Metodologia di risoluzione di esercizi di Analisi matematica II

Equazioni differenziali lineari

Un'equazione del tipo g(x, y(x), y'(x))=0, dove y=y(x) e' una funzione incognita, y' il suo derivato e g una assegnata funzione reale in tre variabili reali, prende il nome di equazione differenziale del primo ordine. Si scriverà e' una funzione y=y(x) che soddisfa tale relazione:

g(x, y(x), y'(x))=0

∀ x ∈ I

Un'equazione del primo ordine del tipo y' + a(x) y + b(x). dove a(x) e b(x) sono funzioni continue nell'intervallo I, si dice lineare. Se b(x) =0, l'equazione si dice omogenea.

Equazioni differenziali lineari omogenee

y' = 2x y _{(un caso)}

A(x), ∫a(x) = ∫2x dx = x²/integrale indefinito + C1 x²

Per piccolo caso si pone una primitiva A(x), si moltiplica poi entrambi i membri dell'equazione per e^A(x) quindi in questo caso per e^x².

Otteniamo:

(y.e^x²)' = 2x e^x² y^{C (prodotte tutto a sinistra)}

y e^x² = 3x e^x² y=0

Usiamo da questa la derivata di e^x²/y, quindi scriviamo:

d/dx (e^x² y) = 0 ∫0 ci si riduci a:

(y e^x²)'=2x e^x² y. Questo integrando sia a destra che a sinistra otteniamo:

y = Ce^{e^x²}

Y_{= C une constante}

e^x² y = C e^x²

x / x²+2 ∫ x dx x² + 2

A(x) ∫ 1/x dx = e∫_{2x/ x² + 2} dx = ∫ 2/x dx

/2/2 log (x+1) = log x²/2 + x

∫1/x dx = log x

3x/x² y x/x2 + y x/x y.

5/x

e

d/dx (y/e^{e^x²})=0

y / x²+2 - log (x + 1) = log x²+ e

-y/7x²+x = C

y = C/ x²+2

y' = (cos x) y

A(x) = ∫cos x dx = ±sen x

y_i = e^∫A(x) = (e∫^{cos x}) y₀ e^∫A(x)

y₀ = e^{∫sen x} = y₀ cos x ∫ⁿ = 0

qui:

y₀ e^{∫sen x} = c → y = e^c e^{∫sen x}

y' = (x + log_e x) y

A(x) = ∫(x + log_e x) dx = ∫x dx + ∫log_e x dx

x ∫log_e x dx

f = log_e x f' = 1/x → x log_e x ∫1 dx = x log_e x - x

A(x) = x + x log_e x - x = x log_e x

y₁ x^{log_e x} = (-∫x + log_e x) y₀ e^{x log_e x} = 0

y₁ x^{log_e x} = e → y_i e^{xlog_e x} = e^x

• Equazioni differenziali lineari non omogenee

y' = -2/x y + sen (x)/x

A(x) = -∫(-2/x) dx = -∫(-2/x) dx = -2∫1/x dx = -2 log x - log x²

y_i e^A(x) = (-2/x + sen (x)/x) ∫A(x)

e^A(x) = x^{2log_e x}

y₁ x = -2 x y + 5 sen (x) → Ly₁ x² + x y = (d/(y+x))

Fin qui il procedimento è lo stesso che si usa per la risoluzione delle equazioni differenziali lineari omogenee. La differenza sta nel fatto che alla fine integrando a destra si somma ancora

-cos (x) + c

e (f_inizio)

y – = (–cos (x) + c)/x

e = –2/x²

4^y-34y²+2y=2x³-x+₁+

Per risolvere tale equazione differenziale per prima cosa scriviamo e risolviamo

la sua equazione omogena associata

4^y-34^y+2y=0

2₁=1, 2₂=2

y_b=₁e^x+₂e^2x

A questo punto notiamo che n(x)=2x³-x+₂ ovvero che n(x) e un

monionio al massimo che b=0 quindi visibile prima condizione. La forma

dell'integale particular sono un politomio di grando n, obu in questo caso:

3 politili di massima primi di ime como grando. Avremo quindi un inegrale

particular del tipo Y_n(x)=b₄x³+b₃+b₂x²+b₁.

Sostituendo Yn(x) nell equazione si otrova

Y⁽²⁾+3(x)+²±Y(3)9x+²=2x³-x+₂

com visione desionde formulando il sistema di Y_n(x), quindi dintre una

e fa: scostitvando il limit

Y_n(x)=3b₁x+2b₀+b₂

Y_n(x⁽¹⁾)+6b₁x+b₁.

Sostituendo a \" γίνεται\"

6b₂x+2b₂+³³b₂x²+b₂x+₀

6b₀x-2b-9b₀x

=6b₂+6b₃+2b₁

=x^(2)b₀)(3)

=6b²-6b²+b₀-+x^{(b2-3b₁+2b2)=}

=2x²x³+

x_{endin una di questo equazione sia possibilite quindi imediamente}

b₀−4(instalazion)

b₀=4

6b₀-6b²+2b0=^."6

2₀-9

2b-8=2₄

6b₂x+2

b²(-in...

2b-3b₂b⁽²⁾)

2x(one b)

6) y⁴ - 4y³ + 6y² + 4y = e^x

λ² - 2λ + 2 = 0

λ₁, λ₂ = 1 ± i

y₀ = e^x(c₂e^ix + c₂e^-ix)

Notiamo che A(1) × A² = x × (con A = ε, x = x) e il che e l'indice doppio dell'equazione caratteristica, vale quindi la sesta condizione e l'integrali particolari sono:

y_p(x) = Bx³ e^x

dove x = 2 e quindi y₁(x) = Bx² e^x

Sostituendo y_p(x) all'equazione abbiamo:

y⁴(x) - 4y³(x) + 6y²(x) = e^x

Deriviamo y_p(x):

y_p(x) = B(2x) = 2Bxe^x + 2Bx² e^x

y_p''(x) = 2B(2x)² = 2B(2x² + 2x²) = 2B + 4Bxe^x + 4Bx²e^x

Otteniamo quindi:

4Bx + 8Bx² + 2Bx² = 8B - 8Bx² + 8Bx³ = e^x

2Bxe^x = 2B = 2B = 2

B = 1/2

Le soluzioni all'equazione differenziale sono quindi:

y(x) = c₁ e² + c₂ x²e^x = x⁴/2

Equazioni di Bernoulli

Si dice di Bernoulli un'equazione differenziale del primo ordine del tipo

y' = a(x)y + b(x)y^α con α ≠ 0 e α ≠ 1 (altrimenti vengono equazioni lineari)

y' = 2y - 2y² (2)

In (2): 6=2: Si divida tutto per y², ovverosì otterremo:

y' / y² = 2/y - 2

Poniamo: Z(x) = (y(x))^-1 ovvero Z(x) = (y(x))^-1

Deriviamo Z = -y'/y², quindi la nostra equazione diventa

-Z' = 2Z - 2 → Z' = 2Z - 2

Diventa quindi un'equazione lineare del primo ordine

A(x) = ∫-2 dx = -∫2 dx = -2x → e^{-∫2 dx} = e^-2x

Z e^-2x = ∫-2 e^-2x dx

Z e^-2x + C = Ae^-2x

Visto che z= y^-1 Sostituiamo e troviamo la nostra soluzione φ

Z = x/3 e^2x + C/x²

y = -(x/3 e^2x + C/x²)^-1

Vediamo che z = y^-1

y' = y/x - y^-1

y² = x/2 y

y² = x/2 y

z = y^-1 = y^-1 = y^-2 = y²

z = y⁴

Notiamo che z/z - 4Y e quindi sostituendo

Z'/Z = x/z → Z'Z = Z/x - 2

A(x) = ∫-2/x dx - 2∫x x dx = 2 log x - log x² → 2 - 2 log x = e^-2x x^-2 = x²

Equazioni della forma y' = g(ax+by)

a e b non devono essere nulla altrimenti l'equazione si risolve col metodo delle variabili separabili.

Si utilizza la sostituzione z = ax + by , da cui z' = a + by'

y' = f(x,y)

z = x + y → z' = 1 + y'

z' = 1 ¹⁄₂(x + y) → y' = ^{x + y}⁄₂

A questo punto si separano le variabili:

^dz⁄_dt = ^{x + y2}⁄_z² → ∫ ^dz⁄_z² → ∫ - dt → arc g z = x + c → z = l_g(x + c)

Poiché z = x + y allora x(1 + y ) = l_g(x + c) → y = l_g(x + c) - x

y' = ^xm+1⁄_{x + y}

z = x + y → z' = 1 + y'

z' = ¹⁄₂(x + y^m) → y = x + 2

^dz⁄_dt = ^x⁄_{x² + z²} → ∫ ^dz⁄_z² → ∫ - dt

Procediamo con la sostituzione z² = x² log x → dz = ^y⁄_x dt

^x⁄_{x + y} → ∫ ^x⁄_y dt - ∫ ^x⁄_y(1+x) → ∫ y(1+x)^y dt

^A⁄_y + ^B⁄_{1 + x} → y [(A + B) + A → usiamo il metodo dei fattori simmetrici] A + B = 0 → A = I

{ A = I → B = - x

{ A = I →

∫ ¹⁄_y dt + ∫ ^x⁄_{1 + x} dt - log y = log log |1 + x| - log 1^{- xr}

= - z ⇒ log (x + x^m) = x + y log (x + y^2xm)

x + y log (x + 2x^m) = ∫dt = x + c → y = log (1 + 2x^m) + c