Domande teoriche Analisi I

DOMANDE ESAME ANALIS1

1. Enunciare e dimostrare la convergenza dello sviluppo in serie della funzione f(x) = e^x.

2. Enunciare e dimostrare il teorema sulla derivabilità della funzione integrale.

3. Fornire la definizione di funzione continua in un punto x0 ∈ R. Illustrare i vari tipi di discontinuità sia tramite una formulazione analitica sia esibendo un esempio.

4. Enunciare e dimostrare il teorema degli zeri.

5. Fornire le definizioni di infinito di ordine superiore, inferiore e di infiniti asintotici per successioni. Per ogni definizione fornire anche un esempio.

6. Enunciare e dimostrare la relazione esistente tra la convessità di una funzione in un intervallo e la sua derivata prima.

7. Fornire la definizione di derivata di una funzione in un punto. Una funzione derivabile in x0 è anche continua in x0? Una funzione continua in x0 è anche derivabile in x0? Argomentare opportunamente le proprie affermazioni (tramite una dimostrazione oppure un controesempio).

8.

Enunciare il teorema degli zeri, il teorema di Weierstrass e il teorema dei valori intermedi. Discutere opportunamente l'essenzialità delle ipotesi fornendo esempi e controesempi.

Fornire la definizione di somma parziale e di serie numerica, di serie convergente, divergente e irregolare e di somma di una serie. Illustrare poi il carattere della serie geometrica q^k al variare della ragione q ∈ R (senza dimostrazioni).

Introdurre le forme di indecisione per i limiti di successione. Per ogni tipo di forma di indecisione fornire opportuni esempi che illustrino perché si tratta di forme di indecisione.

Enunciare e dimostrare il teorema di Fermat.

Enunciare e dimostrare il criterio di convergenza assoluta per le serie.

Fornire la definizione di asintoto orizzontale, verticale ed obliquo per una funzione. Fornire poi una caratterizzazione dell'asintoto obliquo. Mostrare infine che la condizione di "andamento lineare" all'infinito.

Non è sufficiente per dedurre l'esistenza di un asintoto obliquo.

Enunciare e dimostrare il teorema della media integrale.

Fornire la definizione di limite di funzione lim(x→x0) f(x) = l oppure +∞ oppure −∞. Fornire poi la definizione di funzione continua in un punto.

Enunciare il teorema di derivazione della funzione composta.

Enunciare i teoremi di Lagrange e di Rolle. Dimostrare uno dei due, deducendo l'altro come corollario.

Fornire la definizione di derivata di f in un punto x0 e il suo significato geometrico. Illustrare poi i vari tipi di punti di non derivabilità, corredando ciascuno con un semplice esempio.

a) Fornire la definizione di maggiorante, di massimo e di estremo superiore.

b) Fornire poi un esempio (giustificandolo opportunamente) di insieme superiormente limitato che non ammetta massimo ma ammetta estremo superiore finito.

c) Fornire infine un esempio (giustificandolo opportunamente) di successione {an}n∈N convergente.

Tale che lim an non coincida né con l'estremo superiore né con l'estremo inferiore dell'insieme A = {an, n ∈ N}.

a) Fornire la definizione di punto estremante e di punto stazionario per una funzione.

Si dice un punto stazionario per la funzione f(x) un punto x0 in cui la derivata della funzione è nulla.

b) Enunciare e dimostrare il teorema di Fermat.

c) Per una funzione f qualunque, è vero che ogni punto estremante è stazionario? Giustificare opportunamente la propria affermazione.

Enunciare e dimostrare il teorema del confronto per successioni convergenti.

Enunciare e dimostrare uno dei teoremi di permanenza del segno per successioni.

Enunciare e dimostrare il teorema di unicità del limite di successioni.

Enunciare e dimostrare il teorema di esistenza del limite per successioni monotone limitate.

Fornire la definizione di massimo e minimo assoluto e relativo e di punto di massimo e minimo assoluto e relativo per una funzione di variabile reale.

Enunciare il teorema di Fermat e discutere l'essenzialità delle sue ipotesi. Dimostrare infine il teorema di Fermat.

Fornire la definizione di limite finito e di limite +∞ per una successione. Discutere le implicazioni fra i concetti di successione convergente e di successione limitata (dimostrando la propria affermazione per una implicazione vera oppure fornendo un opportuno controesempio per una implicazione falsa).

Fornire la definizione di somma parziale, di serie numerica e di serie convergente, divergente e irregolare. Enunciare e dimostrare il criterio del confronto per serie a termini di segno (definitivamente) costante.

Fornire la definizione di maggiorante e minorante per un insieme di numeri reali, di insieme superiormente e inferiormente limitato, di massimo, minimo, estremo superiore ed inferiore per un insieme di numeri reali. Enunciare poi l'assioma di continuità di R (oppure la proprietà dell'estremo superiore) e mostrare.

Con un opportuno esempio si può dimostrare che tale proprietà non vale in Q.

Fornire la definizione di integrale generalizzato su un intervallo illimitato. Studiare in dettaglio l'integrale dx/x^a al variare di α ∈ R.

Definire il numero di Nepero e come limite di una opportuna successione. Enunciare poi i limiti notevoli per successioni che derivano dal limite precedente e dimostrarne almeno uno.

Enunciare e dimostrare il teorema della media integrale. Enunciare poi il teorema sulla derivata della funzione integrale e il teorema fondamentale del calcolo. Enunciare il teorema di Lagrange. Enunciare e dimostrare il test di monotonia.

Qual è la proprietà fondamentale della successione delle somme parziali di una serie a termini positivi? Dimostrare che la convergenza è equivalente alla limitatezza per tale serie.

Enunciare e dimostrare il teorema di esistenza del limite per successioni monotone.

Enunciare il teorema con le regole di calcolo delle derivate di somma, prodotto e quoziente.

Dimostrare la regola di calcolo del prodotto.

a) Enunciare i criteri di convergenza per serie a termini positivi.

b) Illustrare, senzadimostrazioni, il comportamento della serie armonica e delle serie armoniche generalizzate al variare dell’esponente α ∈ R.

c) Dimostrare il comportamento della serie armonica e della serie armonica generalizzata di esponente 2.

a) Enunciare il teorema di Fermat.

b) Enunciare il teorema di Lagrange.

c) Discutere l’essenzialit`a delle ipotesi di uno a scelta dei due teoremi precedent-

a) Fornire la definizione di minorante, di minimo e di estremo inferiore di un insieme di numeri reali.

b) Enunciare l’assioma di completezza (o la propriet`a dell’estremo superiore) in R.

c) Individuare almeno un risultato di analisi matematica che si basi in modo imprescindibile sulla proprietà dell’estremo superiore di R.

a) Enunciare e dimostrare il teorema della media integrale.

b) Enunciare il teorema fondamentale del calcolo-a)

a) Fornire la definizione di funzione convessa e concava su un intervallo (a, b) con a <b, a, b ∈ R.

b) Enunciare e dimostrare il teorema che lega la convessità alla monotoniadella derivata prima.

a) Enunciare con precisione i teoremi sulla formula di Taylor con resto in forma di Peano e in forma di Lagrange.

b) Quale legame esiste fra il teorema sulla formula di Taylor con resto in forma di Lagrange e il teorema di Lagrange?

a) Enunciare il teorema degli zeri, il teorema di Weierstrass e il teorema dei valori intermedi.

b) Dimostrare il teorema dei valori intermedi.

a) Enunciare il teorema sulla condizione necessaria per la convergenza di una serie.

b) La condizione `e anche sufficiente? Argomentare esaurientemente la propriarisposta.

c) Dimostrare il teorema sulla condizione necessaria.

Enunciare e dimostrare il teorema del confronto per successioni convergenti. Esibirepoi un esempio di applicazione.

Enunciare e dimostrare il teorema sull’esistenza del limite di una

Una successione è monotona crescente superiormente limitata se i suoi termini sono disposti in ordine crescente e se esiste un limite superiore per la successione.

Una successione si dice convergente con limite finito se esiste un numero reale L tale che, per ogni valore di ε > 0, esiste un intero N tale che per ogni n > N si abbia |an - L| < ε.

Il teorema di unicità del limite per successioni afferma che se una successione converge, allora il suo limite è unico.

I teoremi sulla derivata della funzione integrale affermano che se una funzione è continua su un intervallo [a, b] e se F(x) è una primitiva di f(x) su [a, b], allora l'integrale definito di f(x) da a a x è derivabile e la sua derivata è uguale a f(x).

Il teorema fondamentale del calcolo afferma che se una funzione f(x) è continua su un intervallo [a, b] e se F(x) è una primitiva di f(x) su [a, b], allora l'integrale definito di f(x) da a a b è uguale a F(b) - F(a).

Il teorema sulla derivata di somma, prodotto e quoziente di funzioni derivabili afferma che se f(x) e g(x) sono funzioni derivabili su un intervallo I, allora la somma, il prodotto e il quoziente di f(x) e g(x) sono anch'essi derivabili su I.

La formula di derivazione del prodotto afferma che se f(x) e g(x) sono funzioni derivabili su un intervallo I, allora la derivata del prodotto f(x)g(x) è uguale a f'(x)g(x) + f(x)g'(x).

I teoremi degli zeri, di Weierstrass e dei valori intermedi affermano rispettivamente che se una funzione continua ha un valore zero in un intervallo, allora esiste almeno un punto in cui la funzione si annulla; se una funzione continua su un intervallo chiuso è limitata, allora assume un massimo e un minimo assoluti su tale intervallo; e se una funzione continua su un intervallo assume due valori distinti, allora assume tutti i valori intermedi tra di essi.

Una funzione si dice continua in un punto se il limite della funzione per x che tende al punto è uguale al valore della funzione nel punto stesso.

Una funzione si dice continua in un intervallo se è continua in ogni punto dell'intervallo.

Un esempio di discontinuità è la funzione f(x) = 1/x, che è discontinua in x = 0.