Esercizi assegnati svolti di Geometria analitica e algebra lineare

ESERCIZI DI ALGEBRA

MATRICI

ES. _1.1

A = ( ^0 1 _1 0 ) B = ( ^-1 0 _2 -1 ) C = ( ^2 -1 _0 3 )

CALCOLARE LA MATRICE D = 2A + 3B + (-1)C

D = 2 ( ^0 1 _1 0 ) + 3 ( ^-1 0 _2 -1 ) - ( ^2 -1 _0 3 )

= ( ^1 0 _-3 2 )

ES. _1.2

A = ( ^0 1 _0 1 ) B = ( ^1 1 _-1 1 ) C = ( ^2 -1 4 _0 3 1 )

CALCOLARE D = (A² - 7B³)C

D = ( ^0 1 _0 1 ) ( ^0 1 _0 1 ) - 7 ( ^0 2 _-2&emsp>-2 ) ( ^1 1 _-1 1 ) ( ^2 -1 4 _0 3 1 )

= ( ^0 1 _0 1 ) - 7 ( ^0 2 _-2&emsp-2 ) ( ^2 -1 4 _0 3 1 )

= ^14 -43     _14 -15 ( ^2 -1 4 _0 3 1 ) ( ^{28 -14 35 56 -9} _{28 -14 45 56 +15} )

( ^{28 -53 43} _28 31 7 )

Scansionato con CamScanner

2

BS 1.3

verificare che AB ≠ BA

AB ≠ BA

BS 1.4

B - SI = πA

AB = B - SI

BA ≠ πA

Scansionato con CamScanner

6

Es. 1.9

(i) S∈S₅ ⟹ S=S

S²∈S_m

L t_(S²) = S²

t_(S²) t(S.S) = S.S.S = S.S.S = S.S.S = S²

(ii) S→invortato di S. S. S^-4 = I

S^-4 t S_n quindi dim: t_(S^-4) = S^-4 usando t_(S^-5) S = t_(S⁵)

Es. 1.10

1) A² + 5A - 2I = 5?

(2 1 )(2 5 ) + 5(3 2 ) - 2(1 0 ) +

        (1 2)    (1)   (0 0)

   (4 0)      (1 2)

  + (10 15 ) - (2 0 ) =(15 27) ((7 41)

       (5 10) (0 2)  (3 15)    (4 +)

2) Ver. opp.

A² - 4A + I = 0

(1 12) - (1 12) + (1 0) = (0 0)

(7 8)   (3 4)    (1 9)          (0 0)

2.4

Per definizione det A = det t'A (da 2 princ).

Se t'A = -A allora det A = det (-A) ⟹ det A = (-1)ⁿ det A

. . . Se n è pari allora det A = det A e quindi esso potrebbe o

non potrebbe essere 0.

Se n è dispari allora det A = -det A ⟺ det A = 0 poiché

l'unico numero uguale al suo opposto è 0.

2.5

(1)

• det A = det 2-20 1-2-1 743 ⟹ 2 det -2-1 43 + 2 det 1-1 73 + 0 = 2 (-6 + 4) + 2 (3 + 7) = < -4 + 20 = 16

(2)

• det A = det 2-20 1-2-1 743 ⟹ 7 det -20 -2-1 -4 det 20 1-1 + 3 det 2-2 1-2

2.8

det

• • 1 4 0
  • 4 2 8
  • 0 4 0
• s 0 + 0 + 0 – (0 + 64 + 0) s – 64 ≠ 0

è invertibile!

2.8

• • 0 1 0 0
  • 0 0 1/4 0
  • 1 0 1 0
  • 0 0 0 1
• R₃ – R₂ + R₃
• • 1 0 1 0
  • 0 1 0 0
  • 0 0 1/4 0
  • 0 0 0 1
• R₂ + R₂ + R₁
• • 1 0 0 0
  • 1 0 1 0
  • 0 1/4 4 0
  • 0 0 0 1
• R₁ + R₁ – R₂
• • 1 0 0 0
  • 1 0 1 0
  • 0 1 0 0
  • 0 0 0 1

Scansionato con CamScanner

B =

| 4 1 1 3 |

| 4 1 2 3 |

| 0 0 3 7 |

| 0 0 0 1 |

rg B = 4

C =

| 1 1 1 2 |

| 0 2 3 7 |

| 0 0 0 0 |

rg C = 3

D =

| 4 1 1 3 |

| 6 2 1 3 |

| 4 1 3 7 |

| 88 88 0 88 |

R2 ➔ R2 - R1

R3 ➔ R3 - R1

R4 ➔ R4 - 88R1

→

| 1 1 1 1 |

| 0 0 -1 -1 |

| 0 0 -1 -1 |

| 0 -88 -88 -88 |

rg D = 2

rg F = 2

K³ - 5K + 2 = (K - 1)(aK² + bK + c)

aK³ + bK² + cK = aK² - bK - c

26

\[\frac{7}{2} + 4 + \frac{4}{2} + 1 - 8 + x_2 - \frac{7}{2} = 2 - \frac{5}{3} = \frac{6}{5} - \frac{5}{3} = 7 + \frac{1}{2} = 4\]

\[\frac{3 + \frac{1}{2} = 2 + \frac{1}{2} = 3 \] [8 * \frac{1}{2} \frac{12}{2} \] [log] \lambda = 3 \] \]

\[\text{det} A = \text{det} \begin{vmatrix} 1 & 7 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 3 \]

\[S = \begin{vmatrix} 1 \\ 7 \end{vmatrix} \]

\[S = 1 + 1 + 2 \]

\[\begin{cases} x_1 + x_2 = 2 \\ x_2 + x_3 = 3 \\ -x_2 + x_3 = -3 \\ -x_3 = 2 \end{cases}\]

\[\begin{cases} x_1 = -\frac{1}{x_3} \\ x_1 - x_2 - x_3 = 2 \end{cases}\]

\[\begin{cases} x_1 = \frac{1}{3} \\ x_3 = \frac{3}{2} \\ x_2 = \frac{1}{2} \end{cases}\]

\[\begin{cases} x_1 = -\frac{1}{2} - x_3 = 2 \end{cases}\]

\[S = \begin{bmatrix} \frac{1}{3} \\ 1 \end{bmatrix}\]

\[R = \begin{vmatrix} -\frac{1}{4} \end{vmatrix}\]

\[\text{1\(^\text{°}\) colonna} (x_1 x_2 x_3) \]

\[ \begin{cases} x_1 + x_2 = 0 \\ x_2 + x_3 = 0 \\ x_1 + x_3 = 0 \\ x_1 - x_2 + 2x_3 = 0 \end{cases}\]

\[ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -2 \end{vmatrix} \rightarrow \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} \]

[R\(_1\) → R\(_1\) - R\(_2\)]

[R\(_3\) → R\(_3\) - R\(_2\)]

\[ \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} \]

[R] - \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}

[ \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} ]

3.7

Per quali α ∈ ℝ Ax = B ha soluzioni?

A = ^{(1 -1 1) (1 1 0) (1 2 0)}

x = ^{(x₁) (x₂) (x₃)} B = ^{(1) (5) (α)}

(A|b) = ^{(1 -1 1 1) (1 1 0 5) (1 2 0 α)} → R₂ → R₂ - R₁ → R₃ → R₃ - R₁

^{(1 -1 1 1) (0 2 -1 4) (0 3 α - 1)}

→

R₃ → R₃ - 3/2 R₂

^{(1 -1 1 1) 0 2 -1 4 0 0 α - 7}

α - 7 ≠ 0 α ≠ 7

α _pivot = flag A = 2

α ≤ 7 ∃ sol.

Per α ≤ 7 ∃ ∞ⁿ³-² sol.

^{x₁ - x₂ = 1 x₂ = 2 x₃ = t x₁ = 3 x₂ = 2 x₃ = t}

Si: ^{(3) 2 t} ; t ∈ ℝ

^{(x₁) (x₂) (x₃)}