Prove d'esame di Complementi di matematica per le scienze chimiche svolte dell'anno accademico 2022

IB

che +

: ,

Pr -M,

(En-Moe)

uguale

e mae

a

e Mo

= /M

En ek

Se .

-Mo Mo z1-

+

=

= N

/N

Pu K) (Mo

rifiuto z-

(In regione

quindi si

,

B I

e

duora la

Mo +

:

= =

=

a)(5) =52 51 2598960

=

! mani si

b) numeri Esistono 4

ogni 48

13 carte numero

quel

per con

no numero

,

semi quinte

(sono 4 stesso

ma carta

numero 48) .

una

12 x4 e qualunque

=

divido il

probabilità numero

ottenere per

tutto il

la

per Totale :

,

48

13 024

0

10 00024 %

ed

. .

,

(3)

possiono verificando

b) insieme rill

si

risolvere

a valore

per <

quale

e =

potenziale differenziale

sciamo un

trovare per .

la forma

a potenziale

coefficiente sappiamo

da

Dol della

è

se

che forma

un

,

Differenziale si Ha

, : x

E z)@

f(x

2x z) ge(y

y xy

+ = +

y

= +

= , ,

, zg2(x

* *

* X

dy (f

Mentre 1) f(x

(x z)

z z yz

Xy y

z)

y

x +

+ y + +

+ +

: =

= , ,

,

24

può

si essere nella

doto che

che costante

una

deve

z)

gr(X

venere . ,

ci &

Q sia Dax

termini dipendono Da

che z

non che

sono .

y)

yf(x

vesiano E

de (tyzg(x

z)

: =

= , ,

*** (y y2) *

ottiene Si

+

3 si

confrontando vese allo:

& y +

y

: =

verificata

l'ea

d 1 per

ra cre .

= x

potenziale f(x y *

e z) yz

suo

un xy

y + z

+

=

=

,

,

condizione differenziale

necessaria affinché sia

forma

una

p una esponenziale

criusa

e sia furma

che Dato

anche e

che

esatta la

.

1 &

(tutti i c"

coefficienti prodotti

in

di quanto

3 e/o compo

e

C classe

sono =

,

sizioni (1) determinato

si

funzioni

di il

allora forma

valore la

a

X

,

differenziale chiusa

e anche . semicerchio

Si il

coronacircolare

Figura soni

e prende

al solo

la una . No

Tr

superiore Xcre' Ha raggio interno quello

y10 esterno 4

.

e

e 2 =

=

= =

IR"

quindi è continuo

polinomio continua

b) e e

f(x y) , Tutto

su es

un

, ,

limitato)

sull'insieme (insieme quindi

, integrabile

regolare

D f

y-semplice e sud

e p dxdy gdpdo

poldi psino x y2

proso

coordinate

c) Y

le X +

: = = = =

Quindi p

y)

f(x proso sino

&

+ +

=

, Sopp SSpe

Safevidady paso pasino)

Quindi dadp dodp

psind

pso + +

+ + =

=

Divisiono integrali

gli

a) :

93 scosodo So sinodo

p3

do o 2

. =

=

= [ 14 GON

+

Sp [ 10 12

+

+ -

2pdo +

=

+ = 4

4π

16

645 + - - MARCATI

Esame luglio 2022 + 21

ripartizione definita

cumulativa

TEORIA di e

funz

a) come

una :

: o

=

S

P(x[t)

Fx(t) fx(s)dS

=

= Sgods

set 0

Fx(t)

<1 [3]

= =

= S -

Ja 4ds

fx(s)ds

=1 t

Fx(t)

+ 35 -

se = 1

= = -

=

=

20

Quindi Fx(t)

: = *

S Si3t ja

Jx()dt + 2

[3 (2)

0

definizione . =

dt

b) ele

per -

=

: =

= =

= -(E[x])

definizione Elx]

Vorle]

per

c) : = * Je

Je

= [ -

*

E[XY t 3t

3t 3

3)

dt (

fx(t)dt 0

- -

=

= =

-

=

(2)2

vori 3-

3 3 5

=

= - - =

sommi variabili indipendenti

Bernouli si

al di stesso p

se con parametro

n ,

XinBin (n

Y

binomide variabile

attiene Quindi

p) p

aleatoria

la

un : = , .

i 1

=

distribuzione binomiale parametro p).

Ha (n

si , -

p(n

+

Densità' Binomiale

TEORIA k) (4)p

b) P(y

Fy(k) (1

della e'

La Formula

: =

: = -

=

Per k R

1

0

= ...,

,

, t

(n)pk(1-p- ke20 n)

Quindi Fy(k)

risposta e

la con 1

=

: ....

.

,

si si applicare supponiamo

limite

il

C) Ora centrale

Teorema

cerca del che

:

02

EnuN(M 02) np(1 p)

con P

M = = -

, Quindi in

N/z

pe

Truccata

non è

la ,

moneta la

se mune

test sula

un

Mo

e = .

l'ipotesi probabilità Testa sia

è

nulla si

la 1/2

Ta che

equa .

,

Quindi ciol sive

He il

Hr

pe/2 (se Bilaterale

Test e

1/2 +

Ho ,

a M

p

:

: e Mo

: : =

= direzione

rifica e in

Truccata

se qualunque particolare

d) Bilaterale

si in

Dal punto intense effettuare Test

un un

c , verificare

varianza si

perche' , perche'

sotto la

Test ho conosco se

vuole

z specificando sirezione

pe12 non .

una

Mo Kn)

si (

regione rifico UCK

I

si No

che

Ha

el 1) una

con

~

: : =

: ,

, K1

K2

con > .

kz))

determinare Voglio (EnE(K1

Pho

che B

sa

è

K . ,

)

1

Pr Mo(/En-u Eco =

Siccome ,

= F

k

se zr k zn

Mo Mo /

+

=

By

- =

= -

- -

/

Quindi (Mo

(- +

ottengo Bi

. zn-

I *, Mo-zn +

: B

= -

definizioni si combinazioni

(D) semplici

e' classico

problema

al per un

: (1) Quindi

ogni portita l'altra

posso

per fore

b) squadra una squa=

es .

automaticamente doppio

però , par

6

ara così

formata il

e ottengo delle

da · (la A

Possibili ogni contata

coppia

Tite e USB

perche' Squadra e

volte

2

sivido

quindi

Bus A)

squasra

uguaa per

alla 2

;

Il') divisione

partite giocatori

C in

uguali i

Due loro square

sono la

12 e

se

coincidono fino giocatori

Quind

scambio delle sel

ne

square tra

uno n

a .

selezionare differenti mi

musi punto

(M) A de punto

questo

12 collego b

.

e

uguali rivisi

partite

per squadre

tra

allo stesso

12 modo

a :

E()()

Esame settembre 2022 cui

Teoria insieme l'insieme sei

al punti

livello

si y)

è (X

un Per Funz

la

: ,

K

valore costante

certo

assume un

= k

=x y2

f(x y) +

= =

, ma

na quindi corrisponde

20 all'insieme

si

K ,

-1

· =1

=

Vuoto Ey quindi corrispondente

vera per

e

o X

si 0

es 0 y

h na

0 e

=

· =

=

=

ou' origine

na di Raggio

circonferenza

è

K che centrata

1 1

una

1 si

· =

= ,

nell'origine

Sira si

circonferenza nell'ori

raggio

K e centrata

che 4

4 una

4

· =

= ,

gine in più

insieme massimo

il in

b) Teoria il

contenuto

aperto

AEX

un a e

: , Sostanzialmente

dell'inclusione

di

sottoinsieme A

aperto

grande nel senso .

,

si i

tutti sotoinsiemi

l'unione apecti si

è A

esistenza sifferenziabilità

necessaria

piano e

per Tangente la sella

del

Funzione

.

Ey nell'origine

differenziabile il graziente

perché

è

non

f(X y) ta

=

, (direzione indefinita il

Discontinuità più

li Quindi

gradiente) operto

grande

del . differenziabile

grafico

Ir 03

150 è

è è

della cono che non

Funz

Il un

. ,

.

nell'origine +

x0)(y

Pf(x y) )(T-T

y)(x (x)(X

f(x X)

yo) +

f(x

y)

az +

= =

-

- -

,

, ,

vo

4

f(x y) f(0 4

4) +

=

· =

=

, , 4)

(0

· = 0

x =

=> , x k

a (x a)

0 Y

+ y

+

= -

. =

-

=

y 4) 1

(0 =

= =

, componenti

differenziale potenziale

una con U

forma come

al ma :

P & y(OS(Xy) 3

1

+

= =

Ox Qdy (xcos(xy) 2y)dY

1)dx

Pdx (yCos(Xy)

w +

+ +

+ =

=

P = 2

XcOS(XY) +

=

Funzione potenziale

Ogni UCX quindi

,

e

b) Y)

Della Keir vanno

Forma con

k un

+

.

Sin(xy) y2

y2

Bene Sin (xy) 12

1 ,

x +

+

+

: x

+ ;

+ +

differenziale Chiusa G

datady

tipo Dato

e e

una forma ce

c se

del =

Co quindi

si differenziale definizione) el

e

la

è

U forma

classe (per

esatta es

, co di

1. Poiche ci serivate

garantisce

si schwartz

Th

il

anche che

è le

=

I

ordine quindi

si evidenzia

o Questo che Furna

commutano

, la

2 -

2xay x

chiusa

è anche du

e potenziale

esiste

forma

d) UTale che

Funz

una esatta una

se .

c

=

L'affernazione infatti

Dominio

precisare il

perche e

occorre

corretta

,

è vera

non ;

? R190 03

connessi

insiemi IR

semplicemente e

solo come Falsa

ma su

su ,

,

un'y-semplice, ogni

e fisso

-semplice si intervallo

d

a) non per ta

, un

ma

El g(x)}

1]

y)EIR2

&(X ex

in 1 x =

2 - y con

y : -

=

. ,

,

(x 2 sex20

g(x) +

= 2 sexx0

x

- funzioni insiemi

sappiamo

Teoria semplici

continue

b) inte=

che

solla sono

su

grabili continua y-semplice

sull'insieme e integrabile

f

è

Dato f D

che

. ,

SUD . riduzio