Matematica per l'economia, prove d'esame svolte. Prof De Simone-D'Aniello

Formattazione del testo

→B• −1= lim • − €+5:→B −1− −5= lim • €+5:→B −5 − 1= lim = −5• ‚+5:→B= − 5 è asintoto obliquo perDerivata prima − 16= +52 +5 − + 16′ = +52 + 10 − + 16= +5+ 10 + 16= +5Studiamone segno e zeri: + 10 + 16 N0+5Risolviamo l’associata del numeratore:+ 10 + 16 = 0Δ = 25 − 16 = 9 04 = −5 3→ = −8 ∨ = −2, + 10 + 16 N 0 → „ −8 ∨ N −2+5 0 ∀ ∈!Riportiamo nel quadro dei segni:La funzione presenta un massimo ed un minimo.*−8; 'Sono entrambi relativi.R1553T. → −8 = −8; −16*−2; 'T3-3T. → −2 = −2; −4Derivata seconda + 10 + 16=… +5Svolgere 2 + 10 +5 − + 10 + 16 ⋅ 2 +5" = +5 m2 +5 +5 − + 10 + 16 ⋅ 2= +52 +5 − 2 − 20 − 32= +52 + 20 + 50 − 2 − 20 − 32=

+518" = +5 -5

La derivata seconda è positiva per è convessa

La derivata seconda è negativa per è concava

Grafico

2. Determinare eventuali punti di massimo e minimo relativo per la seguente funzione:

= 7 : CE:y D

Il domino di f(x) è tutto R

Calcoliamo la derivata prima e cerchiamo eventuali valori di x per cui essa si annulla

= 7 ∙ 3 - 12… : CE:y D

7 ∙ 3 - 12 N0: CE:y D ∀∈ $ ∀∈ $7 N0: CE:y D; → ; →

=3 -4 N0 "0" or N43 - 12 N 0 =0

La funzione ha un punto di massimo relativo in:

=4

La funzione ha un punto di minimo relativo in:

3. Dare la definizione di autovalore e autovettore e calcolare gli autovalori e i relativi autovettori della seguente matrice:

2 -3 0= -1 0 0-1 1 1

N.B. la definizione è data solo nello svolgimento del Compito 1, essendo valida per tutte le altre.

Calcolo degli autovalori ed autovettori

Risoluzione del polinomio

caratteristico: 2−V −3 0| − V]| = −1 −V 0−1 1 1−V| − V]| = 0

Sviluppando il determinante lungo la terza colonna:

^2 − V −3| − V]| = 1 − V ^−1 −V| − V]| = 1 − V V − 2V − 31−V =0→ V = 1 V = −1V − 2V − 3 = V + 1 V − 3 = 0 → ; V =3

La matrice ha tre autovalori distinti.

V = 1 , V = −1, V = 3

Calcolo degli autovettori

V = 1

Per −3 =0 =31 −3 0 0 =0− − = 0` a b d = ` a ⇔ 9 → 9 → 9= − = 0−1 −1 0 0c − + =0 c=S−1 1 0 0 =0 ∞ 5.ghc3.-3

La matrice ha rango 2: c’è un parametrio libero, il sistema ha

V = 1

Lo spazio degli autovettori relativi a è generato da:

0 0X = ` a → X = ` a;0 01SV = −1

Per =3 −3 =03 −3 0 0 − + = 0` a b d = ` a ⇔ 9 ⟹ 9−1 1 0 0c − + + 2c = 0 c=0−1 1 2 0 5.ghc3.-3∞

La matrice ha rango 2:

Vi è un parametro libero, il sistema ha V = -1. Lo spazio degli autovettori relativi a è generato da: SX = b S d0 Quindi per t=1: X 10V = 3 Per -3 =0 = -3 -1 -3 0 0 =S ` a b d = ` a ⟹9 -1 1 2 0 5. La matrice ha rango 2: vi è un parametro libero, il sistema ha V = 3. Lo spazio degli autovettori relativi a è generato da: -3SX=` aS2S E quindi per t=1: -3= ` a;X 12 Abbiamo allora che: V = 1; V = -1 ; V = 3 0 1 -3X = ` a; X = ` a; X = ` a; 0 1 1 0 2 Determinare l'equazione del piano tangente al grafico della funzione: f(x) = ln(x) +3 nel punto P= (1,1) L'equazione del piano tangente è data da: z - z0 = f'(x0)(x - x0) + f'(y0)(y - y0) In cui: z0 = ln(4) x0 = 1 y0 = 1 f'(x) = 1/x Sostituendo i valori otteniamo: z - ln(4) = (1/1)(x - 1) + (1/1)(y - 1) Semplificando otteniamo: z - ln(4) = x - 1 + y - 1 Quindi l'equazione del piano tangente è: z = x + y - ln(4)… +3 4 28 1 3c + ^3 = g-4 + −1 + −12 231 + −2c = g-4 + 2208 GENNAIO 2019

COMPITO 3

Nome……………………………

Cognome……………….............

Matricola…………………….

Risolvere i seguenti esercizi

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico

   4−5= + −2

2. Scrivere l’equazione della retta tangente alla curva:

   Š1= − −

   nel punto (0,0).

3. Dare la definizione di autovalore e autovettore e calcolare gli autovalori e i relativi autovettori della seguente matrice:

   1 0 0= −1 2 0−1 0 2

4. Determinare eventuali punti di massimo e minimo della seguente funzione:

   , =7 : C 8 HD D4−5

1. Studio di funzione = + −2

Dominio

Unica condizione denominatore diverso da zero

+ −2 0Δ =1+8=9 0−1 −1 3√9x → → −2 ∨ 12 2, ,

Il dominio

della funzione è: '−∞; '−2; '1; *! = −2* ∪ 1* ∪ +∞4−5Simmetrie 2− = → -.- è 0123− −224−5 2− =− − → -.- è 4350123+ −22 4Intersezioni 4−5 = −20 =−=∩ 1557 = →9 → ==9 2+ − 2 =08 =0=0 2= − ;0⎧ ⎧<4−5 44−5 =0 Œ √5= =∩ 1557 = →; → →G + − 2 5 2=0: ⎨ ⎨=0 ;0{ == 0⎩ ⎩ √5La funzione interseca gli assi nei punti A, B e CSegno4−5 N0+ −2 2 2− „ „4 − 5 N 0 → →99 √5 √5+ −2 0 > −2 ∨ 12 20 ∀ ∈ −2; − ∪ ;1√5 √52 2> 0 ∀ ∈ −∞; −2 ∪ − ; ∪ 1; +∞√5 √5Limiti agli estremi del dominio, eventuali asintotilim = −5 = −5mC : D: H:C:→ B D• la funzione presenta asintoto

orizzontale di equazionelim = -∞

mC : C ED: H:C J:→C D KI• = +∞

lim mC : C ED: H:C JD I:→C K•= -2 è asintoto verticale per )

lim = +∞mC : CD: H:C J:→ D II•

lim = -∞mC : CD: H:C JD K:→ K•= 1 è asintoto verticale per )

Non cerchiamo asintoti obliqui perché la funzione ammette già asintoto orizzontale.

Derivata prima 4-5= + -2-10 + -2 - 4-5 2 +1' = + -2- 10 + 20 - 8 - 4 + 10 +5-10= + -2-5 + 12 - 4= + -2

Studiamone segno e zeri: -5 + 12 - 4 N0+ -2Risolviamo l'associata del numeratore:+ 12 - 4 = 0-5Δ = 36 - 20 = 16 04 -6 4 2= → = ∨ =2-5 5, 2-5 + 12 - 4 N 0 → “ ” 25+ -2 0 ∀ ∈!Riportiamo nel quadro dei segniLa funzione presenta un minimo ed un massimo2 2 2 20Sono entrambi relativi.T3-3T.

• →
• →
• −•
• ‚5 5 95*2;
• 'R1553T.
• → 2
• → 2;
• −4Sono entrambi relativi.
• Grafico2.
• Scrivere l’equazione della retta tangente alla curva:
• Š1= − −nel punto (0;0).
• L’equazione della retta tangente in punto P del grafico ha equazione:
• − =T −‡ ‡con:=‡ ‡T= ′ ‡ − 0 = ′ 0
• Deriviamo la funzione: Š1= − −1’=1− ⋅ −22√1 −’=1+ √1 −0 = −1T= →T=1… ‡ +1=S: = −1è la retta tangente al grafico.
• t3. Dare la definizione di autovalore e autovettore e calcolare gli autovalori e i relativi autovettoridella seguente matrice: 1 0 0= −1 2 0−1 0 2
• N.B. la definizione è data solo nello svolgimento del Compito 1, essendo valida per tutte le altre.
• Osserviamo che la matrice è triangolare alta, valgono le seguenti proprietà:
• • gli autovalori sono

Gli elementi della diagonale principale: V = 1, V = V = 2 o autovalore di molteplicità 2. Il rango è pari al numero degli elementi non nulli della diagonale principale: Ž = 3. Calcolo degli autovettori: S1 = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 V` = a b c d S` = a − −c = 0 −1 a −b = 9 2 −1 d = 0 S1` = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 V` = 2 1 −1 0 S1 = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Determinare eventuali punti di massimo e minimo della seguente funzione: f(x, y) = 7x + 4y f(x, y) = 7x − 6y f(x, y) = 7x + 4 f(x, y) = 7x − 6 La funzione ha un punto critico: (0, 0) Calcoliamo le derivate parziali del secondo ordine: fxx = 16 fxy = 4 fyy = −24 La matrice Hessiana è: H = 16 4 4 −24

l⎨ = 36 - 6 ⋅ 7 : C 8 HD D⎪