Meccanica dei solidi - meccanica del continuo

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Aggiornato il 21/04/2026

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Appunti di Meccanica del continuo per l'esame del professor Bigoni su: Concetto di deformazione. Concetto di tensione. Cerchi di Mohr. Equazioni indefinite d'equilibrio. Il legame elastico …

Esame Meccanica dei solidi

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Bigoni Davide

Università Università degli Studi di Trento

A.A. 2011-2012

82 pagine

Appunto

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Estratto del documento

Meccanica dei solidi parte II

Cinematica del continuo: deformazione

x = x_o + M(x_o) (conformazione attuale) (sottointendere voxel di riferimento) (campo di spostamento)

Fissata la trasformazione y(x_o).

Restrizioni su y(x_o)

Invertibile (NO COMPENETRAZIONE) (due punti non possono collassare in un punto)
Continua con le derivate (NO FRATTURA) (un punto non è quindi app divisibile)

M(x_o) = M^rigida(x_o) + M^deformazione(x_o)

M^rigido(x_o) rotazione + M^traslazione(x_o)

Dilatazioni (unidimensionale)

lunghezza iniziale l_o = x_B^o - x_A^o

lunghezza finale l = x_B - x_A

l_ox_B^o + M(x^o_B) - x_A^o - M(x^o_A) = l_o + M(x^o_B) - M(x^o_A)

Δl = M(x₀^B) - M(x₀^A) > 0 allungamento

Δl = 0 solo sotto sforzo

Δl < 0 accorciamento

Stirate

λ = ^l/_l₀ = ^{l₀ + Δl}/_l₀ = 1 + ^Δl/_l₀ [adimensionale]

λ ≫ 1 allungamento
λ = 1 sotto sforzo
λ ∈ (0, 1) accorciamento
λ > 0 sempre

Δl ∈ (-l₀, +∞) limitazioni Δl

Deformazione ingegneristica

ε = ^Δl/_l₀ = λ - 1 = E⁽¹⁾

Deformazione naturale

γ = ^Δl/_l₀ = ^Δl/_{l₀ + Δl} = ^γ/_λ = ln λ = ln (1 + ε)

Deformazione Lagrangiana di ordine n

E⁽ⁿ⁾ = ¹/_nlⁿ = ^{l_n - l₀ⁿ = ¹/_n (λⁿ - 1) = ²/_n [(ε + 1)ⁿ - 1]}

Deformazione logaritmica

E⁽⁰⁾ = ln ^l/_l₀ = ln λ = ln (1 + ε)

Serie attorno a λ ≃ 1

f(λ) = f(λ = 1) + ^{d f}/_{d λ} |_λ=1 (λ - 1) + σ (λ - 1)²

* ε: λ = 1
** γ = ¹/_{1 + ¹/_λ} = ¹/_{1 + ¹/_{λ - 1}} (γ - ¹/_λ)|_|λ=1 + ¹/_λ² |_|λ=1 (λ - 1) + σ (λ - 1)²

Definizione di deformazione in termini totali

16/09 ε = 0

E = ΔL / L₀ Definizione di deformazione in termini totali

ε è solamente un "numero" moderato (non puntuale)

Definizione deformazione puntuale

E₁₁(x₁) = lim_Δx₁→0 M₁(x₁+Δx₁) - M₁(x₁) / Δx₁ = dM₁ / dx₁

E = 1 / L₀ ∫₀^L₀ E₁₁(x₁) dx₁

E_α,1(x) = ∂M_α / ∂x₁ = M_α,1

m_i,j = ∂m_i / ∂x_j

E_2,2(x) = ∂M₂ / ∂x₂ = M_2,2

E₃₃(x) = ∂M₃ / ∂x₃ = M_3,3

Deformazione volumetrica

E_V = V - V₀ / V₀ = v / v₀ - 1 = (1 + E₃) = (1 + E₁₁)(1 + E₂₂)(1 + E₃₃) - 1 = 1 + E₁₁ + E₂₂ + E₃₃ + σ(E²) - 1

E_V = E₁₁ + E₂₂ + E₃₃ Se E_V = 0 → deformazione isocorica.

Scorrimento

Deformazione con variazione di volume nulla (;x₂¹) (x₂⁴) arcctan(;&grave;₁₂) μ_1,2 = δ₂⁽¹⁾(x₂ - x₂¹) μ₁₂ perimetro di deformazione_xM₁₂ / _xx₂ = y₁₂⁽¹⁾(x₂ + δx₂ - x^A₁) / δx₂ = ... x₂ y⁽³⁾ (piccole approssimazioni) y₁₂⁽¹⁾ d _xx₂ / d_xx₂ = M_x2 π / 2 - θ : orizzon y₁₂⁽¹⁾ x₁₂ ⁽¹⁾ (vouns) Speriment 12 simplica ia direzion 2 M_π = 0

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