Esercizi svolti Algebra lineare e geometria analitica - Prove d'esame

Esercizi: Ripasso

04/06/23

Prodotti scalari e ortogonalità

Esercizio 1

Nello spazio euclideo R⁴ dotato del prodotto scalare usuale, sia U l'insieme delle soluzioni del sistema:

• x₁ - x₃ + 2 x₄ = 0
• x₂ + 2x₃ - 2x₄ = 0
• x₁ + x₂ + x₃ = 0

1. Trovare dimensione e una base di U
2. Trovare base ortogonale di U
3. Determinare una base di U^⊥ e scrivere un sistema di equazioni omogenee con x₁, x₂, x₃, x₄ insieme alle soluzioni sia U^⊥
4. Dato il vettore V = (1,1,1,3) ∈ R⁴, determinare la sua proiezione ortogonale su U^⊥ ∩ U
5. Si dica se esiste un sottospazio W ⊆ R⁴ tale che U^⊥ ⊕ W = R⁴. Se esiste, trovare una base di W.
6. Sia W = (-1,0,1,2) ∈ R⁴. Si dia se esiste un sottospazio V ⊆ R⁴ tale che la proiezione ortogonale di W su V sia W^⊥ = (1,1,-1,0)

Soluzione

1. dim U: rango (101-2012-21100)= 2

oppure

• x₁ = x₃ - 2x₄
• x₂ = -2x₃ + 2x₄
• x₃ = x₄ + x₃ = 0

→ x₃ = x₄ = -2x₃ + 2x₄ + x₃ = 0

• ossia x₁ = (1, -2, 1, 0)
• x₂ = (-2, 2, 0, 1)

→ dim U = 2

• {v₁, v₂} = base di U

b) Per vedere se la base è ortogonale

V₁·V₂ = -2 -4 -6 ≠ 0 non è ortogonale, andiamo a trovarla.

Procediamo con Gram-Schmidt troviamo la base {μ₁, μ₂} di U: μ₁·μ₁ ≠ 0

μ₁ = V₁ (-2,-4,2)

μ₂ = V₂ + aV₁ poniamo μ₁·μ₂ = μ₁·(μ₁ + a·V₂) = μ₁·μ₁ + a·μ₁·V₂ = 0

=> a = -

=> { μ₁, μ₂ } base ortogonale di U

c) U^⊥ = { V ∈ ℝ⁴ | V ⊥ μ₁, V ⊥ μ₂ }

∀ x₁, x₂, infinite soluzioni

dim = 2

=> {ω₁, ω₂} base di U^⊥

d)

V' = V''⊕U^⊥ con V'' ∈ U', V' ∈ U^⊥

C) \( B = A A^t \)

! Una matrice simmetrica è sempre diagonalizzabile, cioè

\( A^t = A \)

\( B \) è simmetrica:

Si può quindi

dire \( B \) è diagonalizzabile

Osservazione

Il metodo classico per costruire \( A \)

\( P(\lambda) = \det(A - \lambda I) = \det \begin{pmatrix} \lambda -4 & 0 & 4 \\ 0 & 2-\lambda & 4 \\ 2 & -2 & -\lambda \end{pmatrix} = (\lambda -4) \cdot \det \begin{pmatrix} 2-\lambda & 4\\ -2 & -\lambda \end{pmatrix} -0 \begin{pmatrix} 2 & \lambda -4 \\ -2 & -\lambda \end{pmatrix} \)\( +4 \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & \lambda -4 \\ 2 & -2-\lambda \end{pmatrix} \)

\( = (\lambda -4)((-\lambda) \cdot (2-\lambda)- (2)(4)) = (\lambda -4)((\lambda)(\lambda) + (2 \cdot \lambda) +8) =

\((2-\lambda )(-8 +\lambda + 2 \lambda + \lambda^2 -8) =

(2-\lambda)(\lambda^2 -2 \lambda) \)

6

Esercizio 1

12/04/23

Sia U sottospazio vett di R⁴ generato da

• u₁ = (1, 1, 0, 1)
• u₂ = (1, 0, -1, 2)
• u₃ = (0, 1, 2, 3)
• u₄ = (3, 0, 1, 0) t ∈ R

1. Calcolare la dimensione di U al variare di t
2. Trovare una base di U quando dim U = 3 e trovare relazione di dipendenza tra i vettori u₁, u₂, u₃, u₄
3. Sia W ⊂ R⁴ il sottospazio di equazione

• 2x₁ - x₃ = 0
• x₁ + 3x₃ - x_u = 0

Trovare base di W

4. Trovare la dim e una base di U ∩ W e U + W

Soluzione

(a)

così rispondo sia ad (a) e (b)

Forma a scala