Esercizi Meccanica avanzata dei solidi e delle strutture

ESERCIZI ADVANCED.

AKHNOUKH FADI.

Esercizio 1:

C_x = a_i b_j E_ijk = ³⁄_j=1 ³⁄_i=1 a_i b_j E_ijk

Proviamo a calcolare C₁ = a_i b_j E_ij1 = a₁ b₁ E₃₁₁ + a₂ b₂ E₂₂₁ + a₃ b₃ E₃₃₁ + a₁ b₂ E₂₁₁ + a₂ b₁ E₁₂₁

Da definizione tutte le triplette con indice uguale sono uguali a zero. C₁ = b₂ b₃ E₂₃₁ + a₂ b₁ E₁₂₁ + a₃ b₁ E₁₃₁

C₂ = a₁ b₃ E₁₃₂ + a₃ b₁ E₂₃₁ + a₁ b₂ E₃₁₂ + a₂ b₃ E₃₂₁ + a₃ b₁ E₃₃₁

C₃ = a₂ b₃ E₂₃₁ + a₂ b₁ E₁₂₁ + a₃ b₂ E₃₂₁ + a₁ b₂ E₃₁₂ + a₃ b₁ E₃₃₁

Risposta: b₂ b₃ = a₃ b₂ perché E₃₂₁ = 1 ; E₃₁₂ = -1

Esercizio 2:

Prodotto scalare:

(u ⊗ v) = u₁v₁ u₁v₂ u₁v₃

                       u₂v₁ u₂v₂ u₂v₃

• [    (u ⊗ v)               ] = u ⋅ v
• : e_i(u ⋅ v)      e_j
• [ e_i : (u ⋅ v) [v ⋅ v] ]
• : u ⋅ N_j

Esercizio 3:

Cambio S.R.

( f_b q_b ) = (  f_a e_a ) q_i →  f^hat δ_i = f_a e₀ q_i

[   q_i e_a q_i  ]   →    f_a Q_ia   → [ f ] = [ Q ] [ f ]

Notiamo [ Q ] ^T [ α ] =  [ Q ] [ Q ] ^T = [ I ]

                            g_i e₂ Q_ia

[ g₁ e₁ g₁ e₂ g₁ e₃ ]

Esercizio 16 (pag 50):

• Considera le basi { e₁, e₂, e₃ } e { g₁, g₂, g₃ }. La base { g₁, g₂, g₃ } è espressa in termini di { e₁, e₂, e₃ } sopra le  g₁ = 1/√3( e₁ + e₂ + e₃ ), g₂ = 1/√6( 1/√2( e₁ − e₂ + e₃ ) ); g₃ = 1/√6( e₁ + e₂ )
• Le componenti del tensore T e il vettore v, sono relative alle basi { e₁, e₂, e₃ } e sono:

T = [   0    -1      0 ]; v = [   -2       1       3   ]

      1       1       2        1        2       3    

      1       1       0        1        2       0    

Calcolate il prodotto I_T¹T (tensore vettore) rispetto ad entrambi le basi { e_i g_j f^ijqge }:

Rispetto a { e_i } :

I_T = [      -2    1       ]

                  [-2 + 1      ] 

[-1  +  0      1     2       ]

                  [-1  +  2      ] 

W₃  =  W 

Rispetto a { g_j } :

[W₁  W₂  W₃ ] Q

L = [  1/√3    1/√2  1/√3         0  ]

             [  -2/√6    -1/√6   1/√6        1   ]

            [ √3/√6  1/√2  -1/√2  -3/√2 ]

b. Calcolare il prodotto di T_ij T_jk T_ke :

³⁄_n=1 ³⁄_i=1T_ij T_jk T_ke  = S.i.e

Esercizio 3 Pag. 49

I vertici di un triangolo sono dati dalla posizione dei vertici a, b e c. I componenti di questi vettori sono a = (0,0,0), b = (1,4,3) e c = (2,3,1). Usando l'approccio vettoriale, calcolare l'area del triangolo. Trovate l'area del triangolo proiettato sul piano con normale n = (0,0,1). Trovare il vettore normale unitario del triangolo.

• Calcolo dell'area del triangolo:
  • A₁ = 1/2 |axb| = 1/2 |(5,5,5)| = 1/2 √(25+25+25) = 4.33
• Ricerca dell'area del triangolo proiettato sul piano con normale n = (0,0,1):
  • (c - a) x (c - b) = 1/2 |(1,0,0) x (1,0,1)| = 1/2 |(0,1,0)| = |(0,1,0)
  • Quindi, l'area A₂ del triangolo proiettato si può scrivere come:
    • A₂ = 1/2 |(1,0) x (1,0)| = 1/2 √(0+0,25) = 2,5
• Ricerca del vettore normale unitario del triangolo:
  • n = λ((c x ab)| ab = (5,-5,5) = (1,-1,-1)
  • λ((c x ab)||ab||) = 5 · √(3)
• ab = b - a = (1,4,3)
• ac = c - a = (2,3,1)
• ob = (2,3,1) x (1,4,3) = (1,5,-5,5,5)

n = 1/√3 (1,-1,-1)

Esercizio 4 Pag. 49

Date le coordinate d, b, c, e d con le seguenti coordinate d(4,1,1) b(2,1,1) c(1,2,1) e d(1,2,3). Ricercare il vettore normale al piano abc o bcd. Ricercare l'angolo compreso tra questi vettori. Ricercare l'area del triangolo abc, ricercare il volume del tetraedro abcd.

• Ricerca dei vettori normali al piano abc e bcd:
  • h_abc = ab x ac = [(b-a) x (c-a)] = (1,0,0) x (0,1,1) = (0,-1,0) - 1,0 = 1,0)
  • h_bcd = bc x bd = [(c-b) x (d-b)] = (-1,1,1) x (1,-0,2) = (2,1,1)
• Ricerca dell'angolo compreso tra i 2 vetti:. Cos θ = h_abc h_bcd
  • h_abc h_bcd = 0,-1,1 (-1,1,) = cos θ = 0 → π = 90°
• Ricercare l'area del triangolo abc. A_abc = 1/2 h_abch = √(0²+1²) = √2
• Ricercare il volume del tetraedro abcd:
  • V_abcd = 1/6 (ab x ac) · ad
  • 1/6 = 1/3 (0,-1,1) x (0,0,2) = 1/3

Le tre radici dell'equazione caratteristica sono μ₁ = 4.6228 μ₂ = 2.7261, μ₃ = 5.6511.

Le direzioni principali sono:

• M₁ = (0.2482, 0.3491, 0.9064)
• M₂ = (0.9064, 0.2482, 0.3491)
• M₃ = (-0.3149, 0.9064, 0.2482)

b) Il tensore T nelle basi definite da autovettori è una matrice diagonale e i suoi componenti sono autovalori di sestessi.

T ~ | 4.6228     0      0 |

     |   0     2.7261     0 |

     |   0      0    5.6511 |

I = μ₁ + μ₂ + μ₃ = 10

II = μ₁μ₂ + μ₂μ₃ + μ₁μ₃ = 28

III = μ₁ μ₂ μ₃ = 25

PRoBleMa 31 PAG 52:

Valutare le seguenti espressioni:

1. a) div (div [× ⊗ ]) = 12
2. div ([× ⊗ ×]) = ⟨[×; x_j; e_j = [x_i, x_j; x_j + x_i x_j], e_i = [S_ij x_j + 3 x_j ] e_i = 4 <
3. div ([⊗ x]) = div ([x; e_j = u x_ij e_i; e_j = u δ_ij δ_ij = 12
4. g^p e_i = 4⟩ div ([x^⊗×]) = 16
5. ⟨⟩ div ([x; ] e_j²) = 2 ‹ δ_ij σ_j e_j = 2 χ
6. div ([⊗ x.]) = 27
7. div >× = (⟨x; e_j⟩, ⟨e_j> = 3
8. ☑ div [x² (1)] = div [χ²(x &gotimes; x²;⟩ ] (3² div > = div (3&box;>x = 9
9. δ(x[div ×⟩= ⟨⟫]. &supalign0;✓ ) ] ⟨div ˆx;⟫ = 27
10. c) ∇ [⌈ [⌙/A x||〉] ⌋ = 8×
11. ≈ ||x||² = x^⋄ x;
12. ⟨x^⋄||⟨&rlang; ⟩ T
13. ⟨∂_ij⟨⟩ e_j;
14. [:- [x^{x e_j = 2}
15. x
16. ⟨||x⟹].
17. ∇||2×
18. div (⊕ [x〈e