Esercizi De Saint Venant

Name: Esercizi De Saint Venant
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Author: erik9922

Revisionato il 08/07/2026

di erik9922

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Raccolta con più di 20 esercizi interamente svolti sulla Teoria del De Saint Venant elaborati dal publisher sulla base di appunti personali e frequenza delle lezioni della professoressa …

Esame Scienza delle costruzioni

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Nerilli Francesca

Università Università degli Studi di Firenze

A.A. 2020-2021

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Esercitazione

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Estratto del documento

3.

Si consideri la trave a mensola di lunghezza L=4 m con sezione costante (a=12 cm) rappresentata in figura, costituita da un materiale elastico lineare isotropo. Sulla trave agisce una forza F=15 kN applicata nel punto C posizionato sull'asse di simmetria ad una distanza a/2 dal bordo inferiore, come rappresentato in figura. Calcolare:

Calcolare il baricentro della sezione (1 punto).
Le inerzie della sezione Ix, Iy, Ixy (3 punti).
Lo stato tensionale che agisce sulla sezione: diagrammi delle tensioni per ogni sollecitazione agente (4 punti) valore massimo o minimo delle tensioni per ogni sollecitazione agente (2 punto).

b = a + a/2 = 12 + 6 = 18 cm

x_G = sx A

y_G = ^{ab (^b/₂) - a (a - 2 ^a/₃) ^a/₂}/_{ab - a (a - 2 ^a/₃)} = ^{a²/₂ - (^a³/₂ - ^a³/₃)}/_{ab - ^a²/₃}

= ^a²/₂ - ¹/₆ a² = ^{3ab² - a³}/_{6 3ab - a²}

= ^{3 . 12 . 18² - 12³}/_{6 . 12 . 18 - 2 . 12²} = ²⁹³³⁶/₁₀₀₈ = 9,86 cm

x_G = 6 cm

y_G = 9,86 cm

3. Si consideri la trave a mensola di lunghezza L=4 m con sezione costante (a= 12 cm)rappresentata in figura, costituita da un materiale elastico lineare isotropo. Sulla trave agisceuna forza F=15 kN applicata nel punto C posizionato sull'asse di simmetria ad una distanzaa/2 dal bordo inferiore, come rappresentato in figura. Calcolare:

Calcolare il baricentro della sezione (1 punto).
Le inerzie della sezione Ix, Iy, Ixy (3 punti).
Lo stato tensionale che agisce sulla sezione:diagrammi delle tensioni per ogni sollecitazione agente (4 punti)valore massimo o minimo delle tensioni per ogni sollecitazione agente (2 punto)

La sezione è I simmetrica rispetto a un'asse verticale.X_G=^a⁄₂=¹²⁄₂=6 cmb=a+a⁄2=12+6=18 cm

y_G=^{ab^b⁄₂-a(a-²⁄₃)^a⁄₂}⁄_{ab-a(a-²⁄₃)}=^{ab²⁄₂-(a²⁄₃ - ^3a²⁄₃)^a⁄₂}⁄_{ab-(a²-^a²⁄₃)}=

=^{a²⁄₂ - (^a³⁄₂ - ^a³⁄₃)}⁄_ab-^1⁄3a²=^{a²⁄₂-¹⁄₆a²}⁄_ab-^1⁄3a²=^{3ab²a³⁄₆}⁄_{3ab-a²⁄₃}=

=3ab²a³⁄_6ab-2a²=^{3 12 18²-12³}⁄_{6 12 18-2 12²}=^293.36⁄_100.8=9.86 cm

X_G=6 cmy_G=9.86 cm

Inerzia della sezione

1. Inerzia rispetto a x e rispetto a y:

I_x = 4700.66 cm⁴

I_y = 2528 cm⁴

2. Inerzia deviatoria I_xy:

I_xy = 3208 cm⁴

I_xGyG = 0 — asse y_G baricentrico

Stato tensionale agente sulla sezione:

F = 15kN = 15000NL = 4m

Mx = 15000 (a - y_G) == 15000 (12 - 3.86) == 321000 N ⋅ cm = 321000 N ⋅ mm

La forza F è applicata in C, punto diverso dal baricentro, si genera quindi un momento flettente Mx. Siamo in presenza di: sforzo assiale e flessione retta.

Sforzo assiale:

σ_t = N / A = F / A = 15000 N / 168 cm² = 0,89 N / mm²

A_tot = 2 a ⋅ a₂ + a a = 2 a² + a² / 2 = 7 a² / 6 = 7 ⋅ 12² = 168 cm²

Lo sforzo assiale risulta costante su tutta la sezione.

Flessione retta:

σ_{t min} = Mx / Ix y = Mx / Ix (- y_G) = 321000 / 9700,7 (- 9,86) = -66,33 N ⋅ cm / cm² = -0,67 N / mm²

σ_{t max} = Mx / Ix y = Mx / Ix (b - y_G) = 321000 / 9700,7 (18 - 3,86) = 55,87 N ⋅ cm / cm² = 0,57 N / mm²

Diagrammi delle tensi

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