Esercizi svolti di Analisi 2

Esercizio: Trovare Max e Min relativi

Calcolo di ∇f per la ricerca di punti stazionari:

f_x = 2x

f_y = 2y - 1

∇f = { f_x = 0 f_y = 0 } { y = -1 x = ± ¹⁄_√2}

A = (√2, -1) B = (-√2, -1)

Calcolo la matrice Hessiana:

f_xx = 2y + 2 f_yy = 0

f_xy = 2x f_yx = 2x

H = | 2y + 2 2x | | 2x 0 |

det H(A) = -8 < 0

det H(B) = -8 < 0

Sia il punto A sia il punto B sono punti di sella per la funzione

Esercizio: Max e Min

f(x,y) = 2xe^-x2y2

∇f = { f_x = 2e^-x2y2 + 2x(-2x)e^-x2y2 = 0 f_y = 2x(-2y)e^-x2y2 = 0 } { e^-x2y2(2 - 4x²) = 0 e^-x2y2(-4xy) = 0 }

x = ±√²⁄₂ y = 0

A = (√²⁄₂, 0) B = (-√²⁄₂, 0)

H = | f_xx f_xy | | f_yx f_yy |

f_xx = -2xe^-x2y2(2 - 6x²) + e^-x2y2(-8x³ - 12x) f_yy = e^-x2y2(-6x + 8x²)f_xy = -24y²e^-x2y2 f_yx = 8yxe^-x2y2

det H(A) = ¹⁸⁄_e f_xx < 0 Punto di max relativo

det H(B) = ¹⁶⁄_e f_xx > 0 Punto di min relativo

Esercizio: Si consideri la serie:

a) Studiare la convergenza puntuale

b) Indicare gli intervalli in cui la serie converge uniformemente alla funzione somma. Si scelga uno di questi intervalli e ivi, se agiu, la convergenza uniforme.

a) Criterio del rapporto per trovare il raggio di conve.

_limk→+∞ (k+3) / 3_k * x_k+1 / x_k = lim_k→+∞ (k+4) / 3_k+1 * x = 1 / 3

La serie converge puntualmente in x ∈ (-3, 3);

b) Provo la convergenza uniforme con Abel:

Pongo x=3

∑⁺_k=0 (k+3) 3^k / 3_k La serie non converge

Pongo x=-3

∑⁺_k=0 (k+3) (-1)^k 3_k / 3_k La serie non converge

La serie converge uniformemente in un intervallo (a,b) chiuso e limitato con -3 < a < b < 3;

Provo la convergenza uniforme in un intervallo [-1,1]

x = -1

∑⁺_k=0 (k+3) / 3_k * (-1)^k

applico Leibniz

lim_k→+∞ (k+3) / 3_k = lim_k→+∞ (k+5) / 3_k+1 = 1 / 3 < 1

La serie converge

Esercizio. Si consideri il campo vettoriale

F(x,y) = (^x_y) / (x² + y² + 1)

1. Dire se il campo è conservativo, e in caso trovare una U(x,y).
2. Si integri il campo lungo l'arco di circonferenza di centro C(0,0) e raggio 2 che sta nel primo quadrante.

- Si tratta di un dominio semplicemente connesso;

- F è di C¹(Ω) con Ω un qualsiasi aperto nel dominio di F.

rot F = ∂F₂/∂x - ∂F₁/∂y = 0 ⇒ il campo è irrotazionale

∂F₂/∂x = 4(x² + y² + 1)^-1 - 2xy / (x² + y² + 1)²

∂F₁/∂y = x(x² + y² + 1)^-1 - 2xy / (x² + y² + 1)²

Verificate le varie ipotesi, si può concludere che il campo è conservativo. Trovo U(x,y):

F = (F₁, F₂) = (^x_{x² + y² + 1}, ^y_{x² + y² + 1})

Integro rispetto a F₁ in x

∫ ^x_{x² + y² + 1} dx = ¹₂ ∫ ^2x_{x² + y² + 1} dx = ¹₂ ln(x² + y² + 1) + A(y)

Derivo rispetto all'altra componente y il risultato

¹₂ · ^2y_{x² + y² + 1} + A'(y) = ^y_{x² + y² + 1}

A'(y) = 0

A(y) = c

U(x,y) = ¹₂ ln(x² + y² + 1) + c

(∂U/∂x = ¹₂ · ^2x_{x² + y² + 1})

(∂U/∂y = ¹₂ · ^2y_{x² + y² + 1})

Esercizio: Applicare il teorema di Stokes per calcolare il flusso del rotore del campo

F(X,Y,Z) = (X², 1, Y²)

Attraverso la superficie:

Σ = {(X,Y,Z) ∈ R³ | Z = 9 - X² - Y², Z ≥ X + 4, Z ≥ 3}

∫_∂Σ F ds = ∬_Σ rot F dσ

Utilizzo il secondo membro

rot F =

= i (∂/∂y y²) - ∂/∂z (1) - j (∂/∂x y²) - ∂/∂z (x²) + k (∂/∂x 1) - ∂/∂y (x²)

= i (2y) - j (0) + k (0) = (2y, 0, 0)

Parametro per trovare il vettore normale:

X(μ, ν) = (μ, ν, 9 - μ² - ν²)

X_μ = (1, 0, -2μ)

X_ν = (0, 1, -2ν)

X_μ × X_ν =

= (2ν, 2μ, 1)

dσ = ||X_μ × X_ν|| = √(4ν² + 4μ² + 1)

n̂ = X_μ × X_ν / ||X_μ × X_ν|| = (2ν, 2μ, 1) / √(4ν² + 4μ² + 1)

∬_Σ rot F·n̂ dσ = ∫∫ (2ν, 0, 0)·(2ν, 2μ, 1) dμdν =

D = {(μ,ν) ∈ ℝ² | 3 ≤ μ ≤ 0, -√(9 - μ²) ≤ ν ≤ √(9 - μ²)}

= ∫⁰₃ ∫^+√(9-μ2)_-√(9-μ²) 4ν dνdμ

[Esercizio] Calcolare il flusso del campo:

F(x,y,z) = (x² - y², z)

Attraverso la superficie:

Σ = {(x,y,z) ∈ ℝ³ | z = x² + y², z ≤ 1}

Teorema Divergenza

∯Σ F ⋅ n dσ = ∽∽∽&OIota; div F dV

div F = ∂F₁ / ∂x + ∂F₂ / ∂y + ∂F₃ / ∂z = 2x - 2y + 1

Coordinate Cilindriche

• x = ρ cosθ
• 0 ≤ ρ ≤ 1
• y = ρ sinθ
• 0 ≤ θ ≤ 2π
• z = z
• ρ² ≤ z ≤ 1

= ∼∫01∼∫02π∼∫ρ21(2ρcosθ - 2ρsinθ + 1) ρ dρdθdz

= ∼∫01∼∫02π∼∫ρ212ρ2cosθ - 2ρ2sinθ + ρ dρdθdz

= ∼∫₀¹∼∫₀^2π[ρ²(1 - ρ²)(2ρ²cosθ - 2ρ²sinθ + 1)

= ∼∫₀¹∼∫₀^2π2ρ³cosθ - 2ρ³sinθ + ρ - 2ρ⁵cosθ + 2ρ⁵sinθ - ρ³

= 2π ∼∫01∼∫ρ21ρ - ρ3 dρ = 2π&left(&left(P2 / 2 - ρ6 / 6&rbar;ρ21&right) = 2π&left(&left(P2 - P4/4&rbar;ρ21&right) = π/2