Esercizi svolti – Analisi dei sistemi LTI a tempo continuo

(TI

sistema

il ! X1 M

= X1 +

-

Xz +

2x2 3x3 M

= X1 +

-

X3 X3

=

y = 5x3

5x2 M

+

-

=

la funzione

Calcolare

a) trasferimento

di sistema

del ;

b) la

studiare stabilità interna sistema

naturali del

modi

i

e ; ess(t)

risulta

iniziale risposta yelt)

libera

x(0)

d Trovare la

esiste condizione cui essere

una

se per = ;

,

,

d) esterna

stabilità

la

Studiare . [2]

Adj(s)-A)

suggerimento =

: 1

-

-

="

00

A 5]

10

Per B D

1 C

considerato

il ha

sistema 1

a) 5

=

si = =

- .

.. ,

-0

- & -51

Il è 1)(s 2)(s

(sl-A)

Y(s) det

det

polinomio sistema 1)

del (s

caratteristico +

+

53 =

= = -

((sl-A)

la funzione D

trasferimento

di B D

G(s) A)B

(Adj(s)

G(s) e)

calcola

si +

+

come =

= -

- =

O

O

52 2

S

+ - 5)]

5] [ -5(s

10

Essendo 1)

(Adj(sl-A) 5(576s

5(s2

32-1 1)

5 +

-

35

1

= - -

-

- -

+2

O 5)]

Risulta I 5(s-1)

(sl-A) B 5(52

CAdj 1)

5(5263

1) 2)

5(s 1)(s

s

5(s

+ 1

= +

+

- - =

= -

- - -

- -

Di ricordando G(s) -1)(s

effettuare tutte 2)

che devo 4

ha -5(s

semplificazioni

le 5 S

+

, 1

conseguenza si = 1 -

-

+ + =

=

, 1)(S 2) (S 1) (S

(s 1) 1

+

+ + S+

-

b) del

Gli .

radici del

autovalori le Y(s) In

sistema autovalori

caratteristico

polinomio questo

sono ci 3

caso sono

molteplicità 13

no

algebrica

/2 autovalore

Poiché

As

X1 tutti unitania

di

1 con

-1 1

M3

= Mr

-2 Mr un

=

= =

=

= , , .

è

reale di il sistema instabile

parte internamente

o

maggiore .

molteplicità

Poiché lo

anche

le quelle

algebriche Di

geometriche

unitarie

sono saranno mr M3

M2 1

= = = .

2+

+

+ et +

sts(t)

ex +

eb

1(t) s(t)

1(H)

evoluzioni

solo modi Ho

e 1(t)

di e- 1(t)

semplici

no i

conseguenza e

= =

= , , .

quindi modi (esponenzialmente)

due divergente

convergenti modo

o .

e

a un

Poiché

6) potrebbe

11(t) è Ricordando

esistere

del

e termini

sistema questo tipo

iniziale

condizione

modo di che

naturale in

.

, una

un ((sl-1)-1x

Ye(s) (0)

ha

di Laplace

trasformata

di si = * X(0)

x(d) ((sl-A)

che

devo tale

trovare vettore sin

=

un ((sl-Al-1

Ricordando S

visto al

quanto punto a) (Adj(sl-A)

sina = =

es 1 575

5(52 65

5(52 -

5(s 1) +

1)

I =

+

-

= - - -

2)(s

1)(S 1)

(S

+ + -

[c(stel I

5)

5(s

5 +

· -

= (S 21(s

(s -2)

2)

+ +

C

Di [cstristal E

devo 12

porre

conseguenza =

5) xz(0)

X1(0) 5(s

-5 -x(d) + si

ovvero +

+ =

2) (S

(s 1)(s 1)

, (S

2)

+ +

+ = 5(s

Calcolando 5)(s

-5(s-1(x1(0) 1

5(s

1) xz(0) 1) X3(0)

1)(s

il diventa

multiplo l'equazione + +

+

minimo -

comune - - =

2)(s 1

1)(s S

(s 1)

+ +

+ -

la

termini

Per al

eguagliare due il soddisfare

denominatore membro relazione

i deve

primo

,

5(s 1) Xy(0) 1)(s 1)Xz(0)

5(s (s

5)(s 1)xz(0)

5(s 2)(s 1)

- +

- +

+ +

- -

- = -

Quindi la condizione

X2(d) +

libera

X3(d) iniziale

quando

è

che garantisce

Xe(d) 1(H)

-115

soddisfatta che risposta yelt) e

e

0 una

= =

= = .

/

risulta X(0)

essere =

d) funzione

la ha

trasferimento ha

G(s) stabile

di quindi è

Di

dio

parte reale sistema

polo in -1 il BIBO

minore

unico .

. conseguenza

un e

2

Esercizio SISO

Dato (TI

il sistema ! X1 X2

+

X1

= -

2X2

= 5M

Xz - -

Xs 5M

X3

X2 +

= =

y Xz M

Xz + +

=

la funzione

Calcolare

a) trasferimento

di sistema

del ;

b) la

studiare stabilità interna sistema

naturali del

modi

i

e ; est1(t)

risulta

iniziale risposta yelt)

libera

X(0)

d Trovare la

esiste condizione cui ;

essere

una

se per =

,

,

d) esterna

stabilità

la

Studiare . [2]

Adj(s)-A)

suggerimento =

: A

Per il

a) ha

considerato

sistema si dett

polinomio T(s)

caratteristico

Il sistema è

del det (sl-A) (s)

=

= =

la funzione *

((sl-A)

G(s) 1

G(s)

trasferimento

di calcola B D (sl-1) D

(Adj

Si B

+

come +

=

= ess)

- &

S2 S-1 O

+ S 2

=

Essendo (Adj(sl-A) 11 so] Is sits-2 0]

S2 s-2

+

1 O :

8

= - 52

St1 2

+

35

+

- &

o]

Risulta Es

(sl-AlB

CAdj 5(52 2) 5(s

Cr 2)(s 1)

S

-2

+ s-2 =

+ +

: +

=

- - - - 2)

semplificazioni G(s) 5(s

Di sila -1)(s

effettuare tutte

ricordando le

che devo + 4

1 5 -

conseguenza , = - =

+

, (s

(stel(S Sta

1)

2)

+ -

b) X1 X2

di

Gli autovalori 13

A 1

sono -1 -2

=

: =

= , , instabile

Poiché reale sistema

positiva

ha

13 i internamente

il

parte .

1 e

= e-zt

Imodi et

et

naturali sono : , ,

Ricordando

c) Cettx(0) In

ye(t) libera

che chiaramente del sistema

naturali

nella

per t questo

solo modi

presenti

risposta i

o possono .

= essere

, , * **

e

* +1(t)

edrt1(H)-e ests(t)

Quindi

* et1(t) poiché

1(t)

1(t)

1(t)

naturali è

sistema

modi

i del e

sono e

caso

, = non un

= .

,

, e-t1(t)

.

può tale (t)

sistema uni

naturale esistere

modo condizione

del iniziale ye

nessuna

non per =

d) funzione

la è

di trasferimento ha

quindi

G(s) ha unicopolo di

parte Di sistema

reale minore il

0

.

in-1 conseguenza

un e

stabile

BIBO .