X
message queue
dinamica
la di prò
coda di descritta X-Mmaxx1
X
lineare del
da
server sistema
un tipo
una essere =
non
un
lunghezza tasso
della , X/(x
di
media serviti
tasso i
con 1)
X o Mmaxso
in messaggi vergono
cui
ingresso massimo
coda messaggi con +
,
,
funzione della
effettivo tasso coda
della
di dimensione
in
servizio .
Si
a) dei
al
del
calcolino x
equilibrio sistema
punti parametri
variare
di
i e
per o
xx umax .
b) stabilità
Si la
studi dei equilibrio
di
punti .
In questo il lunghezza
a) della
sistema stato, coda sola
la
ha sola di
variabile X
variabile tasso
di e
caso X ingresso
, u
una =
una f(x
Risulta -Mmaxxis
f(x u)
u)
quindi
di x
ingresso
messaggi .
in con =
= ,
, (Xe flxe
vel rel=o
I tali che
di tutte In
equilibrio le
solo questo
punti caso
coppie
e
sono .
,
,
f(xe X
(Xe
ve) 1)-MmaxxeXe umueum
=Me
0 +
Me-UmaxXe =
= =
, o XMmax
che
Notiamo è
quando di
solo stato
lo compatibile
equilibrio ad
corrisponde valore
quindi
so
Xe e con
un
Per
fisico stato
X
valore lunghezza
il della /
coda ho
di equilibrio
della ho quando >
nessun una
non Mmax
Mmax e
=
. .
lunghezza
fisico
stato valore della
di equilibrio compatibile il della coda
xeco non con
b) fisico
Considero coda di
stabilità
lunghezza
compatibile della studiare
valore della
il locale
la
Per
solo il Xeso con .
caso If
(xe nel nel
(xe
di
equilibrio il calcolando
devo Ac
linearizzare sistema
punto nell'intorno
di =
un ,
, Me
(x xe u
X =
= ,
In of Amax-x)
Ae ,
questo =
caso = =
=
max X/(umex
22x x)
oX Mmax
X
Me
x=xe =
m = u
- =
, ,
Di
te
Poiché risulta
vede sistema
il linearizzato
che risulta asintaticamente
si so
Mmaxzo sempre conseguenza
.
stabile tutti stabili
localmente
quindi di asintaticamente
equilibrio
punti
tali .
sono
, e 3
Esercizio
Come la dinamica ecosistema
visto tramite
di le
può equazioni
animali di
descritta
interagiscono approssimazione
prima
in
due
in essere
cui
un specie
,
Lotka-Volterra note anche modello predatore
equazioni
come :
o
, ( Xm(H) Bxm(t)xn(t)
axz(t)
= -
2(t) Gx2(t)
* yxm(t) xz(t)
= +
-
60
Bro costanti dove Xs(t) la della mentre
opportune t
rappresenta
230 al
preda
popolazione tempo
e
con specie
pso ,
, ,
,
X2(t) 6
Si semplicità
tempot
la al BA
predatore
rappresenta specie <= 1
per 1 e
supponga 1
.
= =
1
. , ,
Si calcolino del sistema
punti di equilibrio
a) i .
b) la stabilità
Si dei
studi equilibrio
punti di .
Riscrivendo le forma
a) nella
equazioni *
I x1(t)(1
1(t) xz(t))
= -
X z(t) xz(t)(1 XI(t))
= -
- xen-(2)
(8)
facile sistema
verificare
è d'equilibrio
che ammette due
il Xer
punti = ,
(
Y1X2
X1
b) f(x) - G
Si ha =
= =
Xz
X2X2 - (i)
Per xessina
l'equilibrio =
xxes
che ha autovalore Pertanto risulta
l'equilibrio instabile
reale
parte > Xes
a .
0 .
un xen((
na
per l'equilibrio si
xer
ha
che di autovalori Di l'equilibrio
trarre
puramente conclusioni di
Ij
immaginari si
coppia
una Xez
conseguenza circa
non possono .
.
Utilizzando metodi analisi
di i
avanzati verificare l'equilibrio
che
potrebbe le
più due popolazioni
stabile
marginalmente
si xez e
tendono tale
ad oscillare equilibrio però ad
intorno
periodicamente senza
a convergere esso.
Esercizio 4 3
-
JEgE
L
L vig
Io
consideri problema
il del controll
velocità
Si veicolo
controllo di
(cruise La
della dinamica
di
un
v m
massa .
pendenza della del
è
del
della strada
velocità funzione tipo
della
valuda motore
della
dell'apertura
in
v e
u Bsin(0)) Gu
v yv
(x + +
-
= -
la dell'attrito forza
conto
costante
dove tiene dell'effetto
tiene
Bro
as della gravità
di tiene
o conto 1
, ,
della
So valvola
della
conto relazione
la l'apertura
componente l'accelerazione al
tra
aerodinamica impressa
esprime
e e
veicolo 0
.
di
al
del
Si sistema
equilibrio
calcolino variare
di
i punti e
a) n
b) studi la stabilità equilibrio
Si .
dei di
punti
Inquesto
a) valvola motore
della
ha del
il sola sola
stato la variabile
di
sistema apertura
variabile velocità di
caso una .
e ingresso
v una e
, X = ,
Risulta sin0)-yx
f(x conf(x
quindi Sn
n)
x (
u) +
+
= = -
, ,
I flxe Gueto
fixe Sue-CatBsind
di In X
(xe
equilibrio Bsimt)-yx
panti questo
che nel
tutte (a
nel
sole nel tali
le caso
.
0 <
sono coppie
e < + =
= o
= +
-
,
, , (a
fue
Occorre Brint) Sues BsinO)
(x l'equazione
Se soluzioni
distinguere quindi
due Se
ha equilibrio
. punti invece
ci
e di
+ +
non
casi sono
non .
/Sue-CatBsind
equilibrio
due stati di
ci sono Xe = j
BsinO)
(X
Suec
Considero solo
b) stabilità
la
Per locale (Xe
punti
il nel
altrimenti di
perché equilibrio equilibrio
studiare
di punto di
ci
caso + non sono un
. ,
linearizzare
devo te=o
sistema
il calcolando Actxixe
nel
(xe
di Inquesto
nell'intorno 28xx 28Xe
caso =
= = -
, nue u
xe ue
= =
xixe ,
none
, ,
/Jue-(atsint) -28/due-Latin
Occorre Ae
equilibrio positive
di sila
quindi Per velocità
distinguere Xe
due . =
casi =
Di positive linearizzato
velocità risulta
di tali
stabile
punti asintoticamente
equilibrio quindi localmente
equilibrio
il sistema punti
conseguenza nei di sono
, e
, ,
per
asintoticamente stabili
. 27/du-Casint
/Jue-CABsinO)
Per velocità ha Ae
invece
equilibrio
di negative si
Xe = =
- esponenzialmente
Di risulta instabile quindi tali
il linearizzato
sistema
velocità
equilibrio
di negative ,
punti ,
conseguenza e
per
nei
,
equilibrio instabili
di
punti .
sono
5
Esercizio K
frazione
la informatico
Si il
la
Sia di
di
dinamica computer infettie computer
consideri rete o di
di computer o
virus in numero
una
un .
infetto
infettati la
è
vulnerabili dinamica
vulnerabili
Poiché di
da munero
di
che computer nell'unità tempo computer
il 1-a
essere ciascun .
possono ,
Ka(1-a)
del del
è
virus tipo a =
calcolino
a) Si punti del
di equilibrio sistema
i .
la
Si
b) stabilità dei
studi equilibrio
punti di .
Supponendo k la
infetti mediante
computer tale che del
dinamica diventa
rate
die anti-virus tipo
immunizzati
i con y
possono un un
essere sy
ora o
Ka(1-a -r)
a j
= -
i ja
=
frazione
la di
dove computer
indica immunizzati
r .
così
calcolino del sistema
Si equilibrio
c) modificato
di
punti
i .
d) studi la
Se stabilità
.
ne frazione
In Risulta
di infetti
a) sola
ha computer
stato
questo sistema , ci
di sono
variabile ingressi
.
non
il =a e
una
caso ,
kx(1
f(x) f(x)
quindi x)
x con =
= - f(xe) KXe(1-ve)
tali In
gli questo
f(x)
soli
I che
punti stati
tutti
di equilibrio >
o
sono e =
caso
.
o 0
=
=
e =
equilibrio
Ci di
punti
solo due
dunque 1
0 Xe
Xe
:
sono e =
=
b) locale
la stabilità
Per studiare devo il
linearizzare calcolando
di sistema nell'intorno
punto
un xe ve
k
of 2kxe
Of questo
In
Ae Ae
caso =
= = -
·
o 2
x xxe XX Xe
=
K
Poiché (corrispondente
che equilibrio
vede in
al
il di infezione
punto c'è
si
o o cui
Xe
per caso
= non
linearizzato
il
Ko sistema
hate Di
nella instabile
retel risulta esponenzialmente
si conseguenza e
= ,
.
tale equilibrio è
quindi di instabile
punto .
Viceversa (corrispondente
il al sistema
il
-CO Di
punto infettil
tutti ha te
in
Xe computer
per si
1 conseguenza
caso
= i
cui ,
sono = .
localmente
è
linearizzate di asintoticamente
equilibrio
risulta stabile tale
quindi stabile
asintoticamente punto .
e [2]
I
Scegliendo
c) stato =
come =
x
kx1(1 xz) kx1(1
Xz xz)
siha y
x1 xz yx1
X1
-
=
= =
-
- -
- -
Xz jx1
= If(x11-X-X-T
f(x) f(x)
Di del sistema
stato
di
le con
equazioni X
conseguenza =
sono = [r(xes-xe-Ax
I fixel
tali che
tutti
equilibrio soli fixel
punti i questo
di In
vettori Xe
sono 0
=
1
e .
0 caso - o
=
e ,
Ie]
Quindi vettori
<-
![Esercizi svolti Calcolo numerico]()
Esercizi svolti Calcolo numerico
-
![Esercizi Geometria]()
Esercizi Geometria
-
![Sistemi lineari - Esercizi svolti]()
Sistemi lineari - Esercizi svolti
-
![Esercizi svolti geotecnica]()
Esercizi svolti geotecnica
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