Capitolo 1
ESERCIZI SULLA PORTATA E SULLA LEGGE DI BERNOULLI
1. La portata d’acqua lungo un tubo orizzontale è 2 m3/minuto. Determinare la velocità del fluido in un punto in cui il diametro è d1 = 10 cm e in un secondo punto in cui d2 = 5 cm.
Soluzione.Convertiamo la portata in m3/s. Poichè 1 minuto = 60 s, abbiamo 2 m3/min = 2 m3/60 s = 0.033 m3/s. Se A è l’area della sezione del tubo e v è la velocità in quel punto, allora portata è definita come il prodotto Av. L’area della sezione è πr2, dove r è il raggio. In un punto in cui il diametro è d1, il raggio vale r1 = d1/2. L’area è pertanto A1 = πd12/4 e la portata è
portata = A1v1 = πd12/4 v1. (1.1)
Possiamo quindi scrivere
v1 = portata/πd12/4= 0.033/3.14 • 0.102/4 = 4.2 m/s.
In un punto in cui il diametro è d2 avremo invece
portata = A2v2 = πd22/4 v2. (1.2)
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Capitolo 1
ESERCIZI SULLA PORTATA E SULLA LEGGE DI BERNOULLI
1. La portata d’acqua lungo un tubo orizzontale è 2 m3/minuto. Determinare la velocità del fluido in un punto in cui il diametro è d1 = 10 cm e in un secondo punto in cui d2 = 5 cm.
Soluzione. Convertiamo la portata in m3/s. Poichè 1 minuto = 60 s, abbiamo 2 m3/min = 2 m3/60 s = 0.033 m3/s. Se A è l’area della sezione del tubo e v è la velocità in quel punto, allora portata è definita come il prodotto Av. L’area della sezione è πr2, dove r è il raggio. In un punto in cui il diametro è d1, il raggio vale r1 = d1/2. L’area è pertanto A1 = πd12/4e la portata è
portata = A1v1 = πd12/4v. (1.1)
Possiamo quindi scrivere
v1 = portata/πd12/4
= 0.033/3.14 · 0.102/4 = 4.2 m/s.
In un punto in cui il diametro è d2 avremo invece
portata = A2v2 = πd22/4v2. (1.2)
Esercizi sulla portata e sulla legge di Bernoulli
La portata è sempre la stessa in quanto è costante in ogni punto. Di conseguenza
v2 = portata⁄πd22/4
= 0.033⁄3.14·0.052/4 = 16.8 m/s.
Se il diametro si dimezza la velocità quadruplica.
2. Una rubinetto di diametro d = 1 cm viene usato per riempire una vasca di lati 1.8 m, 1 m, 0.5 m. Occorrono 5 minuti per riempire la vasca. Con quale velocità v l’acqua esce dal rubinetto?
Soluzione.
Il volume della vasca è 1.8 × 1 × 0.5 m3 = 0.9 m3. Poiché quindi 0.9 m3 vengono riempiti in 5 minuti, la portata è 0.9/5 m3/min= 0.18 m3/min. Convertiamo in m3/s. Essendo 1 min=60 s, abbiamo 0.18 m3/min = 0.18 m3/60 s = 0.003 m3/s. Questa è anche la portata dell’acqua che esce dal rubinetto, la quale deve essere uguale ad Av, dove A è l’area della sezione del rubinetto e v è la velocità con cui l’acqua esce dal rubinetto. Essendo il raggio della sezione r = d/2, l’area della sezione è A = πr2 = πd2/4. Abbiamo quindi
portata = Av = πd2/4v.
Da questa relazione possiamo ricavare la velocità ,
v = portata⁄πd2/4
= 0.003⁄3.14·0.012/4 = 38 m/s.
3. Un tubo orizzontale di diametro d1 = 10 cm si riduce a d2 = 5 cm. Se la pressione nella sezione più larga è P1 = 8 · 104 Pa mentre in quella più stretta è P2 = 6 · 104 Pa, determinare le
velocità v1 e v2 nelle due sezioni.
Soluzione.
Applichiamo la legge di Bernoulli a due punti nei tratti di diverso di-
ametro. Deve essere
P1 + 1/2 ρv12 + mgy1 = P2 + 1/2 ρv22 + mgy2. (1.4)
Qui ρ è la densità del fluido (uguale in ogni punto poichè assumiamo che
il fluido sia incomprimibile), mentre y1, y2 sono le quote dei punti nei
due tratti. Poichè il tubo è orizzontale, abbiamo che y1 = y2 e quindi i
termini mgy1 e mgy2 si annullano. Resta
P1 + 1/2 ρv12 = P2 + 1/2 ρv22. (1.5)
sia A1 l'area della sezione di diametro d1 e A2 l'area della sezione di
diametro d2. Poichè la portata è costante, deve essere
A1v1 = A2v2. (1.6)
Da questa espressione possiamo ricavare ad esempio v1 in termini di v2,
v1 = A2/A1 v2. (1.7)
Ora possiamo sostituire questa relazione nella legge di Bernoulli,
P1 + 1/2 ρ (A2/A1)2 v2 = P2 + 1/2 ρv22. (1.8)
In questo modo abbiamo un'espressione che ci permette di determinare
v2,
1/2 ρv22 [1 - (A2/A1)2] = P1 - P2,
Esercizi sulla portata e sulla legge di Bernoulli
v2 = P1 - P2 /√1/2ρ(1 - (A2/A1)2)= 8 · 104 - 6 · 104 /√0.5 · 1000 · (1 - 0.0625)= 6.5 m/s.
In questa espressione abbiamo il rapporto delle aree
(A2/A1)2 = (4πr22/4πr12)2 = (4πd22/4πd12)2 = (d2/d1)2 = 0.0625.
La velocità v1 è invece data da
v1 = A2/A1v2 = 1.6 m/s. (1.9)
4. Un aereo ha massa m = 16 tonnellate e ogni ala ha area A = 40 m2. Durante il volo la pressione sulla parte inferiore dell’ala è 7 · 104 Pa. Determinare la pressione sulla parte superiore.
Soluzione.La pressione sulla parte inferiore produce una forza diretta verso l’alto
F1 = P1A,(1.10)
dove A è l’area dell’ala. Sulla parte superiore agisce una pressione diretta verso il basso che dà luogo ad una forza
F2 = P2A.(1.11)
La forza complessiva agente sull’ala è
Fala = F1 - F2 = P1A - P2A.(1.12)
Quando l’aereo vola ad una certa quota, la somma combinata della spinta delle due ali, 2 · Fala, controbilancia esattamente la forza peso per cui
mg = 2Fala = 2(P1A − P2A). (1.13)
Possiamo a questo punto ricavare P2 da questa espressione,
P2 = P1 − 1/2A mg = 7 · 104 − 1/2 · 40 · 16 · 103 · 9.8 Pa = 6.8 · 103 Pa. (1.14)
5. Ognuna delle ali di un aereo ha area A = 25 m2. Se la velocità dell’aria è v1 = 50 m/s vicino alla superficie inferiore e v2 = 65 m/s al di sopra, determinare il peso dell’aereo.
Soluzione.Dalla legge di Bernoulli abbiamo
P1 + 1/2 ρv12 = P2 + 1/2 ρv22. (1.15)
Di conseguenza la differenza di pressione fra un punto sotto e sopra l’ala è
P1 − P2 = 1/2 ρv22 − 1/2 ρv12= 1/2 ρ(v22 − v12)= 0.5 · 1 · (652 − 502) = 863 Pa.
La differenza di pressione produce una forza verso l’alto pari a
F = (P1 − P2) · 2A = 43150 N, (1.16)
dove abbiamo 2A perchè ci sono due ali. Questa forza verso l’alto durante il volo di crociera controbilancia esattamente la forza peso dell’aereo verso il basso,
F = 43150 N = mg. (1.17)
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