Esercizi svolti sul calcolo di max, min o selle in funzioni di 2 o 3 variabili

N

-

, =

,

7

7 I

22-6d-4d ad

6 14d 12d

+ +

+

+

7 7 7 dovelle venire

30 75

(10 Minimo

+ .

y)

f(x x2 2

y)

v(x

by 2

+

x + 1

+

= =

=

, ,

x) x(x

L(x 1)

= 2y2

by

y = x + - + -

, , x 0

=

x(2x)

('x 1 E X(2x)

-

= 2

ompx

1 =

=

-

x(4y)

L'g >

-

6 x(4y)

= =

- 6 Dy

0

- -

=

(xz 1) (x=

L'x 1)

2y2 2y2

+ +

-

= - = o

- (2)

- F

-* * 0

1

+ =

-

(2

+ 11bx 11

+ =

=

traiamo quindi :

(E 4) 1)

/

2

Pr verifiliamo

P2 regolari

penti

-

, se sono

= =

, , o no )

(1

4y)

(2x

(v'x (0 d

v'y)

1)

(x2 2yz

& , +

+ =

=

- *

, ,

,

, )

( è Regolare

)

(-1 0

(0

4Y)

(2x

vy)

(v'x -

1)

(x2

& = +

2y

+ = =

=

- ,

,

, -

, Regolare

è

Calcoliamo (xy

(xx (

(

(

(xx(xy (

2 0

= H

= Px Px20

= -

.

= - LYY

Ly

LyX X

Lyy 4

= 0

=

lo natura

Verifichiamo prenti

dei

(4 5) (a b) -

b

+

ora o =

-

= 0

=

. ,

, (

(20] (

[ ()

b) ( b)

( 4bz)

(12

1)

(

= +

=

-- .

.

. =

, -12-4b20 sempre

è

quindi MASSIMO

un

) v

b) -

(0

( 1, a

or orda

- =

- =

=

, )

( (12

(F) I

b))

-

(1 )]

(8 16230

b)

( % + service

= =

.

· , P2 e MiNino

, un

SALVO

CALCOLO CON ROMEO

METODO

x) (E

x(x 4)

(x 1) 1)

,

(2

20

L = =

by Pe

y Pz

2y

= x + - + = =

, , , ,

2x)dx=

( (0) dxdy ( 4x)

= dyz

d F 2 +

.

+ .

-

= .

(-2)dx (-4)

F(P1)

= dF(P1)

d = di termini

2 <0

commo

= MIN

negativi REL

quindi è un

(4)

(2)dx dyz

d F(Pz) = + di

conmo z

= d[F(42) REL

termini MAX

positivi 0

7

.?

y)

f(x yz

y3 xz

y3 1xy

+ -

= -

-

, y) 0fx

3x2

y) fix(x Ey

f(x

& + 2x

0 - =

=

= -

,

, 2 fig(x ) 342 f'y

Ex

24-

, 0

= =

- 0

X =

-

-DX(3x 2) by

E - 2

- 0

=

3x2 - x =

-

y 0

= 5

2x

- (3y

342 2)

4x EX

24 4

Y -

- 0

0mD

- = = =

- 0

- Yy =

C lo questo modo

se risolve

testo en :

y) y)

y)(x z)

3(x y) y)(3(x

2(x (x ord(x y) +

e

+ +

-

- + -

= =

- 0

-

- Pr 0)

traviano (0

Y Pr 9

(

10 punti

i due

0 X

= =

X X =

= =

,

,

, (H(Pul)

( out

( E

( >

H o

=

6x HP

2 -

-

= fxxo

1 quindi

2

- -

- Pe è LOCALE

MAX

(po

4(P2) = è

Pr MiNLOCALE

quindi un

20

3(x y) 1 G

+ Ex

2 0mX

+ = =

-

=

- ( )

, )

(

↓ P

~ P

= =

Y

Y 2

= -

5

I

=(

(P3)

↓ é

P3 SELLA

uno

H(P4)( (

= es

Se

detLo Pi

ES YT in il e

vincolo

caso

questo mon

N

=

y)

y) esplicitabile

(x passe

X2 lo stato

w(x

f se

SX y y

+ 1 ,

-

= = l'equazion

, potete

, esplicitare

avrenno variabile

rispetto ad una f(x

che in x)

sostituento

poi ,

facilitato il calcolo

Velle

·

dei MAX MiN

e

x) 1)

x(X2

L(x y2 esplicitare

3x

y y + ye

x

- e

rosso

= -

-

,

, x?

sostiticle y2

in _

T

Lx 2xX

3 E

-

= E

2xX b

3 x

0

= =

XL -

x)

(x Y 0 >

=

> 2x

-

Ly -

- 2xy

,

2xY , 0

1

y =

= - -

- - =-

Y

y2

y2 22

(x ↑

- X 1

-

= = 0

- - +e 0

=

1

-

S e

Il Esquato lo

1-4x 2 X

25 relare nado

z

+ =

+

0 -

=

= in

satituire XeY

a mitravo mate

e i

prezzi) )

,

i

C'e Per i

Ricavare

Anche PUNTi

ALTRO

Un Metodo

lo

costruire matrice

nodo Hessiona

Mi mis

a I

(

( I 2X 2Y

O Ny

NX O

N

H xxLxY

1 2x 2x0

=

= VX -

LyXLYY

NY 240 2x

-

Lxy 0

=

↓ 24-

xx = - prezzi)

↓ 2x )

,

i

yy Lyx

= > 0

- =

2X

NX = 24

vY = =

I

S

#(P1) 26

* 10

-826 O

0 EG

= 26 1

100

1 V6

V26 1

+ + =

=

8 -

- 226 V26 526

Z V26

- -2

V26 O O

- H(P1)

ot MiN

- REL

226 >o VINC

P2 RELVINCOLATO

MAX

un

e z) z)

yzw(x

& (x 2 y

3xyz

+ z

,y xy y

zx

+

yz

+ x

= 0

x

+ =

-

= - -

, , , z)

x(3xyz

2) y2

((x x2 y

y +

yz x

zx

xy +

+ + - - -

= -

, , il

punti

calcolare fare in

Critici che

devo sia -

mado

i gradiente

ner o

z)

Vf(x =

x

,

, 1)

y(zyz

(x y z S

+ + 2x =

= - - 0 1)

y(zyz 7

y z

+ + 2x =

- - 0

>

-

y(3xz 1)

L'y z 2y

+ +

X 0

-

= - y(3xz

= 1) 02

z 2y

+ +

x -

- =

X(3Xy 1)

L'z y 2z

X + + 0

= 1)

- X(3Xy

=

- 03

2z

X y +

+ - =

-

2x 3xyz y z

+ +

x

+

= - z4

+

xyz y

3 X +

=

CASO X 0

=

S 0NDY

4y z

+ z = = -

3 z y X

2z

+ + 0mz

=

- = -

((0

2x M

X

O +

2 0 0

or

- - =

=

- a)

E

anche

01x 0

1 1) apura

X =

X(3x2 =

X

+ + +

- = Y X2 -E !

=

Y alliano

z y

X

quindi z

se o

= o = o

=

= = calcolando il

punti

vediamo del

regolari gradiente

sono

se o no

il

vincolo trovato

punto

sostituiamo

ci apena

poi

e (3yz e)

z) 1)

(3 (0 a)

3xy

y

xyz

& 3xz +

1 0

1 1

x 1

= .

- - -

-

- -

-

- , ,

20

, ,

, , 0 , '

il

pecto REGOLARE

(0

1)

( c) 0)mD

( (

b b ( LxXLXY

1

+ c Lxz

0

0 a

- . =

= -

- -

- -

,

,

,

, , , Lyx(yy Lyz

b

C a

= -

- Lzz

LzxLzy

I

( 1 fe

3xz

2 Q

3xY ↓

1

-

Ca b) - (2

b

, b

a 3xE

&

- - 1

= -

, 3x72 3xX

1 2

1

- - 0)

(0

3xX2 2

0

3xY1

1 ,

- ,

(221))) (

b b

a)

(ab

b)

(a e

2a -

+ -

b e- .

- =

, . b

a

. 2b

a

2 + -

-

b

1 1 2b

za

a + -

-

( ++

-a-b)

(a a b batb (sommo a

termi

b ab di

= +

+

=

.

. , 0)

(0 s

positivi MINIMO

quindi 0

>0 un

,

,

0)

(y +

+

CASO X z

0

o ,

S 1)

x(zyz (x) x(3xyz x)

1

y 2x2

S

z

+ + 2x xz

Xy

= + +

- - 0 . =

- 0

-

,

y(3xz y)

1) x(3XYz

(y) 2y2

02

z 2y

+ +

X yX yz +

+

-

- =

. 0

-

>

= -

-

1)

X(3Xy (z) 1(3xyz z)

03

2z 2z2

X y + zy

+ zx

- +

= . 0

+

- =

- -

z4

+

xyz y

3 X +

=

E X(y z)

2x2 sottraggoe-2

XY xz + y

+ +

= 3

z)2 2.

x(x

2y2

yz

+

YX +

+ = 3 1

-

y)

X(x

2z2

zy 3

zx + + +

=

W X(X y)e

2x2 2y2

Ye +

+ 2

xz -

- -

= -

- y)

X(X

2x) 2y)

y(z

x(z +

+ 0

+ =

-

-

(x y)(z y)

2(x

X

+ + + 0

- =

A X(y

- z)2

2z2

242

Y +

X zx 3

+

- -

- -

-

2z)

2x)

y(x z)

x(y

z(x +

+ + 0

- =

-

z)(x

(y z)]

2(y

x

+ +

+ 0

- =

zYz

⑭ X(x z)3

2z2 =

xy 1

+ 2x =

+ - -

-

- -

z)(y z))

(x 2(X

x

+ +

+ 0

=

-

S

(x y)(z y)

2(x

X

+ + + 0

- =

z)(x

(y z)]

2(y

x

+ +

+ 0

- =

z)(y z))

(x 2(X

x

+ +

+ 0

=

- z

+

xyz y

3 X +

=

① Y

X = X -

z

=

z)(x 07

(x z))

2(x

x

+ + +

- = DA FINIRE

y) y)

(X Xi 2y2

& byv(x +

X +

= 1

= -

,

, X(xz

x) 1)

L(X 2yz

by

y X + + -

-

=

,

, è poiché

↑ escluso verificherella

= o non

(x 2xX 0 Condizione

la

1 = o

= - =

! 2xX 1

1 0

= ~ X =

-

V6

(y :

4xy 2x

0

= V6

= - /

Was -4xY F

0

= Y

D =

~

242

(x x2 x2 2y2 + 1

1 0

0

+ = =

-

= -

- - X 9

=

Es

+ 0

1 =

-

- x 2x 1

= -

Calcoliano il sistema X

per e

=

E E

X =

=

Y ,

(E

é

-E-E =

critico

puto Pi

+ 1 0

>

0 un

0

= =

Calcoliamo il sistema x -1

per =

E -

X = -

y = V 1)

2

(

Pr - -

-

uguale sopra

a = &

,

verifiliamo

Adesso regolari

punti sono

i

se 56)

(1

4y) (0

(2x

vi) 0)

(vx

1)

(x = e

indi

+

& 2y

+ = = =

- ,

,

, , P1 regolar

V6)

(

(2x

(x è

(x) (0 0)

1)

=

& regolare

quindi

+

2y 1

+ =

- = , ,

, P2

Adesso l