Prove d'esame Complementi di matematica per le scienze chimiche 2023

Y)

+ =

, , , Scf(x

SSof(x SSBF(X dady v)dxdy

dxdy E - t

v)

auora V)

= - = - =

, , ,

Esame giugno 2023 condizione Differenziabilità

sufficiente di

di

sappiamo in

Teoria f (x0

al dalla ,

che una Yu)

, ,

di che f

piano e

quindi f(xo

esistenza grafico in sia

del al

tangente della funz ,

e yo)

,

C'in intorno IR2

classe (

f

di Dato di

(Xo e

. in compo

Tutto

un Quanto

su

vo) che

,

di funzioni grafico ogni

piano

sizione in

esiste della

tangente al

il

allora funz suo

,

Punto

. 5 f(

b)(4 1)(y

1)(x 1)

1) f( 1)

z

= + -

= -

,

,

, yezx Y e

2x y e

-

-

Ef 1) o

e (n

= =

-

=

-

= ,

ay Y

2x -

& 1)

f (1 2e

2ye =

= =

,

2x e

1)

f(1 e

=

=

, 1)

ze(x (y

1)

e +

z o

= - -

+ .

↓ 2ex

e ze

+ -

= e

2ex - classe c serivate miste

di

il f

di le

c) allora

è seconde

Schwartz

Per sono

Th se

,

cliche

IR2 funzioni classe

si

che composizione

uguali Dato di

è auora tutto

su

. ,

IR? Di

il Th

vole Schwartz

= ) ( (

42

d) H Pe

1)

+ ( =

, O

(2)

"-ye-)

le * (-2)e(1-

& =

2x

-

ricavati nei precedenti

valori punti

i

sostituendo

el :

Y) y y

y)e2x z)e2x

**

y(xye -

- -

2(1 (y

+ 0

+ =

- - y)

Y y)

yezx y -

(2e2x y za2x

(yq2x

-

- - - 0

ze +

+ =

- -

Quindi verifica

f differenziale

.

l'ea

Differenziale y) dy

ar(X e esiste

una forma

a) /dx una

(X esatta

Q se

cu +

,

= ,

. G

F

Potenziale F(X Y) Tale

Funz Q2

Che al

: = =

, 24

2x

determinare

Per e calcoliamo potenziale

esatta un

se :

,

1 1

Qz

a = = y)2

yz) (x

(x 1 1

+ +

- - of/ax a

Quindi costruire

proviamo f(x) =

da

a et Poniamo (X-y)

quindi

ci f(x

t y)

sinta arctan(t)

testo arctan(x

Il y) +

: = =

= -

,

, g(x)

+

seriviamo otteniamo

scegliamo rispetto

di

Se posto

al t ax

e

X-y :

t

Ecorcton(x -y)) = yz)

2x (X 1

+

- anctanf(x)

y

Analogamente Arcan(-)

per =

F(X

differenziale

si potenziale della

che un

concluse forma e arctan(x-y)

y) .

=

,

alternativa si verificare l'esatta

è chiusa

può allora

la

In se e .

c'è

differenziale chiusa

Si

Tipo /dx y)

b) del classe

forma (X Q2(X dy le

Q

una se

+

I , ,

incrociate

serivate :

sono uguali Ax

-

r

a Z

= 1)2

y)2

((x uguali

sono

+ +

- c"

differenziali

sifferenziale ir2 forme

definita

Dato per

che e

la su

c) forma ,

abbiamo equivalenza

ipotesi

Definite applicare il si

ir Quindi

le per una for=

in

su .

c"con

differenziale si

sominio e

assegnata

stesso quella se

ma solo

lo esatta se

e

chiusa

è . 01Y12x30

((XYEr

:

e

dominio D

Triangolo

al del

Il 02x1

: = , Y1ga(x)3

[(X

somino scrivere

y-semplice si Y)

un AxEb gi(x)

come

può D <

:

: = , ,

↓ quinei

① y-semplice

è hi(y)[xhc(y]

E(X

si

e

Ma anche scrivere

percule D Y)

X-semplice può YId

C =

: :

= . ,

↓ ((x X113

Y)tIr2 Y =

02422

:

. ,

f continua semplice

b) e

sominio integrabile

e e

(IT)

se allora Sin

anche

un

su .

I

continua integrabile

f

Triangolo è

quindi

semplice

è

il .

su d

e integrabile

(TX2)

Sin inx Quindi

c) e e

dispetto

facilmente

non costante

e

ma y

a .

, domini

si riduzione y-semplici

opportuno il Teorema

usare per :

Solssincx)dy)

Solo sinc dx

SSpf(x dxdy

v) = =

, ↓ So (sinc [y])dx

↓ So (x)

2xsin dx

Sostituiamo

= 2dequando

du czo i

c

o e

X =

x =

=

=

Sul du sincusdu Ecosuc

Soztsinc)dx = (0]

= +

=

1

"E ( 2/π

x + =

=

Esame luglio 2023 c"(cioè parziali continue)

serivate

di e

al seconde

funz ar

una con

classe

g =

parziali miste

serivate e

rispetto

monica delle

somma seconde ax

se e y

la Caplaciano Funzione

chiamata

zero Questa

uguale è della

somma

a :

.

( + ogni (XV e

g(x per

Y) 0

=

, ① "

cinquanto di

composizione Si

si di

è

↓ funz

classe c

classe Hai

81ecos(9X)

gesin Persin

ze sin Ef

27 (2)

(24) (94)

+ +

e =

=

2x 2x2

Ezeco(2)-geco()sin(24)-zeo

Quindi

sostituendo otteniamo armonica

f e

nella Zero

a e .

che .

uguale a

0)

b) f(0 0 1 1

= - = -

, gesin

2e2 sin (24)

= 0

(9x)

+ =

ax -ge"cos (yx)

zecos(2y)

Ef -9 7

2 -

=

=

=

2 0))

( 7(y 1 7y

1

z + = -

-

= - - 1) Hf(0

polinomio f(0

P(X -1)

a) Ff(0

Y) &(x 8)(x

0)(x y

c) Formula 1

sel y

1 1

+ +

: = - - -

= ,

, , ,

, , T

1

Y -

calcolati

Y-1)

(X-1

F10 Ff(0) già

sono

0) +

, ,

(

(90)

H + I

= I

81

- )(Y)

y(xy)(8

y)

P2(x 74 -

-1 +

= -

, ↓ y(4x

4) 8(x)

1(x(b(x

f(xy)(B 4y)

7y

- ty

1

+ +

+ + +

- -

= -

-

I Ex y

7y 4xy -

-1 +

- +

x"

y)

f(x

a) 1

y +

+

=

, y)dy

y)dX Gg(

differenziale Q2(

(x Joe (y)

al

b) aix Y)

+

Forma Al

e

: =

, =

, , by

Quindi le serivate parzidi

calcolo :

Sin(x y)

y)

(x

og y) xcos(X

+ +

+

=

,

-

Ox

& 4)

XCos(X

Y)

g(X +

=

,

a y))dy

(Sin(x (xcos(X

differenziale y)(dx

y) xcos(X

Forma

La + +

+ +

: + sifferenzialesa

abbiamo potenziale

nostro

Nel forma ,

un

trovato la

caso si

quindi e chinta

e

quest'ultima il

per anche

Th scriarte .

elatta e chiuse

esistono differenziali

L'affermazione e perche'

Falsa esatte

ma

C .

forme non

esempio e

+dy chiusa

un esata

: non

ma

,

vertici

e (-2 (2

a) -2) (2 -2) 2)

2)

A 72

quadrato

un con ,

, ,

, ,

, ,

Be Raggio

nell'origine

cerchio s i

puntato 1

un e E

cerchio 'bucato

A/B il

quadrato

il

e a al Centro

C con

= insiemi

minimo

l'insieme si

in

divide

Regolare ma semplice si

e non

C Per C 2

. un .

coordinati

C rispetto

Tagliare dei

semplici y))

(Basta (x

assi

uno 2

a o

SSACy SJAXYdady Sandy

1) dady

bec) +

+ = -

I 2)

(2))

reariA (2 (

(2 16

-

= . =

2 -

-

S2(b (x[y22] (2(x(4

=

n xydy)dx 2)dx

S 4()dx 0

-

= =

= =

= 16 16

0 + = Samdody

SSB(xy dxdy

1) Sexydxdy

+ +

= Tr

di

l'area B

Se = i

=

disponi integrale dominio

e rispetto simmetrico

funz il

un a un

suo

Xy x e su

SSB(Xy 1)

qu'origine dady

è

rispetto a zero 0

+ m #

uguale +

= =

: sisgiunti

insiemi Se regolari

d) Teoria sappiamo

sola sono se

T

se

che 2 e e

, SSsu Jsgdady

garde SS gdxdy

integrabile

e ②

allora

set

su

g +

: = +

+

, Diventa

indichiamo S SUT

B Per

nostro A

C

caso

Nel T ottenere e

e :

= =

=

Safddy JSc fdxdy 1) Fdxdy

+

=

SScfaxdy

10 π

+

=

/Scfdxdy i

16

= - impostare

quindi si l'integrare

permette dover

senza

su

questo c

calcolare un

integrale i

sominio risulta

usando

complesso

nuovo come c semplicemente

ma

un

su ,

degli integrali

Ti .

B

a

su e

Esame agosto 2023

verificare sia differenziale

soddisfa

funzioni parzia

l'eq

si

al delle

seve quale a

condizione iniziale

.

le che la πt

+

x

fr

verifica x)

(t

per e i

= =Hee

, :

serivate parziali

sera

Calcolo it

+ x +

x +

sostituiamo di O

nell'eq Trasporto Ie Te =

: - verificata

0 0

= X

verifichiano consizione f(0

iniziale x) e

la

ora : =

, 0

T

+

X - e soddisfatta

iniziale

fi(0 cono

x) la

e è

=

=

,

fi

Quindi risolve il Trasporto

del

problema

πt

X

verifica fa (t x) -

Per e

=

, It Tit

it X

X

π

X - -

x

- quindi fa

-

-He = .

va bene

o non

e

e Esite =

-

etiz e "

: -23

EltXEr esponenziale

(i) Poiché e'

X)

b) filt e

l'eq -2 funz sempre

la

e

= = .

, exth Quindi

Y

positiva mai

può

Qualsiasi insie

non ,

valore questo

essere uguale

per -2

a

, .

di livello e vuoto

me . Tt

X

03 -

(i) E ragioni

fact e

per stesse anche

X) 0 vuoto

=e questo

le

: = =

... .

, it

+

x

&--- fi(t

(iii) esponenziale

13 sia

Perche' il espo=

x) 1

funz suo

una

1 uguale a

=

: e

= =

, . , piano

di retta

zero 0 nel

Questa e

nente l'eg

essere -It

deve Xtit una

e X

= ,

= .