Fondamenti di Automatica - esercizi svolti 3

ESAME 15/07/2013

^P_(s) = ^{200s + 10000} s² + 100s + 2400

LA SPECIFICA i) RICHIEDE CHE r(t) = 2 y₀(t) DA CUI SI RICAVA IL VALORE DI K₀ TRAMITE LA RELAZIONE

K₀ = ^y₀(t) = ¹ r(t)                      2

DA CUI RICAVO IL VALORE DEL TRASDUTTORE H = ¹ = 2 _K0

LA SPECIFICA ii) RICHIEDE UN ERRORE COSTANTE A REGIME A FRONTE DI UN RIFERIMENTO A RAMPA LINEARE AFFINCHÈ LA SPECIFICA SIA SODDISFATTA C'È BISOGNO DI h = 1 POLO NELL'ORIGINE NELLA F.D.T DI CATENA DIRETTA. IL PROCESSO P_(s) NON HA POLI NELL'ORIGINE , QUINDI IL CONTROLLER C_(s) ASSUME LA STRUTTURA

^C_(s) = ^K_c S

PER RIFERIMENTI CANONICI DI ORDINE K = 1 , NEL CASO IN CUI , CI SIA UN POLO NELL'ORIGINE NELLA F.D.T DI CATENA DIRETTA ASSUME LA FORMA :

^E_A = ^KD2R₀          K_V

K_V = ^{Lim _{s ∑ 0}S [C_(s)P_(s)] = Lim_{s ∑ 0}S [ K_S 200s + 10000]     s2                      s s2 + 100s + 2400}

DUNQUE L'ERRORE :

E_A = 0,0015 = ( ¹ )² 10 =>              = ⁴⁰⁰            4,17 _{KC => D                      S}   D                                                &nbs]==>                            &null; K_C ≃ 400  (V)

LA F.D.T DA ANELO APERTO

F(s) = G(s) H = C(s) P(s) H

F(s) = ⁴⁰⁰/_s ^{200s + 10000}/_{s² + 100s + 7400}

= ^{800(200s + 10000)}/_{s( s² + 100s + 2400)}

RESTRINGENDO ALL’ASSE s = jw

F(jw) = ^{800(200jw + 10000)}/_{jw ( jw² + 100jw + 2400)}

TRACCIO IL DIAGRAMMA DI NICHOLS DELLA F(jw)

La specifica (iii) richiede che la F(jw) presenti un margine di fase Mp=30° in corrispondenza di Wt = 250 RAD/S

LA F(jw) PRESENTA

• |F(j 250)| dB = 7.98 dB= Me Voglio ottenere la dB
• /_ F(j 250) = - 168.72 39= F /_

quindi

Δ M= MD - Me = -7.98 dB ATTENUAZIONE

Δ Φ: Φo - Φu = -150° + 168.72 39° = 18.72 39° ANTICIPO

Molteplicità Unitaria

n=1 → j=n-1=0 Secondo la formula

∑ t^jeαjt cos(ωjt+φ) t^{0 e10t} e^10t cos(5t+φ)= e^10t cos(5t+φ)

Si ha: il modo

Il coefficiente di smorzamento

ζ_i = -α_i / |λ_i|= - 0,89

Coefficiente di smorzamento negativo

Modo divergente

Non ha senso calcolare gli altri parametri per questo modo in quanto divergente.

λ₃ = λ⁴ = (-10 ± 5i)

Molteplicità Unitaria

n=1 → j=n-1=0 Secondo la formula

∑ t^jeαjt e^ωjt+φ t^{0 e-10t} e^-10t cos(5t+φ)= e^-10t cos(5t+φ)

Si ha: il modo

Modo Convergente

ω_n = |λ_i|= 11,18 RAD/S Pulsazione naturale associata al modo. ζ_i = -α_i / |λ_i|= 0,89 → coefficiente di smorzamento associato al modo. 1 / ζ ≈ 1,12 → tasso di convergenza a 0 del modo. 1 / ω_n ≈ 0,1 S → costante di tempo.

HO ∆M

|F(i,10)|_dB = -22,8775 V_0C10 mg |F(i,10)|_dB = ∅ dB = M₀ |F(i,10)| = - μ + m P₀ P₀

M = M₀ - M₆ = 22,8775∅_dB

ψ =φ₀ -φ₆ = -20,6º

∆^10_NAT = 10^22,8775 = 43,927V_KC ≡ V_bc

Dovendo implementare in Digital IL RITARDO SPAZ introdotto dall'OHM CHE sotto La Connessione WS>8WT Introduse un RITARDO TEMPORALE FINITO, di spore A AMPTEXE AI MASSIMO del 3% ED E Normalizzato Dalla Funzione: G_ton(jw) = e^-Tiw_t

DUNQUE:

φ_(C10)=φ₍₀₎^π₁₈₀ = -0,359 RAD

IL RITORNO introdotto Dall'OHM IN RADIANTI SOTTO la connessione WS > 8W

• rp(RAD) = - WtTc2
• Rit(RDO) = Δφ(RAD)

Equaglio questo RITARDO Al Ritardo che voglio ottenere

Δφ(RAD) 2 + 0.359