Esercizi e prove d'esame su tutto il programma del corso di Algebra lineare e geometria

ESERCITAZIONE 1

es.1

A =_3,2

B ∈ ℝ_2,3

AB =_3,3

BA =_2,2

Non è possibile calcolare A² e B² perché fare una potenza di una matrice ha senso solo se quest'ultima è una matrice quadrata!

es.2

A ∈ ℝ_3,3, A², t A + I₃ = ?

A² =

^tA = (¹_-1 ⁰₂),   I₃ = (¹₀ ⁰₁)

(  ⁰₀ ¹₂)

⇒   (¹₅ ¹₂) — (¹₀ ⁰₀) — (¹₀ ⁰₀)

(  ⁰₃ ²₂)

(  ⁰₀ ¹₀)

(  ¹₂ ^-1₁)

(  ⁰₀ ¹₀)

(  ^-1₁)

(¹₂)

=   (¹₅ ¹₂)   ∈ ℝ³

(  ^-1₂ ⁵₂)

(  ¹₅ ¹₂)

es. 3

A =   (²_α ^α₁)

(  ^α_β)

= AB = O_2,2 => α, β =?

(^d-1_β ^d-1_β)

  ∈ ℝ^2,2

A B = (^{α2 + (α-1) β})

⇒; (^{d2 + (d-1) (β-2)})

(^{αβ - β+ β2})

(^{d2 - 2α + (d-1)(β-2)})

(  ^{2β · β})

⇒   ^{d2   α +    αβα - 2β}  βββ - β +0  = — ^α2   α = 2β

d        β²

• R₃ → R₃ - 2R₂

rk(A) = 2

es. 5

Ridurre per righe e trovare il rango al variare dei parametri: a, b, c ∈ ℝ

B =

a b c0 1 00 0 1

• se a ≠ 0 => a è il pivot della prima riga

=>

a b c0 1 00 0 1

=> rk(B) = 3

• se a = 0 =>

0 b c0 1 00 0 1

• se b ≠ 0 => b attraverso un'operazione di riga del tipo R₂ → R₂ - kR₁, c è il pivot della 1^a riga

=>

0 b c0 0 -ck0 0 1

=> se c ≠ 0 => rk(B) = 2se c = 0 => rk(B) = 2

• R₂ ↔ -R₂

R₃ → R₃ + R₁

R₁ → R₁ + R₃

R₃ → R₃ + 3R₁

R₃ → R₃ + 4R₂

R₁ → R₁ + R₂

R₃ → 1/11 R₃

R₄ → R₄ - 11R₃

→ rb (A|B) = 3 ⇒ Il sistema ha ∞^o = 1 soluzione

R₃ → R₃ - R₂ - R₁

( 1 -4 1 | 1 0 0 )

( 0 2 3 | -2 1 0 )

( 0 -2 5 | 0 0 1 )

R₂ → R₂ - R₃ - R₁

( 1 -4 1 | 1 0 0 )

( 0 2 3 | -2 1 0 )

( 0 0 4 | -1 0 1 )

R₃ → R₁ - R₃

( 1 -4 1 | 1 0 0 )

( 0 2 3 | -2 1 0 )

( 0 0 1 | -1 -1 1 )

R₂ → R₂ - ¹/₂R₂

( 1 -4 1 | 1 0 0 )

( 0 1 ⁷/₂ | -¹/₂ 0

( 0 0 1 | -1 -1 1 )

R₁ → R₁ + 4R₂

( 1 0 + | 1 -3 2 0 )

( 0 1 ⁷/₂ | -¹/₂ 0

( 0 0 1 | -1 -1 1 )

R₁ → R₁ + R₃

( 1 0 0 | 10 9 -7 )

( 0 1 ⁷/₂ | -¹/₂ 0

( 0 0 1 | -1 -1 1 )

R₂ → R₂ - ³/₂R₃

( 1 0 0 | 10 9 -7 )

( 0 1 0 | -⁵/₂ 2 -³/₂ )

( 0 0 1 | 1 -1 1)

= - z² + 2z + 15 = 0      =>      z² 2z - 15 = 0

                                                        ________

z₁, z₂ = 2 ± &sqrt;(1 - 4(-15))     =           +5

                                                                                                                     -3

es.₆ A ∈ ℝ^n,n    Dimostrare che |det(αA)| = αⁿdet(A)

Deriva dalla proprietà che se si moltiplico una riga per una scalare det(A¹) = α det(A). Se questo si fa con tutte k righe si arriva a dire che det(α A) = αⁿdet(A)

es.₇ A, B ∈ ℝ^3,3, det(A) = 4, det(B) = 5

1. det(A · B) = det(A) · det(B) = 20
2. det(3A) = z³ det(A) = 27 · 4 = 108
3. det(2AB) = z³ det(AB) = 160
4. det(A^-1B) = det(A^-1) · det(B) = det(A)^-1 · det(B) =

                                                                                                                                                    x

₄ · 5 = 5

Se m = 0

No Soluzioni

Nome: Risolvere il caso m = 4 :

Sposta: → →

Se m = 1

Una solucione

es. 12 Trovare l'inversa

⎧

⎨ α = 3β

⎩ -2 = -2α - 2β = -2 = -2(5)β, β

= 2α = 6β, β = 1 ⟹ β² = 1 ⟹ β² = 1/3 ⟹ β = ± √3/3

= α = ± √3

es. 4

a) ⎛ 1 ⎞, ⎛ 0 ⎞, ⎛ -1 ⎞

⎝ -2 ⎠, ⎝ -5 ⎠, ⎝ 9 ⎠

⟹ ⎛ 1 ⎞ = α ⎛ 0 ⎞ + β ⎛ -1 ⎞

⎝ -2 ⎠ ⎝ -5 ⎠ ⎝ 9 ⎠

⟹ ⎧ 1 = -β ⟹ β = -1

⎨ 1 = -5α + 9β = -1 = -5α - 9 ⟹ α = 2

⎩ -2 = 3α - 6β ⟹ -2 = 6 + 6 ⟹ -2 = -2

⟹ Sì: complanari!

b) ⎛ 5 ⎞, ⎛ 2 ⎞, ⎛ 1 ⎞

⎝ 6 ⎠, ⎝ 4 ⎠, ⎝ 3 ⎠

⟹ ⎧ 5 = 2α + β ⟹ β = 5 - 2α ⟹ β = 7/4

⎨ 6 = 2α + 3β = 6 = 2α + 7.5 - 6 ⟹ α = 9/5

⎩ 3 = 9/5 + 14/5

⟹ No complanari!