di Holl, questa fornisce gli incrementi di tensione

verticale che passa per uno degli spigoli dell’area di carico.

lungo una determinata l’area

Si divide la platea in quattro zone, svolgendo il problema per di carico I e

successivamente si utilizza il principio di sovrapposizione degli effetti.

Nel problema reale ci sarebbe da considerare anche la rigidezza della struttura della

fondazione che media gli spostamenti; quindi, questa soluzione risulta essere cautelativa

rispetto alla realtà.

Si possono quindi calcolare gli incrementi di tensione nella direzione z e le deformazioni,

tramite le seguenti formule fornite da Holl:

Δ = (arctan + +

( ))

2

2

2

3 3 2

1 61

Dove: √ 2 2

= +

1 l (m) 15

√ 2 2

= + b (m) 10

2 √ 2 2 2

= + +

3

Da cui si ricava la deformazione in direzione z

Δ

=

ℎ =

̅ −

̅

Si può quindi calcolare il cedimento medio di ogni strato

= ∙ ℎ

Cedimenti Δσ ε

Δσ

̅

̅ R R R

z h w

I

1 2 3

i z z z i i

f

(m) (m) (m) (m) (m) (m) (kPa) (kPa) (%) (m) (mm)

5 7 1 15.03 10.05 18.06 8.45 33.8 0.338 2 6.8

7 9 3 15.30 10.44 18.28 8.35 33.4 0.334 2 6.7

9 11 5 15.81 11.18 18.71 8.04 32.2 0.322 2 6.4

11 13 7 16.55 12.21 19.34 7.53 30.1 0.301 2 6.0

13 15 9 17.49 13.45 20.15 6.89 27.5 0.275 2 5.5

15 17 11 18.60 14.87 21.12 6.20 24.8 0.248 2 5.0

17 20 13.5 20.18 16.80 22.52 5.37 21.5 0.215 3 6.4

42.8 mm

Stima abbassamenti

in fondazione 62

9.2 CALCOLO DEI CEDIMENTI CON IL METODO

EDOMETRICO

9.2.1 Cedimento in asse alla fondazione a platea

Nel metodo edometrico, ovvero a deformazioni laterali impedite, il rapporto fra le velocità

di deformazione plastica è costante; quindi, si calcolano gli incrementi tensionali con la

teoria dell’elasticità e le deformazioni con il legame elasto-plastico.

̅

′ (̅ )

= ̅ + − ̅

−

− )

(̅

1 1 2 1

0, 2

= + ̅

′ ′

=

0 0

′ ′

= Δ +

0

′ ′

>

(incremento sufficiente a portare il terreno in una condizione di normal-

Se 0

consolidazione): ′

′

0

Δ =Δ +Δ =− log − log

′ ′

0 0

′ ′

≤

(incremento NON sufficiente a portare il terreno in una condizione di normal-

Se 0

consolidazione): ′

Δ =Δ =− log

′

0

Si trovano quindi le deformazioni e i cedimenti come:

Δ

= −

+ 0

= ℎ

, Metodo edometrico

Δσ σ σ σ σ ' > σ Δe Δe Δe ε

̅ z h ' OCR ' ' ' w

i z v0 p0 vf vf p0 s c z i

(%)

(m) (m) (m) (kPa) (kPa) (kPa) (kPa) (mm)

6 1 2 33.8 104.6 1.33 139.5 138.4 NO -0.0087 -0.0087 0.407 8.1

8 3 2 33.4 121.4 1.25 151.7 154.8 SI -0.0068 -0.0056 -0.0124 0.576 11.5

10 5 2 32.2 138.2 1.20 165.8 170.3 SI -0.0055 -0.0076 -0.0131 0.611 12.2

12 7 2 30.1 154.9 1.17 180.8 185.0 SI -0.0047 -0.0066 -0.0113 0.526 10.5

14 9 2 27.5 171.7 1.14 196.2 199.3 SI -0.0041 -0.0043 -0.0084 0.389 7.8

16 11 2 24.8 188.5 1.13 212.1 213.3 SI -0.0036 -0.0016 -0.0052 0.243 4.9

18.5 13.5 3 21.5 209.5 1.11 232.1 230.9 NO -0.0031 -0.0031 0.145 4.4

59.4 mm

Stima abbassamenti in

fondazione più affidabile

63

9.2.2 Cedimento del punto C prodotto dalla subsidenza

Si ha un nuovo stato dal quale partire, il processo di consolidazione iniziale si è esaurito e

la pressione interstiziale risulta stazionaria quindi si è in una condizione di lungo termine.

′ ′ ′

di consolidazione diventa la del fenomeno della subsidenza, come valore di

La 0

′ ′

e , dato che la tensione di plasticizzazione è il

si prende il valore massimo tra 0

massimo valore della tensione raggiunto, nella storia di carico del terreno.

′

= ′

0

Inoltre, l’indice dei vuoti di consolidazione diventa del fenomeno della subsidenza,

0

quindi:

= −Δ

0

Si calcolano quindi le seguenti quantità.

Δ

Δℎ =

64

Δh

′

Δ =

5

′ ′ ′

= + Δ

0

Δ =− log

′

Δ =− log

′

Δ =Δ +Δ

Si trovano quindi le deformazioni e i cedimenti come visto in precedenza.

Subsidenza

Δe

σ σ Δσ σ σ ' > σ Δe Δe Δe ε

edif. edif

z h w + w

' e

' OCR ' ' ' w i i

i p v0 0 z vf vf p s c z i

(m) (m) (kPa) (kPa) (kPa) (kPa) (%) (mm) (m)

1 2 139.5 138.4 1.008 -0.0087 1.1587 1.6 140.0 SI -0.00024 -0.0011 -0.0014 0.1 1.3 0.171

3 2 154.8 154.8 1.0 -0.0124 1.1624 4.9 159.7 SI 0.0 -0.0088 -0.0088 0.41 8.1 0.161

5 2 170.3 170.3 1.0 -0.0131 1.1631 8.2 178.5 SI 0.0 -0.0132 -0.0132 0.61 12.2 0.142

7 2 185.0 185.0 1.0 -0.0113 1.1613 11.4 196.5 SI 0.0 -0.0169 -0.0169 0.78 15.7 0.117

9 2 199.3 199.3 1.0 -0.0084 1.1584 14.7 214.0 SI 0.0 -0.0201 -0.0201 0.93 18.6 0.091

11 2 213.3 213.3 1.0 -0.0052 1.1552 18.0 231.3 SI 0.0 -0.0229 -0.0229 1.06 21.2 0.065

13.5 3 232.1 230.9 1.005 -0.0031 1.1531 22.1 253.0 SI -0.00015 -0.0243 -0.0245 1.14 34.1 0.038

111.3 mm

65

9.3 DECORSO DEI CEDIMENTI NEL TEMPO

Cedimenti nel tempo prodotti dalla costruzione dell’edificio

9.3.1

Si realizza una tabella di calcolo nella quale si riportano i valori del fattore tempo T e,

tramite il file Excel con la soluzione della consolidazione oppure tramite l’abaco fornito nel

̅

testo dell’esercitazione, si riportano

i rispettivi valori del grado di consolidazione medio .

Tramite questi valori si calcola poi t con la formula:

2

−7 2 ⁄

= 7 ∙

=

H è pari a metà della distanza tra i due contorni permeabili. Per comodità si porta il tempo

in giorni e in mesi. ̅

( )= = 59.4

Si calcolano poi i cedimenti tramite la formula: con

Cedimenti nel tempo

̅

T t t w(t)

(gg) (mesi) (mm)

0.005 0.08 4.7 0.15 4.75

0.02 0.16 18.6 0.61 9.50 c 0.0000007

v

0.1 0.357 93 3.06 21.21 H 7.5

0.2 0.504 186 6.11 29.94

0.4 0.698 372 12.2 41.46

0.8 0.887 744 24.5 52.69

1 0.931 930 30.6 55.30

2 0.994 1860 61.1 59.04

9.3.2 Andamento nel tempo delle pressioni interstiziali

richiesto di diagrammare l’andamento nel tempo delle pressioni interstiziali alle

È poi

profondità di 9.5 metri (punto A) e 18.5 metri (punto B) dal piano di campagna. Si rende

=

adimensionalizzata anche la profondità tramite la formula .

66

4.5 = .6

=

7.5

.5 = .2

=

7.5

Conoscendo le Z, dal file Excel con la soluzione del problema della consolidazione oppure

graficamente tramite il secondo diagramma nel testo dell’esercitazione, si ricava il