Relazione Esercitazioni Meccanica delle terre

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA

“LA SAPIENZA”

À

FACOLT DI INGEGNERIA CIVILE E INDUSTRIALE

Corso di Laurea in Ingegneria Civile

E SERCITAZIONI

Corso “Meccanica delle Terre”

Professore: P .

ROF LUIGI CALLISTO

Studente: VALERIA MAURO

Matricola: 1792689

A A 2021/2022

NNO CCADEMICO

Ogni casella di Excel, che rappresenta una posizione nello spazio, è quadrata, cioè la

scala orizzontale è analoga a quella verticale in modo che si conservino le

ortogonalità tra le linee isopieziche e i vettori velocità (cioè le linee di flusso). Ogni

casella però non rappresenta una porzione di uno spazio ma un nodo, ha cioè

dimensioni infinitesime.

I nodi rappresentati in rosa appartengono ad un contorno impermeabile. L’asse di

simmetria è anch’esso un contorno impermeabile per ragioni di simmetria: una linea

verticale di simmetria non può essere attraversata da un vettore velocità altrimenti

si violerebbe la simmetria; per questo motivo i vettori velocità sono paralleli all’asse

di simmetria. I nodi verdi sono, invece, i termini noti, cioè sono quelle posizioni

lungo le quali pensiamo di conoscere a priori i valori delle isopieziche.

Ci proponiamo quindi di calcolare all’interno di ciascuna casella il valore della quota

piezometrica nel sistema di riferimento delle quote geodetiche che ha origine nel

contorno inferiore del reticolo.

Lungo il contorno verde a valle le pressioni interstiziali devono essere nulle e quindi

le quote piezometriche sono uguali alle quote geodetiche. Lungo questo contorno la

quota geodetica vale: 15-7=8 m. A monte alle profondità di 1.5 m essendo la

pressione interstiziale nulla la quota geodetica coincide con la quota piezometrica e

vale: 15-1.5=13.5 m.

L’acqua attraversa due mezzi il cui contrasto di permeabilità è necessariamente di

molti ordini di grandezza. Quindi l’acqua attraversa due mezzi in serie dei quali il

primo pezzetto, fino alla profondità di 2.5 m, è molto più permeabile del terreno

argilloso. Quindi si fa un’approssimazione: si assume che le perdite di carico nel

primo pezzettino non ci sono perché si verificano solo nel secondo. Se non ci sono

perdite di carico nel pezzettino tra 1.5 m e 2.5 m di profondità la quota piezometrica

è costante e quindi è pari a quella alla profondità di 1.5 m, cioè 13.50 m.

Il contorno a destra è fittizio. Se il contorno fosse sufficientemente distante la

condizione al contorno che io metto non dovrebbe influenzare il problema, cioè

assuma che sono ormai ad una distanza dal mio problema talmente grande che il

regime delle pressioni interstiziali all’interno del mio deposito non risente più della

perturbazione prodotta dallo scavo, quindi recupero la condizione idrostatica

precedente che è caratterizzata da quota piezometrica costante con la profondità e

da flusso nullo e quindi suppongo che questo contorno sia a carico idraulico

costante, cioè 13.5 m.

Per risolvere il problema utilizzo il metodo delle differenze finite scrivendo in ogni

casella bianca la formula corrispondente del metodo a seconda della posizione del

nodo che sto considerando, facendo attenzione che nel contorno impermeabile

possiamo avere tre casi diversi. Per fare ciò devo utilizzare un calcolo iterativo che

mi calcola la formula per tentativi e calcola degli scarti rispetto ai termini noti e

quando gli scarti sono minimi l’iterazione si ferma. Quindi quando faccio partire il

calcolo iterativo devo inserire due valori: lo scarto consentito pari a 0.0000001 e il

numero massimo di iterazioni pari a 10000.

Il reticolo di filtrazione perde il carattere di metodo di calcolo e diventa uno

strumento interpretativo. Bisogna disegnare le isopieziche con una spaziatura di 25

cm e le linee di flusso ortogonali a esse.

Per calcolare le portate utilizzo il metodo delle differenze finite. Nel fondo scavo il

flusso è verticale perché c’è ortogonalità tra le isopieziche e le linee di flusso. Mi

calcola dapprima le portate elementari considerando porzioni elementari con

Δh=7.25-7 e Δs=0.25 e infine mi calcolo la portata totale come la somma delle

portate elementari.

Infine diagrammo, ad una distanza di 2 m dalla parete (a monte e a valle), le quote

piezometriche e le pressioni interstiziali. Quest’ultime, note le quote piezometriche

e nota la posizione nello spazio, si possono calcolare come segue:

u = (h-ζ)*γ

w

Mentre per il caso A e il caso C il contorno inferiore è impermeabile, nel caso B il

contorno inferiore è permeabile. In esso però, poiché le ghiaie sono a contatto con

un terreno meno permeabile, non ci sono perdite di carico idraulico, quindi la quota

piezometrica è costante e vale 13.5 m.

CASO A:

MONTE VALLE

ζ ζ

z h u z h u

1.50 13.50 13.50 0.00 7.00 8.00 8.00 0.00

1.75 13.25 13.50 2.45 7.25 7.75 8.06 3.06

2.00 13.00 13.50 4.91 7.50 7.50 8.12 6.11

2.25 12.75 13.50 7.36 7.75 7.25 8.18 9.17

2.50 12.50 13.50 9.81 8.00 7.00 8.25 12.23

2.75 12.25 13.47 11.95 8.25 6.75 8.31 15.30

3.00 12.00 13.44 14.10 8.50 6.50 8.37 18.37

3.25 11.75 13.41 16.24 8.75 6.25 8.44 21.44

3.50 11.50 13.37 18.38 9.00 6.00 8.50 24.52

3.75 11.25 13.34 20.52 9.25 5.75 8.56 27.60

4.00 11.00 13.31 22.66 9.50 5.50 8.63 30.70

4.25 10.75 13.28 24.79 9.75 5.25 8.69 33.79

4.50 10.50 13.24 26.92 10.00 5.00 8.76 36.90

4.75 10.25 13.21 29.05 10.25 4.75 8.83 40.01

5.00 10.00 13.18 31.18 10.50 4.50 8.90 43.12

5.25 9.75 13.14 33.30 10.75 4.25 8.96 46.24

5.50 9.50 13.11 35.42 11.00 4.00 9.03 49.36

5.75 9.25 13.08 37.53 11.25 3.75 9.10 52.47

6.00 9.00 13.04 39.64 11.50 3.50 9.16 55.56

6.25 8.75 13.00 41.74 11.75 3.25 9.23 58.64

6.50 8.50 12.97 43.83 12.00 3.00 9.29 61.69

6.75 8.25 12.93 45.92 12.25 2.75 9.35 64.70

7.00 8.00 12.89 48.00 12.50 2.50 9.40 67.66

7.25 7.75 12.85 50.07 12.75 2.25 9.44 70.58

7.50 7.50 12.81 52.14 13.00 2.00 9.49 73.45

7.75 7.25 12.77 54.19 13.25 1.75 9.52 76.26

8.00 7.00 12.73 56.24 13.50 1.50 9.55 79.02

8.25 6.75 12.69 58.27 13.75 1.25 9.58 81.73

8.50 6.50 12.65 60.29 14.00 1.00 9.60 84.39

8.75 6.25 12.60 62.30 14.25 0.75 9.62 87.00

9.00 6.00 12.55 64.30 14.50 0.50 9.63 89.56

9.25 5.75 12.51 66.28 14.75 0.25 9.64 92.08

9.50 5.50 12.46 68.25 15.00 0.00 9.64 94.56

9.75 5.25 12.41 70.21

10.00 5.00 12.36 72.16

10.25 4.75 12.30 74.09

10.50 4.50 12.25 76.01

10.75 4.25 12.19 77.92

11.00 4.00 12.14 79.82

11.25 3.75 12.08 81.72

11.50 3.50 12.03 83.63

11.75 3.25 11.97 85.56

12.00 3.00 11.92 87.50

12.25 2.75 11.87 89.48

12.50 2.50 11.83 91.49

12.75 2.25 11.79 93.54

13.00 2.00 11.75 95.64

13.25 1.75 11.72 97.78

13.50 1.50 11.69 99.97

13.75 1.25 11.67 102.20

14.00 1.00 11.65 104.48

14.25 0.75 11.64 106.79

14.50 0.50 11.63 109.15

14.75 0.25 11.62 111.55

15.00 0.00 11.62 113.98

CASO B:

MONTE VALLE

ζ ζ

z h u z h u

1.50 13.50 13.50 0.00 7.00 8.00 8.00 0.00

1.75 13.25 13.50 2.45 7.25 7.75 8.18 4.26

2.00 13.00 13.50 4.91 7.50 7.50 8.37 8.52

2.25 12.75 13.50 7.36 7.75 7.25 8.55 12.78

2.50 12.50 13.50 9.81 8.00 7.00 8.74 17.04

2.75 12.25 13.50 12.23 8.25 6.75 8.92 21.30

3.00 12.00 13.49 14.65 8.50 6.50 9.11 25.57

3.25 11.75 13.49 17.07 8.75 6.25 9.29 29.83

3.50 11.50 13.49 19.49 9.00 6.00 9.48 34.10

3.75 11.25 13.48 21.91 9.25 5.75 9.66 38.37

4.00 11.00 13.48 24.33 9.50 5.50 9.85 42.64

4.25 10.75 13.48 26.74 9.75 5.25 10.03 46.91

4.50 10.50 13.47 29.16 10.00 5.00 10.22 51.18

4.75 10.25 13.47 31.58 10.25 4.75 10.40 55.45

5.00 10.00 13.47 34.00 10.50 4.50 10.59 59.72

5.25 9.75 13.46 36.41 10.75 4.25 10.77 63.99

5.50 9.50 13.46 38.83 11.00 4.00 10.96 68.24

5.75 9.25 13.45 41.24 11.25 3.75 11.14 72.48

6.00 9.00 13.45 43.66 11.50 3.50 11.32 76.71

6.25 8.75 13.45 46.07 11.75 3.25 11.50 80.91

6.50 8.50 13.44 48.48 12.00 3.00 11.67 85.08

6.75 8.25 13.44 50.89 12.25 2.75 11.84 89.21

7.00 8.00 13.43 53.30 12.50 2.50 12.01 93.30

7.25 7.75 13.43 55.71 12.75 2.25 12.17 97.35

7.50 7.50 13.42 58.12 13.00 2.00 12.33 101.36

7.75 7.25 13.42 60.52 13.25 1.75 12.49 105.33

8.00 7.00 13.41 62.93 13.50 1.50 12.64 109.26

8.25 6.75 13.41 65.33 13.75 1.25 12.79 113.17

8.50 6.50 13.40 67.73 14.00 1.00 12.93 117.05

8.75 6.25 13.40 70.13 14.25 0.75 13.08 120.92

9.00 6.00 13.39 72.52 14.50 0.50 13.22 124.76

9.25 5.75 13.39 74.92 14.75 0.25 13.36 128.60

9.50 5.50 13.38 77.31 15.00 0.00 13.50 132.44

9.75 5.25 13.37 79.70

10.00 5.00 13.37 82.09

10.25 4.75 13.36 84.48

10.50 4.50 13.35 86.87

10.75 4.25 13.35 89.26

11.00 4.00 13.34 91.65

11.25 3.75 13.34 94.05

11.50 3.50 13.33 96.47

11.75 3.25 13.33 98.89

12.00 3.00 13.33 101.33

12.25 2.75 13.33 103.80

12.50 2.50 13.33 106.29

12.75 2.25 13.34 108.81

13.00 2.00 13.35 111.35

13.25 1.75 13.36 113.92

13.50 1.50 13.38 116.52

13.75 1.25 13.39 119.13

14.00 1.00 13.41 121.77

14.25 0.75 13.43 124.42

14.50 0.50 13.45 127.09

14.75 0.25 13.48 129.76

15.00 0.00 13.50 132.44

CASO C:

MONTE VALLE

ζ ζ

z h u z h u

1.50 13.50 13.50 0.00 7.00 8.00 8.00 0.00

1.75 13.25 13.50 2.45 7.25 7.75 8.10 3.39

2.00 13.00 13.50 4.91 7.50 7.50 8.19 6.79

2.25 12.75 13.50 7.36 7.75 7.25 8.29 10.18

2.50 12.50 13.50 9.81 8.00 7.00 8.38 13.57

2.75 12.25 13.47 12.00 8.25 6.75 8.48 16.97

3.00 12.00 13.45 14.18 8.50 6.50 8.58 20.36

3.25 11.75 13.42 16.37 8.75 6.25 8.67 23.75

3.50 11.50 13.39 18.55 9.00 6.00 8.77 27.14

3.75 11.25 13.36 20.74 9.25 5.75 8.86 30.53

4.00 11.00 13.34 22.92 9.50 5.50 8.96 33.92

4.25 10.75 13.31 25.10 9.75 5.25 9.05 37.31

4.50 10.50 13.28 27.28 10.00 5.00 9.15 40.69

4.75 10.25 13.25 29.45 10.25 4.75 9.24 44.07

5.00 10.00 13.22 31.62 10.50 4.50 9.34 47.44

5.25 9.75 13.19 33.79 10.75 4.25 9.43 50.80

5.50 9.50 13.17 35.96 11.00 4.00 9.52 54.14

5.75 9.25 13.14 38.12 11.25 3.75 9.61 57.47

6.00 9.00 13.11 40.27 11.50 3.50 9.69 60.77

6.25 8.75 13.07 42.42 11.75 3.25 9.78 64.03

6.50 8.50 13.04 44.57 12.00 3.00 9.85 67.25

6.75 8.25 13.01 46.71 12.25 2.75 9.93 70.42

7.00 8.00 12.98 48.84 12.50 2.50 10.00 73.53

7.25 7.75 12.95 50.97 12.75 2.25 10.06 76.57

7.50 7.50 12.91 53.08 13.00 2.00 10.11 79.56

7.75 7.25 12.88 55.19 13.25 1.75 10.16 82.47

8.00 7.00 12.84 57.30 13.50 1.50 10.20 85.33

8.25 6.75 12.80 59.39 13.75 1.25 10.23 88.11

8.50 6.50 12.77 61.47 14.00 1.00 10.26 90.83

8.75 6.25 12.73 63.54 14.25 0.75 10.28 93.50

9.00 6.00 12.69 65.60 14.50 0.50 10.30 96.10

9.25 5.75 12.65 67.65 14.75 0.25 10.30 98.64

9.50 5.50 12.60 69.69 15.00 0.00 10.31 101.12

9.75 5.25 12.56 71.72

10.00 5.00 12.52 73.73

10.25 4.75 12.47 75.74

10.50 4.50 12.42 77.73

10.75 4.25 12.38 79.72

11.00 4.00 12.33 81.70

11.25 3.75 12.28 83.68

11.50 3.50 12.23 85.67

11.75 3.25 12.19 87.67

12.00 3.00 12.14 89.69

12.25 2.75 12.10 91.73

12.50 2.50 12.06 93.81

12.75 2.25 12.03 95.92

13.00 2.00 12.00 98.07

13.25 1.75 11.97 100.26

13.50 1.50 11.95 102.49

13.75 1.25 11.93 104.76

14.00 1.00 11.91 107.06

14.25 0.75 11.90 109.40

14.50 0.50 11.89 111.77

14.75 0.25 11.89 114.18

15.00 0.00 11.89 116.62

Si tratta di fare delle verifiche nei confronti del sifonamento.

Rispetto all’esercitazione 1, dobbiamo fare delle ipotesi un po’ diverse sui tipi di

terreni coinvolti perché il sifonamento è un fenomeno che riguarda i terreni a grana

grossa, mentre la soluzione del problema di filtrazione è la stessa purché la

permeabilità del terreno sabbie-limose sia sufficientemente inferiore alla

permeabilità del terreno sabbie-grosse, mentre il terreno al contorno inferiore può

essere ad elevata permeabilità (ghiaie) o a bassa permeabilità (argille).

Quindi la soluzione del problema di filtrazione è sempre quella di perdite di carico

che si concentrano all’interno dello strato sabbie-limose, questo se le sabbie-grosse

sono sufficientemente più permeabili delle sabbie-limose. Questo è un caso nel

quale il moto di filtrazione è bidimensionale.

CASO A:

a) Possiamo calcolare il gradiente idraulico critico come:

−

=

Prendo i come valore di riferimento e calcolo il coefficiente di sicurezza nei

c

confronti del sifonamento FS come:

=

Essendo in un moto monodimensionale utilizziamo la raccomandazione di

Terzaghi che è quella di riferirsi ad un volume di terreno in uscita, ovvero un

rettangolo la cui base minore è pari alla metà della base maggiore.

Quest’ultima è la profondità di infissione della paratia, ovvero 5 m, quindi la

base minore è di 2.5 m. Ci dobbiamo, dunque, andare a calcolare il gradiente

idraulico medio equivalente in questo volume di terreno che è pari a:

ℎ

=

Capiamo già che la quota piezometrica lungo AB sta cambiando, cioè sta

diminuendo, mentre la quota piezometrica in CD è costante perché coincide

con quella che si riferisce ad una condizione di pressione interstiziale nulla,

quindi coincide con la quota geodetica del fondo scavo.

Utilizziamo un sistema di riferimento per la quota geodetica che è rivolto

verso l’alto e che ha l’origine alla base del deposito.

Isolo, su excel, il nostro volume significativo: dobbiamo andare dal bordo della

paratia lateralmente per 2.5 m, cioè da 1 3.5 m, e scendere fino al piede di

essa.

Nella nostra soluzione abbiamo già i valori della quota piezometrica: quella a

fondo scavo è 8 m perché coincide con la quota geodetica, quella lungo AB la

calcoliamo come la media delle quote piezometriche lungo AB.

Ottengo così il gradiente idraulico e il coefficiente di sicurezza che, essendo

elevato, soddisfa la verifica.

b) Immaginiamo che la parete entri all’interno del deposito inferiore. Se così

fosse succederebbe che le ghiaie hanno sempre la quota piezometrica che si

riferisce ad una condizione di pressione interstiziale nulla perché, poiché le

ghiaie sono molto più permeabili dei terreni sovrastanti, non ci possono

essere perdite di carico all’interno delle ghiaie. Dato che i punti alla base del

deposito appartengono tutti anche alle ghiaie allora su essi non ci sono

perdite di carico e di conseguenza le ghiaie conservano il valore della quota

piezometrica che si ha a grande distanza dallo scavo, dove l’effetto di esso

non si sente più.

Se faccio un diagramma delle quote piezometrica tra il contorno inferiore e il

fondo scavo ottengo un andamento lineare e quindi il gradiente idraulico,

nella versione semplificata, è costante, cioè pari a:

− ( − )

= ( − )

Posso, infine, calcolare il gradiente idraulico che sarà pari a 0.69.

Se non accettiamo l’analisi semplificata, facciamo la solita operazione.

Dobbiamo calcolare in questo caso anche la profondità di scavo per la quale si

ha il sifonamento.

Ci chiediamo cioè di quanto dobbiamo incrementare la profondità per avere

la condizione di sifonamento. Per fare ciò utilizzo la soluzione approssimata.

Si verifica il sifonamento quando il gradiente idraulico è uguale al gradiente

critico. Quindi: ℎ

= =

− ℎ

Ricavo Δh: ∗

ℎ = =

1 + 2

La profondità di scavo critica Hc, quella per la quale si verifica il sifonamento,

è pari a 8.25 m.

Quindi se lo scavo è di 7 m bisogna scavare ancora 1.25 m affinché si verifichi

il sifonamento.

c) Isolo anche questa volta un rettangolo.

Possiamo notare che in AB le quote piezometriche sono maggiori rispetto al

primo caso perché se lo scavo è più stretto le resistenze al moto sono

maggiori. In altri termini le isopieziche si infittiscono perché la zona è più

stretta, offre cioè una maggiore resistenza al moto. Quindi i gradienti idraulici

sono maggiori perché sono inversamente proporzionali alle distanze fra le

isolinee.

CASO B:

Si tratta di una verifica nei confronti del galleggiamento, quindin è un problema

idraulico che riguarda uno scavo in un terreno a grana fine.

Nelle sabbie e nelle argille non ci sarà una perdita di carico. Quindi se considero

l’elemento di terreno al di sotto dello scavo avrò una pressione interstiziale che

agisce uniformemente in tutte le direzioni e quindi anche nella direzione verticale

che sarà pari a: = ∗

La tensione verticale totale è quella che corrisponde al peso del terreno, cioè è pari

a: = ∗ (14 − 8)

Si ha una sottospinta idraulica che è maggiore del peso e quindi questa zona di

terreno galleggia, cioè il coefficiente di sicurezza è minore di 1:

=

Quindi la verifica non è soddisfatta per ciò che si verifica ad una profondità maggiore

del piede della parete.

Dobbiamo quindi valutare la riduzione della quota piezometrica nello stato di ghiaie

necessaria per ottenere un coefficiente di sicurezza pari a 2. Quindi devo avere:

= ≥2

E quindi:

≤ 2

Quindi la pressione deve essere minore di 57 kPa. Quindi devo avere una variazione

di Δu pari a: = 125 − 57 = 68

Per ridurre le pressioni interstiziali non posso ridurre la quota geodetica, che è

sempre la stessa, ma posso ridurre h. Quindi Δh è pari a:

ℎ = = 6.8

Quindi da h=12.5 m devo arrivare a h=5.7 m.

Questa esercitazione è un’applicazione del metodo dell’equilibrio limite.

No