Esercizi De Saint Venant

Raccolta con più di 20 esercizi interamente svolti sulla Teoria del De Saint Venant elaborati dal publisher sulla base di appunti personali e frequenza delle lezioni della professoressa Nerilli, dell'università degli Studi di Firenze - Unifi. Scarica il file con le esercitazioni in formato PDF!

Esame Scienza delle costruzioni

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Nerilli Francesca

Università Università degli Studi di Firenze

Publisher erik9922

A.A. 2020-2021

91 pagine

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Esercitazione

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3.

Si consideri la trave a mensola di lunghezza L=4 m con sezione costante (a= 12 cm) rappresentata in figura, costituita da un materiale elastico lineare isotropo. Sulla trave agisce una forza F=15 kN applicata nel punto C posizionato sull'asse di simmetria ad una distanza a/2 dal bordo inferiore, come rappresentato in figura. Calcolare:

Calcolare il baricentro della sezione (1 punto).
Le inerzie della sezione Ix, Iy, Ixy (3 punti).
Lo stato tensionale che agisce sulla sezione: diagrammi delle tensioni per ogni sollecitazione agente (4 punti)
valore massimo e minimo delle tensioni per ogni sollecitazione agente (2 punto)

X_G = a/2 = 12/2 = 6 cm

b = a + a/2 = 12 + 6 = 18 cm

X_G = 6 cm

y_G = 9,86 cm

I. Inerzia della sezione:

Inerzia rispetto a x e z; rispetto a y: (Jx e Jy)

Ix = _{a b³}/¹² + ab ( y_g - _b/² )² = ^a³/₃ - ^{a²(y_g - _a/² )²}/₁₂

= ^{12 . 1³}/₁₂ + ^{12 . 1³}/₁₂ . ( 9, 18_{- a²}/¹²

= 332 + 2 . 16 . 0.1786 = 576 - 3. 145 . 18 = 0,66 cm⁴

Ig = _{b a³}/¹² - ^b²a/₁₂ = ^b³/₁₂ - ^a⁴/₃₂₄ =

= ^{18 . 1²}/₄ - ^12³/₂₇₂ . ¹²/₂₂ = 2528 cm⁴

Inerzia deviatrice I_xy:

I_xy = ∫_A xy dA - I_xy = A₁ x_gy₁ - A₂ x_gy_e

I_xy = ab . b ^a/₂ [ ^a(^a/₃).(^a/₂) + (^{2 a}) =

= ^a²b/₄ - [^a²/₃ . ¹/₂ a . a = ^a²b/₂ = ^a²/₆ =

= ^{12² 18²}/₄ - ^12²/₆ = 8208 cm⁴

I_{x_{O y}} = 0 - asse y_O baricentrico

I₃ = det(I) = 10

Quindi, avremo che:

det(J - σI) = -σ³ + I₁σ² - I₂σ + I₃ = 0

= -σ³ + 15σ² + 85σ - 915 = 0 da cui ottengo:

σ₁ = 8,32 MPa

σ₂ = 6,56 MPa

σ₃ = 16,75 MPa

TENSIONI PRINCIPALI

σ₁ σ₂ σ₃

0 0 0

Abiamo 3 tensioni principali e i 3 invarianti di tensione diversi da zero, quindi abiamo uno STATO TRIASSIALE DI TENSIONE

Direzioni Principali di Tensione:

Prima direzione principale:

(T - σ₁I)m = 0

(T - σ₁I)

m₁ 18,32

m₂ 5

m₃ 1,32

4.

Si consideri la trave a mensola di lunghezza L=3 m con sezione costante (a= 15 cm) rappresentata in figura, costituita da un materiale elastico lineare isotropo. Sulla trave agisce una forza F=10 kN applicata nel punto C posizionato sull'asse di simmetria ad una distanza a/2 dal bordo inferiore, come rappresentato in figura. Calcolare:

Calcolare il baricentro della sezione (1 punto).
Le inerzie della sezione Ix, Iy, Ixy (3 punti).
Lo stato tensionale che agisce sulla sezione: diagrammi delle tensioni per ogni sollecitazione agente (4 punti) valore massimo o minimo delle tensioni per ogni sollecitazione agente (2 punto).

La sezione è simmetrica rispetto all'asse y:

X₉ = ^a/₂ = ¹⁵/₂ = 7.5 cm

b = ^a/₃ + a + ^a/₂ = 5 + 5 + 7.5 = 17.5 cm

A = a·b - ^(a/2)² = 15·17.5 - ^15²/₄ = 237.5 cm²

sₓ = ab - ^a/₂(^a/₆ + ^a/₂)

= ^a²b²/₂ - ^a²/₃ ^a²/₃ ^a²/₂ = ^a²/₂ - ²/₂₇ ^a³ = ^15·17.5/₂ - ²/₂₇ ^15³

= 2046.87 ^cm⁴

G₉ = ^2046.87/_237.5 = 8.618 ^cm

X₉ = 7.5 cm = 75 mm

G₉ = 8.618 ^cm = 86.18 mm

Diagrammi sforzo-tensioni

T = -Fx

Mj = Fx·z

z = 0 ⟶ Mj = 0

z = l ⟶ Mj = Fx·l

N = 0

Taglio:

τ_zx = Fx ^S(M_z)/_{I_y·b}

S_x(M_z) = a M_z (X_G - M_z/2)

S_x(M_z) = a M_z (X_G - M_z/2) + a

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