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DERIVATA PRIMA
√ 2
() = − 1 −
1
′ ()
= ⋅ 2 − 1
2
2√ − 1
′ ()
= −1
2
√ − 1
Il dominio della derivata non comprende -1 ed 1:
′ ]1;
=] − ∞; −1[∪ +∞ [
± 1 sono punti di non derivabilità
−1
(
lim − 1) = = −∞
+
0
− 2
→−1 √ − 1
1
(
lim − 1) = = +∞
+
0
+ 2
→1 √ − 1
Monotonia
′ ()
≥ 0
2
− √ − 1 ≥0
2
√ − 1
√ √
2 2
− − 1 ≥ 0 → − 1 ≤
La disequazione è equivalente al sistema seguente:
2 ≤ −1 ∨ ≥ 1
− 1 ≥ 0
→{ →{ >0
>0
2 2 ∀ ∈ ′
−1≤ ≥ 1 ≤ −1
Il numeratore della frazione è positivo per: e negativo per
Riportiamo nel quadro dei segni, ricordando di rispettare sempre il Domino.
’
Il denominatore è sempre positivo in
]−∞: −1[
La funzione è decrescente in
]1; +∞[
La funzione è crescente in
La funzione ha un minimo assoluto in x=1dove assme valore -1
Il codomino è l’unione dei seguenti intervalli:
= [−1; 0[∪]1; +∞[
La funzione èsuperiormente illimitata.
Grafico () = 2
Scrivere il rapporto incrementale di relativo al punto di ascissa 0
Definizione di rapporto incrementale ≠
+ ℎ
Dati una funzione y = f(x), definita in un intervallo [a; b], e due numeri reali (con h
0 0
0) interni all’intervallo, il
rapporto incrementale di f nel punto (o relativo a ) è il numero:
0 0
Δ ( + ℎ) − ( )
0 0
=
Δ ℎ
: ( ; ( )) ( + ℎ; ( + ℎ)),
Considerati i punti del grafico di 0 0 0 0
il rapporto incrementale di f nel punto è il coefficiente angolare m della retta passante per A e B.
0
)
( ( + ℎ)
Calcoliamo i termini 0 0
)
( = (2) = − 1 − 2 = − 2
√4 √3
0 2
√(2
( + ℎ) = (2 + ℎ) = + ℎ) − 1 − (2 + ℎ)
0
ed ora il rapporto incrementale:
2 2
(2
√(2 + ℎ) − 1 − + ℎ) − (√3 − 2) √(2
Δ + ℎ) − 1 − 2 − ℎ − + 2
√3
= =
Δ ℎ ℎ
2
√(2 + ℎ) − 1 − (√3 + ℎ)
Δ =
Δ ℎ
(2) Tracciare il domino e calcolare le derivate parziali
2 5
(3 ) ( )
(, ) = − ⋅ log 2 2
+ 2
ℜ
La funzione è costituita da prodotto di due fattori: il termine polinomiale è definito in tutto
La funzione logaritmica è definita per i valori che rendono positivo l’argomento
>0
2 2
+
La scrittura al numeratore della frazione è l’equazione di un iperbole equilatera, positiva nel I e nel
terzo quadrante con x ed y non nulli
2 2
+ > 0
La disequazione è sempre positiva perche somma di due quadrati tranne nell’origine
del piano dove entrambe le variabili assumono nullo. 2
) ∈ ℜ , ≠ 0
Il dominio è costituito dalle coppie ordinate(, con
Dal dominio sono esclusi i punti ad ascissa e ordinata nulla
Il dominio della funzione è rappresentato graficamente dall’area del piano in rosa.
In rosso i punti esclusi.
Calcolo delle derivate parziali di
2 5
(3 ) ( )
(, ) = − ⋅ log 2 2
+
2 2 2 2 )
+ ( + − (2)
2 4 2 5
) (3 )
( )
= 5(3 − (3 − 2) log + −
2 2 2 2 2
( )
+ +
3 2
−
2 4 2 5
) (3 )
( )
= 5(3 − (3 − 2) log + −
2 2 2 2 )
+ ( +
2 2 )
( −
2 4 2 5
) (3 )
( )
= 5(3 − (3 − 2) log + −
2 2 2 2 )
+ ( +
Operando mediante ulteriori raccoglimenti: 2 2
( )
−
2 4 2 5
) (3 )
( )
= 5(3 − (3 − 2) log + −
2 2 2 2 )
+ ( +
2 2
( )
−
2 4 2
(3 ) (3 )
( )
= − [5(3 − 2) log + − ]
2 2 2 2 )
+ ( +
si ottiene: 2 2
( )
−
2 4
(3 ) (3
( )
= − [5(3 − 2) log + − ) ]
2 2 2 2
( )
+ +
Derivata parziale rispetto alla variabile y 2 2 2 2 )
+ ( + − ⋅ 2
2 4 2 2 5
) (− ) (3 )
( )
= 5(3 − ⋅ log + − ⋅ ( )( )
2 2 2 2 2
( )
+ +
3 2
1 −
2 2 4 2 5
(3 ) (3 )
( )
= −10 − ⋅ log + − ⋅ ( )
2 2 2 2
+ +
2 2 )
1 ( −
2 2 4 2 5
(3 ) (3 )
( )
= −10 − ⋅ log + − ⋅
2 2 2 2
+ +
2 2
( )
−
2 2 4 2 5
(3 ) (3 )
( )
= −10 − ⋅ log + − ⋅
2 2 2 2 )
+ ( +
2 2
( )
−
2 4 2 2
) (3 )
( )
= −(3 − ⋅ [10 ⋅ log − − ⋅ ]
2 2 2 2 )
+ ( +
(3) Discutere e risolvere il sistema 3 − 6 + + 2 = 1
− − 8 + + 10 = −5
{ 2 + − 4 = 3
Il sistema lineare ha un numero di equazioni inferiore al numero delle incognite.
Per il Teorema di Rouché-Capelli un sistema di equazioni lineari ammette soluzione se e solo se il
rango della matrice dei coefficienti è uguale quello della matrice completa.
Dette A e C, rispettivamente, la matrice dei coefficienti e quella completa, il teorema garantisce che:
• =
se il sistema è compatibile;
• ≠
se il sistema è incompatibile.
Scriviamo la matrice completa: 3 −6 1 2 1
[ | ]
−1 −8 1 10 −5
2 1 0 −4 3
= − 2
2 1 3 → = = 2
Osserviamo che la seconda riga è combinazione lineare delle altre due perciò
(, , , )
Il sistema è compatibile, ma poiché il rango è minore del numero delle incognite il
sistema è indeterminato.
− 4−2 2
∞ = ∞ = ∞
Le soluzioni sono:
Abbiamo due parametri liberi.
Sopprimiamo la seconda riga e spostiamo al secondo membro la prima e la quarta colonna
−6 + = 1 − 3 − 2
{ = 3 − 2 + 4
Applichiamo la regola di Cramer per determinare le soluzioni del sistema:
−6 1
Δ=| | = −1
1 0
1 − 3 − 2 1
Δ = | |
3 − 2 + 4 0
Δ = −3 + 2 − 4
Δ
→= = 3 − 2 + 4
Δ
−6 1 − 3 − 2
Δ = | |
1 3 − 2 + 4 (1
Δ = −6(3 − 2 + 4) − − 3 − 2)
Δ = −18 + 12 − 24 − 1 + 3 + 2
Δ = −19 + 15 − 22
Δ
→= = 19 − 15 + 22
Δ
= 3 − 2 + 4
= 19 − 15 + 22
=
= COMPITO B
1. Studiare la funzione 1
)√
() = (1 − +2
Dominio, segno, limiti, monotonia, massimi e minimi relativi assoluti, grafico
2. Tracciare il dominio e calcolare le derivate parziali
2 2
+ − 1
2
( )
(, ) = − log ( )
+
3. Discutere e risolvere il sistema
+ − 2 − = 1
− 4 + 5 + 3 = 0
{ 3 − 2 + + = 2
(1) Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico 1
)√
(1
() = − +2
DOMINIO
La funzione è irrazionale fratta ad esponente pari. Poiché la radice di 1 è uguale ad 1, possiamo
anche riscriverla come segue: 1−
() = √ + 2
per la ricerca del dominio bisogna porre il radicando maggiore di zero:
+ 2 > 0 → > −2
]−2;
= +∞[
La funzione è definita solo per valori di x maggiori di -2.
SEGNO
1− ≥0
√ + 2
Studiamo il segno di numeratore e denominatore.
1− ≥0 ≤1
+ 2 > 0 ∀ ∈
√
Il denominatore è sempre positivo nel dominio D.
Riportiamo nel quadro dei segni e abbiamo quanto segue:
() > 0 ] − 2; 1[
() < 0 ]1; +∞[ () = 0 = 1
INTERSEZIONI CON GLI ASSI 1
1− √2
= = =
() ∩ : { → { → { 2
√ + 2 √2
=0 =0
=0 √2
() ∩ = (0; )
2
1− 1−
= =0
() ∩ : { → { → 1− = 0→ = 1
√ + 2 √ + 2
=0 =0
() ∩ = (1; 0)
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