Domande teoriche Analisi I

Domande esame Analisi 1

Convergenza dello sviluppo in serie della funzione f(x) = e^x

Enunciare e dimostrare la convergenza dello sviluppo in serie della funzione f(x) = e^x.

Teorema sulla derivabilità della funzione integrale

Enunciare e dimostrare il teorema sulla derivabilità della funzione integrale.

Funzione continua in un punto

Fornire la definizione di funzione continua in un punto x₀ ∈ R. Illustrare i vari tipi di discontinuità sia tramite una formulazione analitica sia esibendo un esempio.

Teorema degli zeri

Enunciare e dimostrare il teorema degli zeri.

Definizioni di infinito e infiniti asintotici

Fornire le definizioni di infinito di ordine superiore, inferiore e di infiniti asintotici per successioni. Per ogni definizione fornire anche un esempio.

Convessità di una funzione

Enunciare e dimostrare la relazione esistente tra la convessità di una funzione in un intervallo e la sua derivata prima.

Derivata di una funzione in un punto

Fornire la definizione di derivata di una funzione in un punto. Una funzione derivabile in x₀ è anche continua in x₀? Una funzione continua in x₀ è anche derivabile in x₀? Argomentare opportunamente le proprie affermazioni (tramite una dimostrazione oppure un controesempio).

Teoremi degli zeri, di Weierstrass e dei valori intermedi

Enunciare il teorema degli zeri, il teorema di Weierstrass e il teorema dei valori intermedi. Discutere opportunamente l'essenzialità delle ipotesi fornendo esempi e controesempi.

Somma parziale e serie numerica

Fornire la definizione di somma parziale e di serie numerica, di serie convergente, divergente e irregolare e di somma di una serie. Illustrare poi il carattere della serie geometrica q^k al variare della ragione q ∈ R (senza dimostrazioni).

Forme di indecisione per i limiti di successione

Introdurre le forme di indecisione per i limiti di successione. Per ogni tipo di forma di indecisione fornire opportuni esempi che illustrino perché si tratta di forme di indecisione.

Teorema di Fermat

Enunciare e dimostrare il teorema di Fermat.

Criterio di convergenza assoluta per le serie

Enunciare e dimostrare il criterio di convergenza assoluta per le serie.

Asintoti per una funzione

Fornire la definizione di asintoto orizzontale, verticale ed obliquo per una funzione. Fornire poi una caratterizzazione dell'asintoto obliquo. Mostrare infine che la condizione di "andamento lineare" all'infinito non è sufficiente per dedurre l'esistenza di un asintoto obliquo.

Teorema della media integrale

Enunciare e dimostrare il teorema della media integrale.

Limite di funzione

Fornire la definizione di limite di funzione lim(x→x₀) f(x) = l oppure +∞ oppure −∞. Fornire poi la definizione di funzione continua in un punto.

Teorema di derivazione della funzione composta

Enunciare il teorema di derivazione della funzione composta.

Teoremi di Lagrange e di Rolle

Enunciare i teoremi di Lagrange e di Rolle. Dimostrare uno dei due, deducendo l'altro come corollario.

Derivata e punti di non derivabilità

Fornire la definizione di derivata di f in un punto x₀ e il suo significato geometrico. Illustrare poi i vari tipi di punti di non derivabilità, corredando ciascuno con un semplice esempio.

Maggiorante, massimo ed estremo superiore

• Fornire la definizione di maggiorante, di massimo e di estremo superiore.
• Fornire poi un esempio (giustificandolo opportunamente) di insieme superiormente limitato che non ammetta massimo ma ammetta estremo superiore finito.
• Fornire infine un esempio (giustificandolo opportunamente) di successione {a_n}_n∈N convergente e tale che lim a_n non coincida né con l'estremo superiore né con l'estremo inferiore dell'insieme.