Esercizi svolti di esami passati di Fisica 1

Esame 20/04/22

Problema 1:

Una rampa di lancio è formata da un arco di circonferenza come in figura, di raggio R, senza attrito. Si lascia cadere un punto materiale M a partire dall'angolo θ₀ = π/2. L'angolo di uscita è θ₁ = π/4. Si trascuri la resistenza dell'aria.

1. Determinare la velocità di uscita v₀.
2. Determinare la gittata L a partire dall'ascissa del centro della circonferenza.
3. Determinarte l'altezza massima h.

1) Conservazione dell'energia con zero dell'energia potenziale in C

¹/₂ mv₂ = mgR cosθ₁ da cui: v₀ = √2 gR cosθ₁= gR √2/2 = √gR

2) Dopo il distacco il moto è uniformer in direzione orizzontale e uniformemente accelerato in direzione verticale

Le velocità iniziali sono:

v_0x (0) = v_x (0) = v₀ cosθ₁ = √2₂²

v_0y (0) = v_x (0) = v₀ sinθ₁ = √2/2 √2

la lego dei moto è:

x(t) (T) = v₀ T_x cosθ₁ = √2 v₀ t + √2

y (t) T = t²/2 t₂ R (1-cosθ₂) = -¹/₂ g t² + ¹/₂ √2/2 v₂ +2 √2/ R

3) l'altezza massima h è data da v_y = 0

per cui: -gt² + v_y (0) T = 0→ t² v_y t = v_y (0) -gt²

h= y(T)

Problema 2:

Il sistema in figura è composto da un piano inclinato di un angolo α = π/4, un disco omogeneo di massa m, e raggio R e da una molla di costante elastica K e lunghezza a riposo nulla. La molla è ancorata a distanza 2R dal piano. Tra disco e piano c'è attrito statico con coefficiente μ.

Domande:

1. Determinare l'allungamento L della molla perché il sistema stia in equilibrio.
2. Determinare l'equazione di moto del disco in funzione dello spostamento x dalla posizione di equilibrio e il periodo di oscillazione.
3. Determianre il valore minimo di μ perché il disco non slitti durante il moto, supponendo di far partire il sistema a distanza X dalla posizione di equilibrio.

1) Scrivendo la seconda cardinale con POLO A, abbiamo:

- mgRsinα + 2RkL = 0 => L = mg/2k

2) Scrivendo la seconda cardinale con POLO A nel caso dinamico, abbiamo:

- mgRsinα + 2RL(K(L+x)) = Iθ̈

Dove I = 3/2 mR² è il momento d'inerzia del disco rispetto ad A, θ è l'angolo di cui è ruotato il disco a partire dalla posizione di equilibrio, collegato a x da X = θR

Da qui: -mg + Lk (L+x) = 3m ẍ

E sostituisco L = mg/2k

ẍ = - 4k/3m x

Che è l'equazione di un moto armonico con pulsazione

(ω² = 4k/3m)

e periodo T = 2π/ω = π √3m/k

3) I° cardinale nella direzione del piano inclinato (x)

mg sinα - k (L+x) + Fa = m ẍ

Con Fa Forza di attrito da determinare

Inserisco L = mg/2k e ẍ = 4k/3m x

Fa = -1/3 kx - 1/4 mg

E ottivamente il valore massimo di Fa si ha per X=x (allo partenza)

Nella direzione y ci ho: -mg cosα + N = 0

La condizione di non slittamento:

⎟Fa⎮≤ μN = μmg cosα = √3/3 μ mg

e quindi

μ > √3/3 (1/3 k/mg +1)

Problema 3

Una mole di un gas perfetto monoatomico si trova nello stato di equilibrio A. A partire da tale stato, il gas effettua una dilatazione isoterma che lo conduce al nuovo stato di equilibrio B, seguita da una trasformazione isocora da B a un nuovo stato C con temperatura T_A. Infine, una compressione adiabatica riporta il gas allo stato iniziale. Si supponno tutte le trasformazioni del ciclo quasi-statiche.

1. Rappresentare il ciclo nei piani (P, V) e (T, S).
2. Calcolare le variazioni di entropia associate alle trasformazioni A → B e B → C.
3. Calcolare il rendimento η del ciclo in funzione del rapporto X = T_A/T_C. Che differenza rappresenta questo rendimento del ciclo di Carnot operante tra le stesse temperature T_A e T_C per X = 2?

1) L'entropia di un gas iscora è: S(T) – S(T0) = ∫ T0 T ( dq/T ) = n cV lg ( T/ T0 )

e inversendo T(S) = T₀(S – S₀ / nc_V

2) ΔS_BC = nc_v) ln( ^T_C / T_B mentre quella A → B (isoterama) si cottiene calcolando i lavoro del ΔS_AB = ^∫_AB nR In ^{U_B /}U_A e quarita e quindil

3) per trovare η si calcolano i calori Q_AB e Q_BC Q_AB = nRT_A ln ( ^V_B /V_A) = RT_A ln (V_C / ) = ^nRT_B ln( _TA)

Do qui, Considerado che r-1 = _R/nc_{V, η = 1 + ( ^QBC/sup>) (QAB) = 1 – (^{TA – TC}} / T_A) * ln ( ^x-1 / XlnX

mentre η_c =1- ^{T_C / T_{A = 1 –}}