MRT - Domande teoriche e risposte di Analisi matematica II

(X) N

se X ha N elementi, P ha 2 elementi {sottoinsiemi, X, ∅}

(X)

Insieme vuoto, ∅: senza elementi; è unico

c {

: ( ∈ ) ∧ ( ∉ ) }

Insieme complementare, A oppure C A:

x

{

(, ) : ∈ , ∈ ) }

Prodotto cartesiano, XxY:

(, ) = (', ') ⇔ ( = ') ∧ ( = ')

Si può estendere ad N insiemi non vuoti: X , X … X → ennuple ordinate (x , x … x )

1 2 N 1 2 n

Operazioni sugli insiemi (quelle meno intuitive):

Dissociativa: e

∪ ( ∩ ) = ( ∪ ) ∩ ( ∪ ) ∩ ( ∪ ) = ( ∩ ) ∪ ( ∩ )

( ∪ ) = ∩ ( ∩ ) = ∪

Leggi di Re Morgan: e

Campo: insieme che presenta un certo set di proprietà (proprietà delle operazioni, ordinamento, elemento

inverso, elemento opposto…)

Insieme/campo ordinato: in cui è presente un ordinamento

Insieme/campo strutturato: presenta elementi, operazioni, ordinamento

Ordinamento:

- totale: ∄ sottoinsiemi A, B (del campo/insieme) non confrontabili

- parziale: ∃ sottoinsiemi A, B (del campo/insieme) non confrontabili

Assiomi di Peano:

1) ∃ un numero naturale 0

2) ogni numero naturale ha un suo successore

3) numeri naturali diversi hanno successori diversi

4) 0 non è il successore di nessun numero

5) l’insieme che contiene 0 e il successore di ogni suo elemento coincide con l’insieme dei numeri naturali

Insiemi numerici:

- Insieme : (

, +, ·,

) , ha proprietà commutativa, associativa, distributiva, riflessiva,

antisimmetrica, transitiva 2

{ }

- : = [. ] | (, ) ∈

Insieme , ha proprietà di N e l’elemento opposto

{ }

: = (, ) ∈ ( − {0}) : = / , ∈

- Campo , ha proprietà di Z e l’elemento inverso

2

{ }

: = [. ] | (, ) ∈ ; (

, +, ·,

)

- Campo e ha proprietà commutativa, associativa,

distributiva, riflessiva, antisimmetrica, transitiva

R-Q

- Insieme dei numeri Irrazionali:

2

{ }

- Campo e ha proprietà commutativa, associativa, distributiva

: = [. ] | (, ) ∈ ; (

, +, ·

)

∀, ∈ : < , ∃ ∈ : < <

Densità di Q in R:

NUMERI COMPLESSI conj(z)=a-ib, z=a+ib)

Proprietà del coniugato (indico con dove di numeri complessi:

+ () = 2 ()

1.

2. − () = 2 () ☆

w, z ∈ C

( + ) = () + ()

3. dove ☆

4. ( · ) = () · () ☆☆☆

5. (1 ÷ ) = 1 ÷ ()

|| = |()|

6.

Proprietà del modulo di z complesso:

A. || ≥ 0

|| = 0 ⇒ = 0

B.

C. , inoltre

|()| ≤ || |()| ≤ ||

| + | ≤ || + || ||| − ||| ≤ | − |

D. , inoltre

Coordinate polari: utilizzano modulo e angolo

tutti i punti hanno corrispondenza biunivoca

Interpretazione geometrica prodotto complessi

θ

· = = ρ

con e ho 3 casi:

- : z si dilata di “valore” e ruota di

ρ > 1 ρ θ

ρ = 1 θ

- : z ruota di

- : z si contrae di “valore” e ruota di

0 < ρ <− 1 ρ θ

Radici n-esime di un numero complesso: sono i vertici di un poligono regolare di:

- centro O 1/n

- raggio |z|

n θ

- lati: li trovo ruotando z di un angolo (della radice)

0

Teorema fondamentale dell'algebra

Un’equazione algebrica di grado n ha sempre esattamente n radici nel campo complesso, contate con le

n

rispettive molteplicità (es. z =0 → 0 è radice di molteplicità n)

SUCCESSIONI e FUNZIONI

Funzione: regola che permette di associare ad ogni elemento x di X, UNO E UN SOLO y di Y (X, Y insiemi

qualsiasi, non vuoti)

- Dominio = dom(f) = X

- Codominio = codom(f) = Y

→ → Modi per indicare funzioni: f : X→Y oppure f : x ↦ y oppure y=f(x)

→ → x è la variabile indipendente, y è la variabile dipendente

Dominio: sottoinsieme di A (insieme della successione) dove f(x) è definita

Codominio: insieme di tutti e i soli valori di Y associati ad X tramite f(x)

→ → una funzione è definita da: legge, insieme di partenza, insieme d’arrivo (se cambia uno di questi, cambia f!)

Successione di numeri reali: qualsiasi funzione f tale che : ⊆ →

Funzioni (successioni):

- superiormente limitate: ∃ ∈ : ≤ ∀ ∈ ()

allora M è il maggiorante

- inferiormente limitate: ∃ ∈ : ≥ ∀ ∈ ()

allora m è il minorante

- limitate: se superiormente e inferiormente limitate

Maggioranti e minoranti:

- Sup(f): minore dei maggioranti; se esiste si dirà estremo superiore x

0

- Inf(f): maggiore dei minoranti; se esiste si dirà estremo inferiore

- M = max(f) = sup(f) è , ∃ : ∈ ()

- è , ∃ : ∈ ()

m = min(f) = inf(f)

→ → Regole per determinare maggioranti e minoranti:

- M: devono verificarsi le due condizioni:

1. ∃ : () ≤ , ∀ ∈ ()

∀ε > 0, ∃: () > − ε

2.

- m: devono verificarsi le due condizioni:

1. ∃ : () ≥ , ∀ ∈ ()

2. ∀ε > 0, ∃: () < + ε

per entrambe le condizioni ② si deve trovare una funzione ; prendendo un qualsiasi , deve

ε = () ε

valere la cosa

Limite, definizione:

- successionale: ∀ε > 0, ∃n (ε) t.c. ∀n>n , l - ε < a < l + ε

0 0 n

e scriveremo a

lim = , ∈

n

→∞

- topologica: sia f definita in un intorno W di X - {x }

0 0

l è il limite di f per x → x se definitivamente:

0

∀ intorno V di l, ∃ intorno U di x t.c.

0

∀x ∈ I ∩ W, x ≠ x f(x) ∈ V

0

esempi:

1) l, x ∈ R: ∀ε > 0, ∃δ(ε) t.c.

0 |x - x | < δ, ∀x ∈ W - {x }, |f(x) - l| < ε

0 0

2) l = , x = : ∀M > 0, ∃k(M) t.c.

∞ ∞

0 x < k, ∀x ∈ (- , M), f(x) > M

∞

e scriveremo lim () = , ∈

→0

Classe del limite: insieme dei valori limite per una funzione/successione (es. {sup f, inf f})

Proprietà posseduta definitivamente: quando la f presente la proprietà per ogni x >(<) n

Parte intera di x, [x]: il più grande n x, n ∈ R, ∀x ∈ R

≤

Teorema: se ∃ l = limite di f(x), la funzione è limitata

ma NON viceversa: una f(x) limitata non è detto che abbia limite (es. f(x) = sin(x) )

Funzioni (successioni):

- convergenti: lim () = , ∈

→∞

- divergenti: lim () = ± ∞

→∞

Successione:

- infinita: per → ∞, → ∞

- infinitesima: per → ∞, →

Limite:

- per eccesso: (da destra) → l f(x) < l + ε

lim () ≤

+

→0

- per difetto: (da sinistra) → l - ε > f(x) l

lim () ≥

−

→0

lim ()

- completo: (né da destra né da sinistra)

→0

Funzioni (successioni) monotone:

( + ℎ) ≥ (), ∀ ∈ (), ℎ > 0

- Crescenti: ( + ℎ) ≤ (), ∀ ∈ (), ℎ > 0

- Decrescenti: ( + ℎ) > (), ∀ ∈ (), ℎ > 0

- Strettamente crescenti: ( + ℎ) < (), ∀ ∈ (), ℎ > 0

- Strettamente decrescenti:

Limiti: se f crescente, su (x ,b)

lim () = () 0

+

→

0 su (a, x )

lim () = () 0

−

→

0

se f decrescente, su (x ,b)

lim () = () 0

+

→

0

lim () = () su (a, x )

0

−

→

0

Insieme R*: R* = R + { } + { }

∞ ∞

si possono fare varie operazioni

Forme di indeterminazione: ∞ 0 0

0/0

∞− ∞ 0· ∞ ∞/∞ 1 0 ∞

ma è definito in R*:

0 ∞ ∞

- se è : + (se a > 0), – (se a < 0)

+

0

- se è : – (se a > 0), + (se a < 0)

∞ ∞

−

0

log

= log =

Logaritmo:

Intervalli come sottoinsiemi di R:

[a,b]

- chiusi: → comprende gli estremi

(a,b)

- aperti: → non comprende gli estremi

- semiretta sinistra: oppure

(− ∞, ) (− ∞, ]

- semiretta destra: oppure

(, + ∞) [, + ∞)

- semiretta chiusa: oppure

[, + ∞) (− ∞, ]

- semiretta aperta: oppure

(, + ∞) (− ∞, )

Numeri Reali: ogni numero reale è il limite di una successione di razionali !

Limite:

- finito: l ∈ R ∞

- infinito: l = ±

- al finito: x ∈ R

0 ∞

- all’infinito: x = ±

0

∃ ∃

Esistenza limite: se: limite destro, limite sinistro, e limite des