Esercizi svolti di Meccanica dei solidi sulla soluzione del problema elastico di De Saint Venant

ESERCIZIO 1

PRESSO FLESSIONE

Risolvere

Sviluppo uno schema comodo per il calcolo delle coordinate del centro d'inerzia (x₀, y₀).

Sezione simmetrica → x_a=y_a, y₀=0

y₂⁰ = ^S_y2/_As^*

A^* = 2{5(6a - x_x) + 2x - 2} = 16e²;

S_y1 = Σ_iN_xS_y1 = O + 2{-(x_a)(6e²) = -24a³}

→ y₀^x = ^-24e3/_16e² = -³/₂x

Momento alla centrale d'inerzia (o; x_a=x_a; e₁)

I_ya^* = Σ_iΣ_N = ¹/₁₂(2x)⁴ = Σ₁x¹²(de + a)³ + (6e₁)(³/₂e)⁴ → = ^8θ/₃ θ: I_y

I_xy^* = Σ_iN_yx^* = ⁷/₁₂(e)⁴ +{(12) [³/₂]} + 2 ¹/12(e(6a)³ + 6(e) } = ¹⁴⁸/₃e⁴-I_z

(ĉ) = (-C⁰) × N_e3 = x₂^CN_e1-x^CN_e2

N = ᜰ

ESERCIZIO 1

PRESSO FLESSIONE

Risolvere

Sviluppo un asse comodo per il calcolo delle coordinate del centro d'area (_x0, _y0)

Sezione simmetrica → _x0= y_s, y₀ = 0

y_s2 = ^S_y2⁄_A^t

A^t = 2 [5a - 2a] + 2e - 2e = 16e² ;

S_y^t = ^3ᴵ⁄_2ᴵ=1 &sum S_yi = Ф2 + 2 [ -2a ] ( 6e²) - 24 a³ ⇒ y^0e = ^{- 24 e3}⁄_{16 e²} = - ³⁄₂ x

Momento attraverso centrale d'inerzia (o; x_dac, _ydat)

I^yt = ^3ᴵ⁄_2ᴵ=1 &sum I_yt2a = 1⁄12 (2a)⁴ + &sum 1⁄

12 [ (6e) e ]a³ + (6e)²( ³⁄₂-e^t)² = ¹¹⁸⁄3 E⁴ ; I_y

I^tx = ^3ᴵ⁄_2ᴵ=1 &sum I_xti = 1⁄2 (ea)⁴ + (12) [³⁄₂ ] e² + &sum 1⁄12 e (6a)³ + (6e) ( ^a⁄₂)² = ¹⁴⁸⁄3 ⊖⁴-I²

_m1 = (- C - O ) ⨯ N e &sub3 ; KE = N C _{N ec &gsub; ⨷ C C Nen Nc^-1]}

N = E [p_timo p_térón]

M₁ = x_cc_N = (-e)(-¹⁄₂) - eρl

M₂ = -x_nc_N = (-^e⁄₂)(-^ρ⁄_l) - ¹⁄₂eρl

σ₃₃(x_A x_L x_Z) = ^N⁄_A + ^M_z⁄_Ixx_n - ^M_z⁄_Izx_c

= - ^ρ⁄_16θ² + ^ρ⁄_8θ³a⁴x_z - ^ρ⁄_8θ⁴a⁴x₁ =

= ¹⁄₁₆ ⁰⁄_a² + ^3ρ⁄₈₈ ^{- ρ}⁄_a²x_z - ^3ρ⁄₂₈₆ ^ρ⁄_a³x_n x₂

1) ASSE DI SOLLECITAZIONE

m̂ = ερl_e + ¹⁄₂ ρ l_z

tg α = ^&Pie;⁄_nΔ = ¹⁄₂

= > x₂ = -2x₁

2) ASSE NEUTRO

σ₃₃(x_A x_L x_Z) ≠

= ¹⁄_b ¹⁄_a² + ^b⁄_θ⁴ x₃ - ^b⁄_2θ⁶ x_n > 0

=> n: x₂ = ¹¹⁄₃₇x_n + ¹¹⁄₆ã

3) SFORZO MASSIMO

σ₃₃(A₁) = σ₃₃(^Σ⁄₂ α - _2a) = - ⁴²³⁄₃₁₂₅₆ ^ρ⁄_a² = max σ₃₃

σ₃₃(b₃) = σ₃₃(⁼²⁄_lL𝔵) = ^-1394⁄₃₂₅₆ ^ρ⁄_a² = max σ₃₃

Esercizio 2

Συ → 0

Calcolare centro di taglio

Risolvo

Fissiamo un asse comodo per il calcolo del centro di area

ȳ = x₂ → ȳ° = 0

ȳᴺ = Σyᴺ Aᴺ = 3/8 a

3eS = -3/8 a

Aᵍ = 2(3eS) + 1eS = 8eS

5y̆ᴱᶧ = 0 + 2{ 3eS( a/2 ) } = 32eS

Ι̇ ᴺᵪᵪ̇, Ι̇ ᵢᵪᵦ - 2 Ι̇ ᵢᵦᵦ̇ = 1/12[3eS]ᵅ + 1/12 s(3x2)ᵅ + (3eS)

Ι̇ ᴱᵪᵪ̇ = 1/12 s (2e)ᵅ + 1/12 s(3x0)ᵅ + (3eS)

= 20/3 eᶜ s = Ι̇₂

Forza applicata sulla linea

σ₃ = - Rₐ e₁

σ₃ᴺ = -Rᶜ/s

- ) η₂ ∈ (0, 2a)

σ₃₂(η₂) = - _Pn/^a2 3/20 {s η₁(-e₁)}

= _Pn/^a2 3/20 η₂

σ₃₂(η₂ ≥ e) = P_n/^e3 3/20 η₂

σ₃₂ η₂ = - _Pn/^a2 3/20 {s η₂(-e)}

- ) η₂ ∈ (0, 2a)

σ₃₂(η₂) = _Pn/^a2 3/20 {s η₂(-e)}

σ₃₂(η₂ ≥ a) = _Pn/^a5 3/20 η₂

a = P_n/^a₅ 3/20

σ₃₂(η₂ ≥ e) = _Pn/^a₅ 8/20

σ_3n = σ_3y 8

η₃ ∈ (0,2a)

σ₃₁(η₃) = _Pn/^a₂ 3/20 (s η₃ (η₂ - e))

= _Pn/^a₅ 3/20 (s η₃ (20 - η₃))

σ₃₁(η₃ ≥ e) ⩰ _Pn⁴/^a₂₅ 3/40 = σ_d^A_3n = σ_d^B_3y

σ₃₁(η₃ ≥ e) ⩰ _Pn^a5/^a₅ 8/10 + _Pn/^a3 3/40 {s (e (20 - e))}

{σ_3n^Amax = σ_3n^C3n = _Pn/^a₅ 21/40 }

Settembre 2021

Esercizio 3

Calcolare σ₃₂ nel punto

Risolv. Fisso un nastro comodo per il calcolo delle coordinate del centro di massa.

(b; y₀₁; z₁)

A₀^A = 3a + a + l (2a; e) = 7a²

y₀^o = 0

y₀^A = 5y₄^A = 60 6³ a7a²

S_yA^{A, ++} = 0 + 2 {20 2 (3 a) ( ³/ _2³) = 60 2

Diamo un nastro inverso a+ id_N presso (o_l x₁ x₁) che il centro d'inerzia

I_xA^A = I_x + I_m²² = {= ¹/ ₂ (3a)(a)³ + (2c)(e)( ⁶/₇ a²) + 2 ( ⁷/₁₂) (a)(b₂) + (e)(1_c) ( ³/ _c1 ¹²) }

= ¹/ ₁₂ 3a⁴ + ¹⁰⁸/ ₄₉ a² + ²/ ₃ a⁴ + ⁸¹/₈₂ a² = ⁴⁵⁷/₈₄ a⁴

* Utilizzamo l'algoritmo della corda 11 esercizio, subtituiti di volti un volte il insieme avvolgione dinave

η₁ = (β₁; o)

d₃₂(η_A) = ^p/ _Ix2 ≈ - √5₉ η_A(M_A) =

= ( ^p/ _9o ) ⁸⁴/ _{45 a²} { ++( ¹)/ _2³ { (e) (1_c1) }

d32(ηA-a) = {(D/ o5 84/ 45(7) = (e/ 12) 48/ 14 o)(2c)(a)

η_n ∈ (0,20)

σ₃₂(η_n) =

σ32(ηn = 2a) = (-p/a2 42/457 ) ( 9/7 a2 ) = 408/457 = 0.36 p/a2

σ32(ηn = 2/3 η2 a) = (-p/a2 42/457 ) 2 ( 2/3 a2 ) = 1587/6358 ~ 0.268 p/a2

σ32(ηn = a) = (-p/a2 42/457 ) 2 ( 8/7 a2) = 86/457 p/a2 ~ 0.121 p/a2

Giugno 2023

Esercizio

1) Diagramma dello sforzo tangenziale

Fisso un sda centrale d'inerzia (0; x₁, x₂) e calcolo il momento d'inerzia

I_xxⁿ = ¹/₁₂ 5(|e₂|(|e₁|)³) = ¹/₁₂ {|2a|(|e₃|)³} = ⁵/₃ a⁴ =: I_n

I_yyⁿ = ¹/₁₂ 5 ( ^|3/₂ (|e₁ ²) ^{a4 (e₁)/₂ |e₁| 2/3a4}

Riesce il metodo dell'algoritmo della corso di Sovrasuck, adattato si volte a volte in massima unidiriscia opportuna

x₁n₁є(Ł_żŖ)

d₃₂(η₂) = -_P/^s₁I_n - s₁α₂- -^P/_{ai0 - ⁴⁸/53 {24(σn) ( ^ηγ/2 1 (η)¹/2 )}}

d₃₂(η₁Ɛ_ż) = -^P/_{ai 48/^53a5 - u² = ^P/Ц^{II 5}/3qæð}

x₃₂ (ƃ) = ^P/_a^υ1n2

ɸ₃₂ (η) = ^P/₂ ¹²/₅₃ {o₃ q³} ₁₅/^10g = ^P/_a^c

-η₂ (Ц) ( ^c/_ä ) = ^P/_Ԙη [{-o³ 1_2αΗ^{η2 е₃ ηγ₂(ƐЯ)} ]}

d₃₂ (Ƃ) = ^P/_2αIn { - ǝ³ +n^{3useq t₁₂}/₁₆ } q² } ф = ^P/_foLn - ¹²/_16c ц₄г = _3f¹/₀

σ_z = (ρσ_zE)

σ_3λ (x₁) = -_ρ⁄_a I₂ [₉⁄₄α³ + θ_g2 (δ₁⁄₂ - 1a)]

σ_3λ (a) = _ρ⁄₃ I₁ [3⁄₂ (ε⁄₂ I - 2ε)₂] = -_ρ⁄₃ I₂ [3⁄₂ I (ε⁄e)]

σ_3λ (a-x₂) = -_ρ⁄₃ I₁ [3⁄₂ I (ε⁄2e - 2a)] = -₂₇⁄₁₂₄ I₂ [5⁄₄α³]_{= 27}⁄₁₈₂₄ ρ⁄a²

tg2∊(g₂)

_θx_3λ (δx2 - a) = -_ρ⁄_e I₂ [₁₁⁄₄α³] = ₃₃⁄₈ I₂ [ρ⁄α²]

• ρ
• x₂
• x_A
• y_A

I - a = (₂₇⁄₁₂₄ I_A^- + ₅⁄₁₀₆ I₂ e₁ - ρ⁄e)

Ε_B = (₃₃⁄₈₂ e₄ + ₄₆⁄₁₀₆ e₁ e₀ e₁ ρ⁄α²)

Febbraio 2024

Pressione flessione

σ applicata su un pto. dell'asse di simmetria e = centro di pressione

M: asse neutro

1. diagramma dello spe sforzo normale

σ: su un mol. conside per il ratlio della cross. bom infliu (b₁; y₁; y₄) La strider poi essere pktata csìon un orb argo.

A^yk = (4a - 6e) - (2a - 12e) = 3Qa²

y₄^o = 0; y₁ = 5y₄^h = = -^3a3/ ^13Q2 - - ¹/₆a

Y₄^g = ^o - (2o - 3e) - (e/2) - / = - 3²a³

σ:no un per msm na il moarto sfr.

(0;x₁;x_{k) dei x^{centrali dmue-e}}

I^{yk = I_ym Iyn₅ = _1/12 uno a(6σ)3 + (qa)(voc] (o2/₆)2(3a) - 4 = - = 1/_nn(3α)(Q)2}

E' un problema di presso-flessione.

P_e applicato nel punto c di coordinate (0; x_c; c/2), si costruisce il momento risultante \(e₁ e m_e = trasportato de forza nel centro d'inversa delle sezioni.

Il componente momento di trasporto vale

m^_ = [(c-o) x n e₃ = (c-o) x (-P_ee₃) = x_c e/c/2 x (-P_ee₃) - x_cc/c/2 e/c/2 x (-P_ee₃)]

H₁ : = - x_c c P

PROBLEMA DI PRESSO-FLESSIONE = FORZA NORMALE + FLESSIONE RETTA

1) CENTRO DI PRESSIONE

Sappiamo che la stressa normale è dato de

\[\sigma_{33}(x_2) = \frac{-P}{A} + \frac{M_{f_{1}} + J_{m}}{J_{a}\cdot c} x_2e_{-1}\]

\[= \frac{-P}{c/2} - x_cP

=\frac{-P}{c/2} - \frac{2 x_c cp/1_{31}a\cdot \tau^{4}}x_{2} \]

\[ \leftrightarrow \phantom{x} x_2 = -\frac{a^2_{213}}{36} \leftrightarrow \frac{1}{x_c} \]

-> x₂ = -\frac{1\cdot 31 a^21}{36b}*1/x_c

Le up in decurur el dem he equerent x₂ = \frac{13}{6} a

\[\frac{13}{6}a\] : \[=\frac{1_{31}e^{2}_{-36}}\] \[1_{x_c}}\]

\[\Longrightarrow x_{2}c = \frac{1\cdot 31}{78}a,\] ^_ _{_*_=£107,a$}

In decurur se el dem he equerent x₂ = \frac{13}{6} a

\[\frac{13 \cdot -1}{6} a\] ^{sol _ he equerent} x₂ = \frac{13}{6} a

_{13 6 a \cdot - a_{31}^{2} \]| 36}

\[\Longrightarrow x_{2}c = \frac{1\cdot 31}{78}a, a/%>\] ^_ (a

\[\sigma_{33}(x_2) = - \frac{P}{c3*2} \text{ + \text{\ (mirteen less)}12}

\text{x2}\]

2)

DIAGRAMMA SFORZO NORMALE

3)

SFORZI TANGENTI

Sui bordi dello scavo:

σ'₃₃ ^(18/6e) = f/38qe = σ'⁺_max

σ'₃₃ ^(-19/6e) = -5f/38qe = σ'^-_max

Esercizio

Flessione Uniforme

Risolvo

1. Asse neutro della sezione

Fisso un s.r. (O; x₁, x₂) due l'centrale d'inerzia

Calcolous: momenti d'inerzia

I_x1 = ¹/₁₂ (2a)⁴ - ¹/₁₂ a ( ^a/_l )³ = ^a4/₁₂ ( ¹⁶/₈ - ¹/₈ ) = ¹²⁷/₉₆ a⁴

I_x2 = ¹/₁₂ (2e)⁴ - ¹/₁₂ e (e)³ = ²¹/₂₄ e⁴ = ¹²⁶/₉₆ e⁴

m = ^m/_√2 e₁ + ^m/_√2 e₂

σ₃₃(x_n, x_t) = ^M₁/_In x₂ - ^M₂/_I2 x_n

σ₃₃(x_n, x_t) = ^m/_{√2 l} ( ¹/_In x_t - ¹/_I2 x_n )

σ₃₃(x_A, x_L) =

σ₃₃(x_N x_L) =

σ₃₃(x_n x_L)

^m/_Vz(¹/_In - ¹/_IL) x_n

S: asse di collocazione

1. m σ₃₃ ∅ => x_L = ^I_L/_In x_n - ¹⁷/₁₂₄x₁

m x_L = ^nI/_nlx_n

2. S: x_L² = x_A

σ₃₃(A) = σ₃₃(a₁, e_I) = - ⁶⁰²⁴/_3837√z ^m/_e³

σ₃₃(b) = σ₃₃(-e_L) = ⁶⁰²⁴/_3837√z ^m/_e³

Luglio 2023

Flessione non uniforme

1) Diagramma dello sforzo tangenziale sulle sezioni

Fisso un asse orizzontale: conviene per il calcolo del centro d'inerzia o

Aʹʺ = Aʹ + 3A = 3αs + 3(es) = 6αs

y₀ = 0 ; y₀ = -_SyZ/^Aʹʺ

S^yʹʺ = S^yʹʹ + 3S^yZ = 0 + 3 {αs [(^e/₂)]} = ³/₂ e ²s

y_g = ^Syʹʺ/_Aʹʺ = ³/₂ e ²s / 6αs = ^e/₄

Direi di poi scrivere solo il numero seno (0; x₁ x₂ x_z) dei centrali d'inerzia

*Seguendo l'algoritmo della carris di sui quarsi * meccanismo di Taglio il profilo liu camentoe cade

Oposinamente lo sforeo puntuare sulle carrie con il mio ulato mediu